Guia de Matemática - Enem, Provas de Matemática

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Brasília

MEC/INEP

Matemática

e suas Tecnologias

Livro do Estudante

Ensino Médio

Sumário

Introdução ..........................................................................................................................................

Capítulo I

A Matemática: uma construção da humanidade ........................................

Suzana Laino Cândido

Capítulo II

Lógica e argumentação: da prática à Matemática .....................................

Fabio Orfali

Capítulo III

Convivendo com os números .........................................................................

Elynir Garrafa

Capítulo IV

Nossa realidade e as formas que nos rodeiam ............................................

Marília Toledo

Capítulo V

Medidas e seus usos ........................................................................................

José Luiz Pastore Mello

Capítulo VI

As grandezas no dia-a-dia ............................................................................

Lúci M. Loreto Rodrigues

Capítulo VII

A Matemática por trás dos fatos ...................................................................

Wilson Roberto Rodrigues

Capítulo VIII

Gráficos e tabelas do dia-a-dia .....................................................................

Jayme Leme

Capítulo IX

Uma conversa sobre fatos do nosso dia-a-dia ...........................................

Helenalda Nazareth

Este material foi desenvolvido pelo Ministério da Educação com a finalidade de ajudá-lo a

preparar-se para a avaliação necessária à obtenção do certificado de conclusão do Ensino

Médio denominada ENCCEJA – Exame Nacional de Certificação de Competências de Jovens e

Adultos.

A avaliação proposta pelo Ministério da Educação para certificação do Ensino Médio é

composta de 4 provas:

1. Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

2. Matemática e suas Tecnologias

3. Ciências Humanas e suas Tecnologias

4. Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Este exemplar contém as orientações necessárias para apoiar sua preparação para a prova de

Matemática e suas Tecnologias.

A prova é composta de 45 questões objetivas de múltipla escolha, valendo 100 pontos.

Este exame é diferente dos exames tradicionais, pois buscará verificar se você é capaz de usar

os conhecimentos em situações reais da sua vida em sociedade.

As competências e habilidades fundamentais desta área de conhecimento estão contidas em:

I. Compreender a Matemática como construção humana, relacionando o seu

desenvolvimento com a transformação da sociedade.

II. Ampliar formas de raciocínio e processos mentais por meio de indução,

dedução, analogia e estimativa, utilizando conceitos e procedimentos

matemáticos.

III. Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais,

inteiros, racionais e reais.

IV. Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da

realidade- e agir sobre ela.

V. Construir e ampliar noções de grandezas e medidas para a compreensão da

realidade e a solução de problemas do cotidiano.

VI. Construir e ampliar noções de variação de grandeza para a compreensão da

realidade e a solução de problemas do cotidiano.

VII. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas, envolvendo

variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas.

Introdução

VIII. Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de

gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação

e interpretação.

IX. Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e

sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e cálculos de

probabilidade, para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma

distribuição estatística.

Os textos que se seguem pretendem ajudá-lo a compreender melhor cada uma dessas nove

competências. Cada capítulo é composto por um texto básico que discute os conhecimentos

referentes à competência tema do capítulo. Esse texto básico está organizado em duas

colunas. Durante a leitura do texto básico, você encontrará dois tipos de boxes: um boxe

denominado de desenvolvendo competências e outro, de texto explicativo.

O boxe desenvolvendo competências apresenta atividades para que você possa ampliar

seu conhecimento. As respostas podem ser encontradas no fim do capítulo. O boxe de texto

explicativo indica possibilidades de leitura e reflexão sobre o tema do capítulo.

O texto básico está construído de forma que você possa refletir sobre várias situações-

problema de seu cotidiano, aplicando o conhecimento técnico-científico construído

historicamente, organizado e transmitido pelos livros e pela escola.

Você poderá, ainda, complementar seus estudos com outros materiais didáticos, freqüentando

cursos ou estudando sozinho. Para obter êxito na prova de Matemática e suas Tecnologias

do ENCCEJA, esse material será fundamental em seus estudos.

Suzana Laino Cândido

A MATEMÁTICA: UMA CONSTRUÇÃO

DA HUMANIDADE

COMPREENDER A MATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO

HUMANA, RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTO

COM A TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.

Capítulo I

Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio

Capítulo I

A Matemática: uma

construção da humanidade

A Matemática e o dia-a-dia

As condições de vida da humanidade se modificaram ao longo do tempo, com o desenvolvimento da agricultura, do comércio, da indústria, do conhecimento e da tecnologia. E através das conseqüências do avanço em todas essas áreas. Apesar de o homem não ter registrado o que fazia e pensava no início de sua história, ele precisava resolver problemas de seu dia-a-dia, ligados à sua subsistência. Ao buscar soluções para eles, o conhecimento matemático começou a ser construído.

Figura 1 - Na comparação entre o número de aves do caçador e o número de peixes do pescador está a raiz de uma das mais belas idéias matemáticas: a proporcionalidade.

Desenvolvendo competências

Reflita sobre a seguinte situação:

Se os pescadores e caçadores daquela época trocassem sempre 2 aves por 3 peixes, quantos

peixes deveria ter um pescador para trocar por 22 aves?

Como você resolveria esse problema?

Os homens das cavernas não dispunham ainda dos registros e técnicas operatórias atuais para resolver a questão. O pescador poderia pensar assim: quero aves, mas só tenho peixes. Vou agrupar meus peixes de 3 em 3 e para cada grupo ponho 2 pedrinhas ao lado para representar as aves, até completar 22 pedrinhas. Então, conto quantos peixes preciso. São 33 peixes!

Figura 2

Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio

Desenvolvendo competências

Você e as placas de trânsito

Algumas placas de trânsito que você

encontra nas ruas e estradas utilizam uma

“linguagem” simbólica, muitas vezes

impregnada de idéias matemáticas.

Observe as placas ao lado.

a) O que elas significam?

b) Que idéia matemática cada uma delas

utiliza?

Desenvolvendo competências

Represente o que é solicitado em cada situação por uma sentença matemática, de acordo

com as informações dadas:

1. Um táxi cobra R$3,50 a bandeirada e R$1,20 por quilômetro rodado. Como você pode

representar a despesa de um passageiro que faz um percurso de alguns quilômetros nesse

táxi? Represente por n o número de quilômetros rodados e por f(n) a despesa do passageiro.

2. Todos os terrenos de um condomínio têm 10m de frente, porém têm largura que varia de

um terreno para outro. Como você pode representar a área de um terreno qualquer desse

condomínio, que tem alguns metros de largura? Represente por A a área do terreno e por l

sua largura.

É claro que até chegarmos a esse tipo de linguagem, milhares de anos se passaram.

Além de todos esses símbolos que utilizamos para nos comunicar e para resolver problemas, muitas vezes nos valemos de uma “linguagem” , constituída de ícones, gráficos e diagramas,

impregnada de idéias matemáticas e cujo objetivo é comunicar informações do modo mais claro e preciso possível. Agora é sua vez de simbolizar:

A linguagem matemática está sempre em evolução, já que novas idéias e conceitos são criados a todo momento.

Figura 4

Capítulo I — A Matemática: uma construção da humanidade

A todo momento, podemos constatar nos meios de comunicação (televisão, jornais, revistas, internet, folhetos, livros etc.), a presença dessa “linguagem”. Uma pessoa que não a domina, não é

Pense um pouco sobre os gráficos acima: Os gráficos publicados pelo jornal fizeram parte de matéria sobre o “caso cracolândia”, ocorrido na

capaz de compreender as informações apresentadas, o que poderá torná-la incapaz de participar de maneira integral de uma vida em sociedade.

cidade de São Paulo, no final de 2001, e dizem respeito às ações promovidas pela Corregedoria da polícia civil e à situação de seus funcionários.

Adaptado da Folha de S. Paulo, São Paulo, 17 dez. 2001. Cotidiano, p. C4.

Capítulo I — A Matemática: uma construção da humanidade

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O desenvolvimento da Matemática

e os outros campos do conhecimento

Você já viu que o desenvolvimento da Matemática se deve em grande parte à busca de soluções para problemas que a humanidade tem enfrentado em seu dia-a-dia. Apenas para dar alguns exemplos:

• Que chance tenho em ter meu bilhete sorteado numa loteria de números?
• Como fixar as ripas de meu portão?
• Quantas estampas diferentes posso obter nos tecidos da tecelagem onde trabalho, se o fundo pode ser ou azul ou amarelo e o desenho pode ser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou, ainda, xadrez vermelho?

Questões semelhantes a essa fizeram o homem pensar nos fenômenos probabilísticos, em questões geométricas, e nos problemas de contagem, respectivamente. Além desses campos específicos da Matemática aos quais eles se referem, outros mais foram desenvolvidos a partir de problemas que envolviam números, medidas, álgebra, ligados à realidade da humanidade.

Entretanto, os outros campos do conhecimento também têm solicitado respostas da Matemática para solucionar seus problemas específicos, contribuindo indiretamente para seu desenvolvimento.

Para citar um exemplo que mostra a Matemática sendo utilizada em outro campo do conhecimento,

vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria, ramo da Matemática que, até por volta do século XVII, desenvolveu-se em decorrência de uma ligação estreita entre a teoria e a prática. No início de sua criação, a Trigonometria era um campo da Matemática no qual os ângulos de um triângulo e as medidas de seus lados eram relacionados. As razões trigonométricas apareceram inicialmente por necessidades da Astronomia, da Agrimensura e da navegação. Posteriormente, por volta dos séculos XVI e XVII, a Trigonometria esteve a serviço da Física para descrever e explicar fenômenos periódicos, como por exemplo:

• o movimento periódico dos planetas, estudado por Kepler.
• o movimento periódico dos pêndulos, estudado por Galileu.
• a propagação do som em forma de ondas, estudada por Newton.
• a propagação da luz em forma de ondas, estudada por Huyghens.
• a vibração de uma corda de violino, estudada por Mersenne.

Astronomia é a ciência que estuda as posições relativas, os movimentos, a estrutura e a evolução dos astros.

Agrimensura é a técnica de medida dos elementos geométricos das partes de um terreno

Tri gono metria (três) (ângulo) (medida)

Todos sabem que, se você deseja ser um físico ou engenheiro, deveria ser bom em Matemática.

Mais e mais pessoas estão descobrindo que, se desejam trabalhar em certas áreas da

Economia ou Biologia, deveriam rever sua Matemática. A Matemática penetrou na

Sociologia, Psicologia, Medicina e Lingüística. Sob o nome de cliometria, está se infiltrando

na História, para sobressalto dos mais velhos.

DAVIS, Philip J.; KERSH, Reuben. A experiência matemática. Tradução de João Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: F. Alves, c 1989. 481p. (Coleção Ciência): The Mathematical experience.

Matemática e suas Tecnologias Ensino Médio

Já no final do século XVII, com o início do desenvolvimento do conceito de Função, o estudo da Trigonometria se ampliou para um campo mais abstrato, desligando-se assim das aplicações práticas.

Figura 6 – Onde a, b e c são as medidas dos catetos e da hipotenusa desse triângulo retângulo; a e b seus ângulos agudos; e sen (seno), cos (co-seno) e tg (tangente) são razões entre medidas dos lados desse triângulo, como estão descritas acima.

h 1 h 2 h 3 v 1 v 2 v 3

= = = ... = c (constante)

As razões trigonométricas já eram utilizadas pelos egípcios para resolver problemas de Arquitetura, por ocasião das construções das pirâmides. Para manter constante a inclinação das paredes das pirâmides durante a construção, eles mantinham constante o quociente do “afastamento horizontal” pelo “afastamento vertical”, que eram medidos com unidades diferentes. Na figura a seguir os afastamentos horizontais foram representados por h 1

, h 2

e h 3

e os verticais, por v 1

, v 2

e v 3

Figura 7

Assim, quando eles constatavam que

Atualmente, as razões trigonométricas num triângulo retângulo são apresentadas como na Figura 6.

concluíam que a parede apresentava sempre a mesma inclinação. Ora, o quociente entre essas medidas é nada mais, nada menos, do que uma razão trigonométrica, conhecida hoje por cotangente do ângulo de inclinação da parede com o chão. Hoje em dia mede-se a inclinação de uma reta por uma razão entre segmentos verticais e horizontais (tangente do ângulo de inclinação), razão essa inversa da utilizada pelos egípcios para resolverem problemas arquitetônicos.

Figura 5 - Triângulo retângulo é o triângulo que tem um ângulo reto (de 90°).