Baixe Interferência de Ondas: Comprimento de Onda e Índice de Refração e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Cultura, somente na Docsity!
Exerc´ıcios Resolvidos de ´Optica F´ısica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a TERCEIRA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a SEXTA edic¸ ˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo
36 Interferˆencia 2
36.1 A luz como uma onda......................................... 2
36.2 O experimento de Young....................................... 3
36.3 Intensidade das franjas de interferˆencia................................ 5
36.4 Interferˆencia em filmes finos..................................... 6
36.5 O interferˆometro de Michelson.................................... 9
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listaq3.tex)
36 Interferˆencia
36.1 A luz como uma onda
E 36-1 (40-1/
edic¸ ˜ao)
O comprimento de onda da luz amarela do s´odio no ar
´e de
nm. (a) Qual ´e a freq¨uˆencia da luz? (b) Qual
´e o comprimento de onda da luz em um vidro com um
´ındice de refrac¸˜ao de
? (c) Use os resultados dos
itens (a) e (b) para calcular a velocidade da luz no vidro.
(a)
Hz
(b)
nm
nm
(c)
*^
m/s
P 36-7 (40-11/
edic¸ ˜ao)
Na Fig. 36.3, duas ondas luminosas no ar, de compri-
mento de onda de ,^ nm, est˜ao inicialmente em fase.
A primeira atravessa um bloco de vidro de espessura -
e ´ındice de refrac¸˜ao '
.. A segunda atravessa
um bloco de pl´astico com a mesma espessura e ´ındice
de refrac¸˜ao '0/
. (a) Qual ´e o (menor) valor de -
para que as ondas saiam dos blocos com uma diferenc¸a
de fase de
rad? (b) Se as ondas forem superpostas
em uma tela, qual ser´a o tipo de interferˆencia resultante?
(a) Suponha a fase de ambas ondas como sendo ze-
ro antes de atingir a superf´ıcie dos meios com diferen-
tes ´ındices de difrac¸˜ao. A fase da primeira onda na su-
perf´ıcie de tr´as do vidro ´e dada por 1
onde
´e o n´umero de onda e
´e o com-
primento de onda no vidro. Analogamente, a fase da
segunda onda na superf´ıcie de tr´as do pl´astico ´e dada
por 1 /
=4>698 , onde
e o n´´ umero de
onda e
/ e o comprimento de onda no pl´´ astico.
As freq¨uˆencias angulares s˜ao as mesmas pois as ondas
tem o mesmo comprimento de onda no ar e a freq¨uˆencia
da onda n˜ao muda quando ela entra em outro meio. A
diferenc¸a de fase ´e
A;CB
D
E
Temos que
(^) ar &A'
, onde
(^) ar ´e o comprimento de
onda no ar e '
´e o ´ındice de refrac¸˜ao do vidro. Analo-
gamente,
(^) ar &(' /, onde ' / ´e o ´ındice de refrac¸˜ao
do pl´astico. Isto tudo fornece-nos uma diferenc¸a de fase
A;
ar
E
O valor de - que torna tal diferenc¸a igual a
´e
(^) ar A; ) '
, ^ *
A; )
.F4G
IH^ m
(b)
rad ´e menor do que
A;
rad, que ´e
a diferenc¸a de fase para interferˆencia completamente
construtiva, e maior do que
J, rad, a diferenc¸a de
fase para interferˆencia completamente destrutiva. A in-
terferˆencia ´e portanto intermedi´aria, nem completamen-
te construtiva, nem completamente destrutiva. Ela est´a,
entretanto, mais perto de ser completamente construtiva
do que de ser completamente destrutiva.
P 36-8 (40-12/
edic¸ ˜ao)
As duas ondas na Fig. 36.3 tˆem um comprimento de
onda de
nm no ar. Determine a diferenc¸a de fase
em comprimento de onda, depois de as ondas atraves-
sarem os meios e
, se (a) '
e '0/ . e
LK
m; (b) '
e '0/
e -
LK
m;
(c) '
e '0/^
e -
MK
m; (d) Su-
ponha que em cada uma destas trˆes situac¸ ˜oes as ondas
sejam superpostas numa tela. Descreva os tipos de in-
terferˆencia resultantes.
A soluc¸˜ao do problema baseia-se na seguinte ex-
press˜ao para a diferenc¸a de fase:
N
A;
OQPPP
P
P
P
A;
OQPPP
P
P
P
A;
R
R
(a)
N 1
A;
H
.F4G
E 36-13 (40-18/
edic¸ ˜ao)
O experimento de Young ´e executado com luz azul-
esverdeada de comprimento de onda de
nm. A
distˆancia entre as fendas ´e de
mm e a tela de
observac¸˜ao est´a a
, m das fendas. Qual ´e o
espac¸amento entre as franjas claras?
A condic¸˜ao de m´aximo ´e
j sen h i
, onde
j ´e a
separac¸˜ao das fendas,
o comprimento de onda, i e um´
inteiro, e h ´e o ˆangulo feito pelos raios que interferem e o
eixo perpendicular `a superf´ıcie contendo as fendas. Se h
´e pequeno, sen h pode ser aproximado por h, em radia-
nos. Neste caso temos h
j i
e a separac¸˜ao angular
dos m´aximos adjacentes, um associado ao inteiro i e o
outro associado ao inteiro i Z
, ´e dada por
N
h
j .
Com isto, a separac¸˜ao sobre uma tela a uma distˆancia l
´e dada por
N[m l
N
h
(^) l j
I *
cIn
In^ m
mm
E 36-14 (40-21/
edic¸ ˜ao)
Em um experimento de Young, a distˆancia entre as fen-
das ´e de vezes o valor do comprimento de onda da
luz usada para ilumin´a-las. (a) Qual ´e a separac¸˜ao an-
gular em radianos entre o m´aximo de interferˆencia cen-
tral e o mais pr´oximo? (b) Qual ´e a distˆancia entre es-
tes m´aximos se a tela de observac¸˜ao estiver a
cm de
distˆancia das fendas?
(a) O m´aximo adjacente ao m´aximo central ´e o que
corresponde a i de modo que
h
sen
B
"i
j D
P
P
P
o
e
sen
B
D
rad
(b) Como
m
l sen h
cm* sen
Y^ Y^ rad*
mm
`
a separac¸˜ao ´e
Npm m
mVC m
\
mm
P 36-19 (40-24/
edic¸ ˜ao)
Em um experimento de Young, a distˆancia entre as fen-
das ´e
mm e as fendas est˜ao a m da tela de observac¸˜ao.
Duas figuras de interferˆencia podem ser vistas na tela,
uma produzida por uma luz com comprimento de onda
de ,
nm e outra por uma luz de comprimento de onda
de . nm. Qual ´e a distˆancia na tela entre as franjas
de terceira ordem (i ) das duas figuras de inter-
ferˆencia?
Os m´aximos de um padr˜ao de interferˆencia de fenda
dupla aparecem em ˆangulos h dados por
j sen h i
,
onde
j ´e a separac¸˜ao das fendas,
o comprimento de
onda, e i um n´unero inteiro. Se h for pequeno, sen h
pode ser substituido por h em radianos. Neste caso, te-
mos mais simplesmente que h
j i
.
[Perceba que EVITAMOS escrever
j h i
para mini-
mizar a possibilidade de confus˜ao com algum elemento
diferencial de ˆangulo
j h. Uma notac¸˜ao coerente e apro-
priada salva muita gente na hora da prova.... :-) ]
A separac¸˜ao angular dos dois m´aximos associados com
comprimentos de onda diferentes mas com o mesmo va-
lor de i e´
N
h
i j
e a separac¸˜ao
N
pm observada numa tela localizada a uma
distˆancia l e´
Npm l tan
N
h[q5l
N
h
B
"i l j D
Como usamos a aproximac¸˜ao tan hq
N
h, observe que N h deve estar em radianos.
Em n´umeros, temos,
Npm
]
cn
^
F4r,
Is (^) m
mm
LK
m
P 36-20 (40-27/
edic¸ ˜ao)
Na Fig. 36.29, t
e t / s˜ao fontes que produzem ondas
em fase, de mesma amplitude e com o mesmo compri-
mento de onda
. A distˆancia entre as fontes ´e
j
.
Determine a maior distˆancia a partir de t
, ao longo do
eixo u, para a qual as duas ondas se anulam totalmente
por interferˆencia destrutiva. Expresse esta distˆancia em
comprimentos de onda.
Chamemos tal distˆancia de u. Ent˜ao
R
N
1 R
wvyx
j /
Z
u
o
4 ru o Fz
i Z
;a`
onde i
`
`
|c` dd. Consequentemente,
u o
j/
) i Z
i Z
O maior valor de u o
´e obtido para i :
u
VC
j /
4
P 36-21 (40-28/
edic¸ ˜ao)
Um fino floco de mica ('
) ´e usado para cobrir
uma das fendas em um experimento de Young. O pon-
to central da tela passa a ser ocupado pelo que era a
s´etima franja clara (i
) quando a fenda estava livre.
se
nm, qual ´e a espessura do floco de mica?
( Sugest˜ao : Considere o comprimento de onda da luz no
interior do floco de mica.)
Considere as duas ondas, uma de cada fenda, que pro-
duzem a s´etima franja clara na ausˆencia da mica. Elas
est˜ao em fase nas fendas e viajam distˆancias diferen-
tes at´e a s´etima franja clara, onde a diferenc¸a de fase ´e A; i d,
. Quando um floco de mica de espessura u
´e colocada na frente de uma das fendas e as ondas n˜ao
est˜ao mais em fase nas fendas. Nas fendas, suas fases
diferem de
A;
u
o
A;
u
A;
u
U *
onde
o
e o comprimento de onda na mica,´ ' e o ´´ ındice
de refrac¸˜ao da mica, e usamos relac¸˜ao
o
sendo o comprimento de onda no v´acuo.
Como as ondas est˜ao agora em fase na tela, devemos ter
A; u
U * d,
a`
donde tiramos que
' 4 G
U
. ., IH^ m .Y .,
K
m
P 36-22 (40-32/
edic¸ ˜ao)
A luz de um laser com comprimento de onda de .
nm passa por duas fendas localizadas em um tela na par-
te da frente de uma sala de aula, ´e refletida por um es-
pelho situado a
m de distˆancia, no fundo da sala, e
produz uma figura de interferˆencia na mesma tela que
cont´em as fendas. A distˆancia entre duas franjas cla-
ras adjacentes ´e cm. (a) Qual ´e a distˆancia entre
as fendas? (b) O que acontece com a figura de inter-
ferˆencia quando o professor cobre uma das fendas com
um pedac¸o de celofane, aumentando de
o n´umero
de comprimentos de onda percorridos pela luz no traje-
to que passa pelo celofane?
(a) Aqui, use
N
[m l
j obtendo
j
l Npm
^ *
Y
mm
Observe o fator
acima: ele ´e devido ao fato da luz ir
e voltar atrav´es da sala! O “D” refere-se ao caminho
´optico total.
(b) Neste caso a figura de interferˆencia ser´a deslocado.
Por exemplo, como no local do m´aximo central original
a diferenc¸a de fase ´e agora
N
N ):
2 N
A;a`
existir´a ali um m´ınimo em vez de um m´aximo.
36.3 Intensidade das franjas de inter-
ferˆencia
E 36-24 (40-41/
edic¸ ˜ao)
Determine a soma
m ) 8 * das seguintes func¸ ˜oes:
m
8 * sen 698 e
m /
sen
Z
k*
[Nota: perceba que neste enunciado escrevemos explici-
tamente a dependˆencia temporal de cada grandeza, com
o intuito de distinguir mais claramente as grandezas que
variam no tempo daquelas que n˜ao variam.]
Seguimos aqui o problema resolvido 36.3. Num ins-
tante de tempo 8 qualquer temos
m ) 8 *
m
Z
m /
Escolhendo
m
8 * como referˆencia, para 8 temos as
seguintes componentes horizontal e vertical de
m ) *
m 9 c k Z
k Z
`
m
sen k Z
sen k Z
A onda resultante tem uma amplitude
m [que ´e cons-
tante no tempo] dada por
m x
Z
`
pela superf´ıcie posterior n˜ao muda na reflex˜ao, uma vez
que o meio fora dela ´e o ar, cujo ´ındice de refrac¸˜ao ´e me-
nor do que o ´ındice da pel´ıcula de sab˜ao. Chamando de
- a espessura da pel´ıcula, tal onda viaja uma distˆancia
- a mais do que a onda refletida na superf´ıcie anterior.
A diferenc¸a de fase ´e
, onde
e o com-´
primento de onda no filme. Sendo
o comprimento de
onda no v´acuo e ' o ´ındice de refrac¸˜ao da pel´ıcula de
sab˜ao, ent˜ao
&A' e a diferenc¸a de fase ´e
B
A;
D
H^ *
B
D
rad
Como a diferenc¸a de fase ´e um m´ultiplo par de
, a in-
terferˆencia ´e completamente construtiva.
Note que
, fornecendo-nos i
, como
acima obtido.
Perceba que as duas maneiras de tratar o problema
prov´em de podermos colocar a ˆenfase ou na diferenc¸a
de fase ou na diferenc¸a entre as distˆancias percorridas ,
conforme a Eq. 36.28 [Eq. 40-25] do livro texto:
diferenc¸a
de fase
A;
diferenc¸a entre as
distˆancias percorridas
E 36-33 (40-48/
edic¸ ˜ao)
Uma onda luminosa de comprimento de onda de.
, nm
incide perpendicularmente em uma pel´ıcula de sab˜ao
(com ' ) suspensa no ar. Quais as duas meno-
res espessuras do filme para as quais as ondas refletidas
pelo filme sofrem interferˆencia construtiva?
Para interferˆencia construtiva usamos a Eq. 36.34 [40-
27]:
i Z
Os dois menores valores de - s˜ao aqueles correspon-
dentes a i e i , ou seja,
V
nm
,
^ *
nm YJ
K
m
`
e, para i ,
Q
V
YJ
K
m*
K
m
Perceba a utilidade e conveniˆencia de estabelecer-se
analiticamente que -
V
: evita-se refazer con-
tas j´a feitas, reduz-se a possibilidade de errar, e ganha-
se noc¸˜ao da magnitude relativa das grandezas em jogo.
Acostume-se sempre a fazer ´algebra (treinar seus neu-
rˆonios!!) antes de precipitar-se para a calculadora!
E 36-34 (40-50/
edic¸ ˜ao)
Uma lente com ´ındice de refrac¸˜ao maior do que e´
revestida com um filme fino transparente de ´ındice de
refrac¸˜ao
para eliminar pr interferˆencia a reflex˜ao de
uma luz de comprimento de onda
que incide perpen-
dicularmente `a lente. Qual a menor espessura poss´ıvel
para o filme?
Como a lente tem um ´ındice de refrac¸˜ao maior que o
filme fino, existe um deslocamento de fase de
na re-
flex˜ao da interface lente-filme, que cancela com o des-
locamento de fase de
devido a reflex˜ao da interface
filme-ar. Portanto n˜ao existe nenhum deslocamento de
fase efetivo e a condic¸˜ao para interferˆencia destrutiva ´e
i Z
O menor valor de - e obtido para´ i :
Y
E 36-35 (40-52/
edic¸ ˜ao)
Os diamantes de imitac¸˜ao usados em j´oias s˜ao feitos de
vidro com ´ındice de refrac¸˜ao de
. Para que reflitam
melhor a luz, costuma-se revesti-los com uma camada
de mon´oxido de sil´ıcio de ´ındice de refrac¸˜ao igual a
.
Determine a menor espessura poss´ıvel da camada para
que uma onda de comprimento de onda de
. nm e in-
cidˆencia perpendicular sofra interferˆencia construtiva ao
ser refletida pelas suas duas superf´ıcies.
A reflex˜ao na superf´ıcie anterior muda a fase de
, en-
quanto que a reflex˜ao na superf´ıcie posterior n˜ao muda-
a. Portanto a natureza da interferˆencia depender´a apenas
da mudanc¸a de fase sofrida dentro da pel´ıcula de reves-
timento cujo ´ındice de refrac¸˜ao ´e '
, menor que o
´ındice
do ‘diamante’.
Reconhecemos que o problema ´e semelhante ao pro-
blema 36-31 (40-47) acima, com a natureza da inter-
ferˆencia sendo regida pelas express˜oes
construtiva
z
`
destrutiva
`
Para termos interferˆencia construtiva, com i ve-
mos que a espessura do revestimento deve ser dado por
m
nm
Perceba que a situac¸˜ao mudaria radicalmente se em vez
de lidar com um diamante falso, com '
, esti-
vessemos lidando com um diamante real, para os quais
'\
A luz refletida pela superf´ıcie frontal do revestimento
sofre uma mudanc¸a de fase de
rad, enquanto que a luz
refletida pela superf´ıcie de tras n˜ao muda a fase. Sendo
- a espessura do revestimento, a luz refletida pela su-
perf´ıcie de tras viaja uma distˆancia
luz refletida pela superf´ıcie frontal.
A diferenc¸a de fase das duas ondas ´e
"^
,
onde
´e o comprimento de onda da luz no revestimen-
to. Se
for o comprimento de onda no v´acuo, ent˜ao C & (' , onde ' e o ´´ ındice de refrac¸˜ao do revestimen-
to. Portanto a diferenc¸a de fase ´e
B
A;
D
Para interferˆencia totalmente construtiva tal diferenc¸a de
fase deve ser um m´ultiplo de
A;
, ou seja,
B
A;
D
i
a`
onde i e um n´´ umero inteiro. Esta equac¸˜ao ´e um rear-
ranjo da Eq. 36.34 [40-27]. A soluc¸˜ao procurada ´e
i Z
Para determinar a menor espessura do revestimento bas-
ta tomar i . Neste caso, obtemos
m
nm
Perceba que as duas maneiras de tratar o problema
prov´em de podermos colocar a ˆenfase ou na diferenc¸a
de fase ou na diferenc¸a entre as distˆancias percorridas ,
conforme a Eq. 36.28 [Eq. 40-25] do livro texto:
diferenc¸a
de fase
A;
diferenc¸a entre as
distˆancias percorridas
P 36-43 (40-65/
edic¸ ˜ao)
Na Fig. 36.33, uma fonte de luz (de comprimento de on-
da de.
nm) ilumina perpendicularmente duas placas
de vidro de
mm de largura que se tocam em uma das
extremidades e est˜ao separadas por um fio de Y ,
mm
de diˆametro na outra extremidade. O ar entre as placas
se comporta como um filme fino. Quantas franjas cla-
ras s˜ao vistas por um observador que olha para baixo
atrav´es da placa superior? [Nota: na ,
edic¸˜ao do livro
usa-se
nm.]
Considere a interferˆencia das ondas refletidas pelas
superf´ıcies superior e inferior do filme de ar. A onda
refletida pela superf´ıcie superior n˜ao muda a fase na re-
flex˜ao, mas a onda refletida pela superf´ıcie de baixo mu-
da a fase em
rad. Num lugar onde a espessura do filme
de ar ´e - a condic¸˜ao para interferˆancia totalmente cons-
trutiva ´e
i Z
, onde
e o comprimento de´
onda e i ´e um n´umero inteiro.
O maior valor de i para o qual - e menor do que´ Y ,
mm ( ,
MK
m) ´e i d, , pois para tal valor de i
encontramos
i Z
p ^ *
,Y
A
Is^ m ,
EK
m
Para i ,Y j´a encontramos mais que ,
mm
( ,
EK
m):
i Z
,Y
p *
,Y
M^ Is^ m ,
K
m
Na extremidade mais fina do filme de ar existe uma fran-
ja branca associada com i e, assim sendo, no total
temos , Z
d," franjas claras.
P 36-49 (40-72/
edic¸ ˜ao)
A Fig. 36.34a mostra uma lente com raio de curvatura pousada em uma placa de vidro e iluminada de cima
por uma luz de comprimento de onda
. Associadas `a
espessura vari´avel
j do filme de ar, aparecem franjas de
interferˆencia circulares (os chamados an´eis de Newton ),
como mostra a Fig. 36.34b. Determine os raios dos cir-
culos que correspondem aos m´aximos de interferˆencia,
supondo que &
.
Considere o padr˜ao de interferˆencia formado pelas
ondas refletidas nas superf´ıcies superior e inferior da cu-
nha de ar. A onda refletida da superf´ıcie de baixo sofre
uma mudanc¸a de fase de
rad enquanto que a onda re-
fletida pela superf´ıcie superior n˜ao muda a fase. Num
distˆancia
j , o caminho ´optico muda de
j pois a luz atra-
vessa duplamente o brac¸o que cont´em o espelho. Cha-
memos de § a quantidade de franjas deslocadas. Ent˜ao j §
, donde tiramos
j
p^ n^ * +A
¨^ m
nm
P 36-57 (40-80/
edic¸ ˜ao)
Uma cˆamara selada, com
cm de comprimento e jane-
las de vidro ´e colocada em um dos brac¸os de um inter-
ferˆometro de Michelson, como na Fig. 36.36. Uma luz
de comprimento de onda
nm ´e usada. Quan-
do a cˆamara ´e evacuada, as franjas se deslocam de .
posic¸ ˜oes. A partir destes dados, determine o ´ındice de
refrac¸˜ao do ar `a press˜ao atmosf´erica.
Seja 1
a diferenc¸a de fase das ondas nos dois brac¸os
quando a cˆamara contiver ar e 1 / a diferenc¸a de fase
quando a cˆamara ´e evacuada. Estas quantidades s˜ao dis-
tintas pois o comprimento de onda no ar ´e diferente do
comprimento no v´acuo. Sendo
o comprimento de on-
da no v´acuo, o comprimento de onda no ar ´e
&(' , onde
' e o ´´ ındice de refrac¸˜ao do ar. Isto significa que
]
A;
A;
^
G *-
`
onde - ´e o comprimento da cˆamara. O fator
aparece
pois a luz atravessa a cˆamara duplamente, primeiro indo
para o espelho e depois voltando, ap´os a reflex˜ao.
Cada deslocamento de franja corresponde a uma
mudanc¸a na fase de
A;
rad. Assim, se o padr˜ao de in-
terferˆencia desloca-se de § franjas quando a cˆamara ´e
evacuada, temos
U *-
;a`
donde tiramos
' 4 G
^ *
c
Portanto ' .
