Proposta de Avaliação Matemática: Questões de Geometria e Funções Trigonometricas, Exercícios de Português (Gramática - Literatura)

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Matemática A

O

ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos | Data:

CADERNO I (45 minutos – com calculadora)

1. Na figura está representado o triângulo [ ABC ].

Sabe-se que:

• AB = 10

B AC =15º

C BA =135º

• h é a medida da altura do triângulo [ ]

ABC , relativa ao lado

[ ]

AB.

Qual é o valor de h , arredondado às centésimas?

(A) 2,68 (B) 2,

(C) 3,66 (D) 3,

2. O triângulo

[ ]

PQR da figura representa o esquema de um terreno em que PQ = 50 m e PR = 30 m.

Sabe-se ainda que o ângulo PRQ tem 70º de amplitude.

2.1. Qual é, em graus com arredondamento às centésimas, a amplitude do ângulo RQP?

(A) 34,32º (B) 75,68º

(C) 42,00º (D) 34,06º

2.2. Determine a área do terreno.

Apresente o resultado em metros quadrados arredondado às unidades.

A

h

B

C

15º

135º

50 m

P

Q

30 m

R

Caderno II (45 min – sem calculadora)

4. Considere o triângulo

[ ]

ABC em que:

• AB = 8
• BC = 7
• AC = 3
• M é o ponto do lado

[ ]

AB tal que

[ ]

CM é uma mediana do triângulo.

4.1. Mostre que a amplitude do ângulo BAC é igual a 60º.

4.2. O comprimento de

[ ]

CM é igual a:

(A) 27 (B) 13

(C) 55 (D) 37

5. Qual é o valor de

arctan 3 arcsin sin

(A)

− (B)

(C) π (D) 0

C

A M B

6. Considere a função f definida em

por

( )

3

sin

2cos

x

f x

x

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , a circunferência de centro na origem e

raio 1 bem como a reta r de equação x = 1.

Sabe-se que:

• o ponto A se desloca ao longo da circunferência, no

primeiro quadrante;

• a semirreta O A

interseta a reta r no ponto D ;

• o ponto C tem coordenadas ( )

• o ponto B pertence ao eixo Ox e tem abcissa igual

à do ponto A.

Para cada posição do ponto A , seja α a amplitude, em

radianos, do ângulo COA.

6.1. Mostre que, para cada

α

, a área do trapézio

[ ]

ABCD é dada por

( )

f α.

6.2. Seja

tal que tan β = 2. Determine

( )

f β.

6.3. Se CD = 1 , a área do trapézio

[ ]

ABCD é igual a:

(A)

(B)

(C)

(D)

6.4. Determine AD sabendo que

OB =.

FIM

Cotações:

Caderno 1 Caderno 2

1. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 3.3. Total 4.1. 4.2. 5. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4 Total

10 10 20 20 20 20 100 15 10 10 20 20 10 15 100

α

O B C x

D

A

y

r

π π

sin sin

π π 2 2 cos cos

π π 2 2 1 sin 1 sin

1 cos 1 cos

f f

− × + = × = × =

( ) ( )

2 2 2

2 2

cos cos cos

1 sin 1 sin 1 sin cos

α α α

α α α α

3.3. A abcissa do ponto A é a solução da equação ( ) ( ) f x + 1 = f x + 1

Introduziram-se na calculadora as funções ( )

( )

( )

1

sin 1

1 cos 1

x

y f x

x

e

( ) 2

sin

1 cos

x

y f x

x

e determinou-se a abcissa do ponto de

interseção dos respetivos gráficos, obtendo-se o resultado que se apresenta

ao lado.

Assim, x ≈ 0,99.

Caderno II

4.1. Pelo Teorema de Carnot,

2 2 2

a = b + c − 2 bc ×cos A

2 2 2

7 = 3 + 8 − 2 × 3 × 8 × cos A ⇔ 49 = 9 + 64 − 48 × cos A ⇔

48 cos 9 64 49 cos cos

⇔ × A = + − ⇔ A = ⇔ A =

Logo, como BAC é um ângulo agudo,

B AC = 60º.

4.2. Se [ ] CM é uma mediana do triângulo então

AM = AB = × =.

Aplicando novamente o Teorema de Carnot, com CM = x.

2 2 2 2

3 4 2 3 4 cos 60º 9 16 2 12

x = + − × × × ⇔ x = + − × × ⇔

0

2 2

25 12 13 13

x

x x x

Resposta: (B)

( )

4 π

arctan 3 arcsin sin

x y

( )

π π

arctan 3 tan 3 ,

x x x

π

x = −

4 π 3

arcsin sin arcsin

y y

3 π π π

sin ,

y y y

( )

4 π π π π π

arctan 3 arcsin sin 0

x y

Resposta: (D)

4 π π π 3

sin sin π sin

3 3 3 2

 

= + = − = −  

 

A B

C

c = 8

b = 3

a = 7

3

4 A M

C

60º

x

B

O

x 0,

2

y

1

y

y

6.1. OB = cos α, BA = sin α e CD =tan α

[ ] [ ] [ ]

2 2

ABCD OCD OBA

OC CD OB BA

A A A

× ×

1 tan cos sin 1 sin

sin cos

2 2 2 cos

× ×  

( )

2 2 sin 1 cos 1 sin sin cos 1

2 cos 2 cos

= × = × =

2 3

1 sin sin sin

2 cos 2 cos

= × =

Portanto, a área do trapézio

[ ]

ABCD é dada por

f α.

6.2. tan β = 2

• Como

2

2

1 tan

cos

• = , vem

2 2

2 2

1 2 5 cos

cos cos 5

Sendo

π

0 ,

2

β

 

∈

 

 

cos β > 0

pelo que

cos

β = =

• Dado que

2 2

sin β + cos β= 1 , temos

2 2 2

sin 1 sin 1 sin

Como

π

0 ,

2

β

 

∈

 

 

, sin β > 0 pelo que

sin

( )

3 2

2 3

sin 2 4 5 5 5

2 cos 5 5

f

×

×

6.3. CD = 1 ⇔ tan α= 1. Logo, como

π

0 ,

2

α

 

∈

 

 

, temos

π

Portanto, se CD = 1 , [ ]

3 2

3

2 2 π 1

sin

2 2 π 1 4 2

π 4 2 2 4 2

2cos 2

4 2

ABCD

A f

   

 

         

       

= = = = × =  

     

  ×      

 

Resposta: (A)

( ) A cos α , sinα e ( ) D 1 , tan α

cos

OB = ⇔ α=. Como

π

0 ,

2

α

 

∈  

 

, temos

π

α = pelo que

sin

α = e tan α = 3.

Então,

A

e ( )

D 1 , 3 pelo que

2 2 2 2

AD

Em alternativa, pelo Teorema de Tales,

1 1

1 2 1

1 1

2

OD OA AD

AD AD

OC OB

2 2

1 − cos α =sinα

sin

tan

cos

α

α

α

=