Geometria Plana, Notas de estudo de Mecatrônica

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Geometria Plana - Aula 09

Elaine Pimentel

Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática

Esquema da aula n^ Polígonos regulares. n^ Perímetro. n^ Área. n^ Limites. n^ Circunferência. n^ Setores e arcos.

Polígonos regulares n^ Dizemos que um polígono é

cíclico

se pode ser inscrito em

uma circunferência. n Teorema.

Todo polígono regular é cíclico. n

O

C B A

CENTRO: centro da circunferencia circunscrita.RAIO: segmento que une o centro ao vertice.APOTEMA: segmento perpendicular ao lado que

passa pelo centro.

Perímetro e área de um polígono regular n^ Teorema.

O perímetro de um polígono regular de

n^ lados é

2 p^ = 2

νr, onde

r^ é o raio e

ν^ =^ n.sen

(^ )^180 n

n^ Teorema.

A área de um polígono regular de

n^ lados é

A^ =^ νcos

(^ )^180 n

2 r, onde

r^ é o raio e

ν^ =^

n.sen

(^ )^180 n

n

O

C B A

r s/2 r

Especialização 2008 - p. 7

Uma explicação informal de limites n^ Seja

a, a^1

,... , a 2

uma seqüência de números. Então on

número

L^ é o

limite

desssa seqüência se, quando

n^ é muito

grande, a diferença entre

L^ e^ a

é tão pequena quanto sen

queira. n No exemplo anterior, o limite da seqüência

11 ,^... 4 8

1 én^2

zero porque, não importa o quão pequeno seja um número k, existe um

ntal quek^

1 < knk^2

n^ Alguns limites mais difíceis:

limn→∞

n.sen

(^ )^180 n

=^

π

limn→∞

(^180 cos )^ n

=^1

Comprimento e área de uma circunferência n^ Teorema.

O comprimento de uma circunferência é

c^ = 2

πr.

n^ Prova:

c^ =

lim

n→∞

2 νr =^ lim

n→∞

2 .lim

n→∞

ν.lim

rn→∞

=^2

.π.r

n^ Teorema.

A área de uma circunferência é

A=c^

(^2) πr.

n^ Prova:

Ac^

=^ lim

n→∞

( νcos )^180 r^ n

2

=^ lim

n→∞

ν.lim

n→∞

(^180 cos )^ .lim n

n→∞

(^2) r

=^ π.r

2