Grafos Hmailtonianos e Eulerianos, Exercícios de Estruturas Discretas e Teoria dos Grafos

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Grafos Eulerianos

Mayron C´esar de Oliveira Moreira

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade Federal de Lavras

Motiva¸c˜ao: problema das pontes de K¨onigsberg

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Motiva¸c˜ao: problema das pontes de K¨onigsberg

Recife: a K¨onigsberg brasileira!

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Defini¸c˜oes

Trilha Euleriana

Passa por cada aresta do grafo exatamente vez.

a (^) b c

d e^ f

Defini¸c˜oes

Circuito Euleriano

Trilha Euleriana que volta ao v´ertice inicial.

a (^) b c

d e^ f

g (^) h i

Defini¸c˜oes

Circuito Euleriano

Trilha Euleriana que volta ao v´ertice inicial.

a (^) b c

d e^ f

g (^) h i

Defini¸c˜oes

Figura: Fonte – Goldbarg & Goldbarg (2012).

Teoremas

Euler (ou Euler-Hierholzer)

Seja G = (V , E ) um grafo n˜ao-orientado e conexo. G ´e Euleriano se e somente se todos os v´ertices de G tem grau par.

Teoremas

Grafos pseudossim´etricos

G = (V , E ) ´e um grafo orientado pseudossim´etrico se para todo v ∈ V , d−(v ) = d+(v ).

Teorema de Euler grafos orientados ...

Seja G = (V , E ) um grafo orientado e conexo. G ´e Euleriano se e somente se for pseudossim´etrico.

Aplica¸c˜oes

Problema do Carteiro Chinˆes; Coleta de Lixo; Recolhimento de Neve.

Como “Eulerizar” um grafo?

Vamos nos basear em:

Teorema 1 (grafos n˜ao-orientados)

O n´umero m´ınimo de percursos que particionam o conjunto de arestas de um grafo G = (V , E ) n˜ao-orientado e conexo, com 2k v´ertices de grau ´ımpar ´e k ∈ Z∗ +.

Teorema 2 (grafos orientados)

Seja G um grafo orientado conexo n˜ao pseudossim´etrico. Ent˜ao, o n´umero m´ınimo de caminhos que particionam o conjunto de arcos ´e igual a k =

v ∈S (d

+(v ) − d−(v )) = ∑ v ∈T (d

−(v ) − d+(v )), onde S (T ) s˜ao os v´ertices com mais sucessores (antecessores) que antecessores (sucessores).

com algumas adapta¸c˜oes!

Como “Eulerizar” um grafo?

Figura: Notas de aula dos profs. Alysson M. Costa (UniMelb) e Franklina Toledo (USP).

Como “Eulerizar” um grafo?

Figura: Notas de aula dos profs. Alysson M. Costa (UniMelb) e Franklina Toledo (USP).

Algoritmos para determina¸c˜ao de Circuitos Eulerianos

• (^) Hip´otese: grafo ´e Euleriano.
• (^) Podem ser executados em tempo polinomial.
• (^) Estudaremos dois: Hierholzer (1873) e Fleury (1883).