Grafos Eulerianos - Grafos, Slides de Estruturas Discretas e Teoria dos Grafos

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Grafos Hamiltonianos

Mayron C´esar de Oliveira Moreira

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade Federal de Lavras

Motiva¸c˜ao

Thomas Penyngton Kirkman (1856): existˆencia de ciclos que n˜ao repetissem v´ertices ou arestas em certos tipos de s´olidos.

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Motiva¸c˜ao

Grafo que modela o jogo “Around the World”.

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Defini¸c˜oes

Caminho Hamiltoniano

Defini¸c˜oes

Ciclo Hamiltoniano

 - a Passa por cada v´ertice do grafo exatamente vez. - a 

• a
• a - a - a - b - b - b - b - b - b - a Caminho Hamiltoniano que volta ao v´ertice inicial. - a
  • a
• a - a - a - b - b - b - b - b - b

Defini¸c˜oes

Ciclo Hamiltoniano

Caminho Hamiltoniano que volta ao v´ertice inicial. Exemplo: a 0 − a 1 − a 2 − a 3 − a 4 − a 5 − b 5 − b 4 − b 3 − b 2 − b 1 − b 0 − a0.

a

a a

a

a

a

b

b

b b

b b b

Defini¸c˜oes

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Complexidade do problema

Karp (1972)

N˜ao existe um algoritmo que decida em tempo polinomial se um grafo possui um ciclo ou caminho Hamiltoniano.

Resultados Te´oricos

N˜ao se conhece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente trivial para a existˆencia de um ciclo hamiltoniano em um grafo.

Teoremas

Dirac (1952)

Seja G = (V , E ) um grafo com n ≥ 3 e δ(G ) ≥ n 2

. Ent˜ao, G ´e Hamiltoniano.

a

a

a2 a

a

a4 a

Figura: Hip´oteses do Teorema de Dirac n˜ao s˜ao v´alidas, mas o grafo ´e Hamiltoniano.

Teoremas

Ore (1961)

Uma condi¸c˜ao suficiente para que um grafo seja hamiltoniano ´e que a soma dos graus de cada par de v´ertices n˜ao adjacentes seja no m´ınimo n.

Propriedades

Fecho Hamiltoniano de um grafo G

Consiste em um grafo Φ(G ) obtido atrav´es de uma adi¸c˜ao sucessiva de arestas entre pares de v´ertice u e v n˜ao adjacentes cuja soma dos graus seja pelo menos n, at´e que em algum momento tais pares n˜ao existam mais.

Teorema de Bondy & Chv´atal (1976)

Se Φ(G ) = Kn, ent˜ao G ´e Hamiltoniano.

Modifica¸c˜ao do Teorema de Bondy & Chv´atal (1976)

G ser´a Hamiltoniano se e somente se Φ(G ) for Hamiltoniano.

Aplica¸c˜oes

Problema do Passeio do Cavalo

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Aplica¸c˜oes

Problema do Passeio do Cavalo

Para a resolu¸c˜ao

• (^) Algoritmo Backtracking ;
• (^) Em tabuleiros 8 × 8, conseguimos encontrar a solu¸c˜ao para o ciclo e caminho Hamiltoniano;

Aplica¸c˜oes

Problema do Passeio do Cavalo Algoritmo em tempo polinomial:

Figura: Fonte – Conrad et al. (1994).