Análise de Estruturas II: Linhas de Influência em Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Análise de Estruturas II

Ildi Cismas

¸iu

[email protected]

Departamento de Engenharia CivilFaculdade de Ci ˆ

encias e Tecnologia

Universidade Nova de Lisboa

An ´ alise de Estruturas II – p.1/

Apresentação da Disciplina

Programa:

Módulo I: Introdução à Dinâmica de Estruturas

Origem de cargas, massa e amortecimento estrutural

Revisão e aprofundamento do caso de 1 GDL

História no tempo e resposta no domínio da frequência

Espectros de resposta

Eurocódigos relevantes

Módulo II: Linhas de influência de estruturas reticuladas isostáticas e hiperstáticas.

Métodos de determinação das linhas de influência

Método directo e indirecto aplicada à estruturas isostáticas

Método indirecto aplicada à estruturas hiperstáticas

Módulo II: Teoria de lajes:

Lajes de finas (Kirchhoff) e espessas (Reissner-Mindlin)

Relações fundamentais, Eq. Lagrange e condições de fronteira, etc.

Algumas soluções analíticas (Navier, Lévy, flexão cilíndrica, lajes circulares)

Modelação de lajes com elementos de grelha, MEF, MDF, etc.

An ´ alise de Estruturas II – p.2/

Linhas de influência - Treliças isostáticas

Para a determinac

ao da linha de influ ˆ

encia dos esforc

¸ os usa-se um

dos um dos seguintes m ´

etodos: m ´

etodo indirecto ou m ´

etodo

combinado

Método indirecto - Princípio de Müller-Breslau

Consiste na

determinação dos deslocamentos

, nas diferentes

secções/barras

do caminho de rolamento e segundo a direcção e sentido

da carga unitária, originados pela imposição da descontinuidade unitáriacorrespondente à grandeza para a qual se pretende determinar a linhade influência

Método combinado

linhas de influência dos esforços normais nas barras:

determinação das

linhas de influência das reacções

de apoio

utilizando o

método indirecto

aplicando-se em seguida as relações de equilíbrio (

método directo

equilíbrio de nós ou método das secções, para a determinação das linhas de influência dos esforços

normais nas barras.

An ´ alise de Estruturas II – p.4/

Treliças isostáticas - método combinado

Linhas de influ ˆ

encia das reacc

¸ ˜oes

: - são as mesmas de uma viga.

An ´ alise de Estruturas II – p.5/

Treliças isostáticas - método combinado

Exemplo

N

BC

: liberta-se o esforço na barra

BC

Condição de equilíbrio:

P

M

G

(esq

ou

P

M

G

(dir

x

a

X

M

G

(dir

V

E

×

a

N

BC

×

b

N

BC

(x

V

E

(x

a b

x

a

X

M

G

(esq

V

A

×

a

N

BC

×

b

N

BC

(x

V

A

(x

)^

a^ b

An ´ alise de Estruturas II – p.7/

Treliças isostáticas - método combinado

Construc

¸ ˜ao da linha de influ ˆ

encia para

N

BC

x

a

N

BC

x

V

E

(x

)^

3 a^ b

;^

x

a

N

BC

x

V

A

(x

)^

a^ b

An ´ alise de Estruturas II – p.8/

Treliças isostáticas - método combinado

Construc

¸ ˜ao da linha de influ ˆ

encia para

N

GC

x

a

N

GC

(x

V E

(x

)

sin(

α

)^

;^

x

a

N

GC

x

V A

(x

)

sin(

α

)

An ´

alise de Estruturas II – p.10/

Treliças isostáticas - método combinado

N

GB

: liberta-se o esforço na barra

GB

Libertação: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por duas barrasparalelas bi-rotuladas). Condição de equilíbrio:

P

V

esq

ou

P

V

dir

x

a

X

V

dir

V

A

N

GB

N

GB

(x

V

A

Para

x < a

a variação é linear e basta ligar o ponto

A

com o ponto

B

na LI. An ´alise de Estruturas II – p.11/

Linhas de influência - estruturas hiperstáticas

M ´

etodo indirecto

Lembrar

Teorema de Maxwell

Soluções constituídas com imposição de uma força generalizado unitária eoutra por imposição de deslocamento generalizado unitário,

P

i^

P

ij

e

d

j^

d

ij

Pji

i δ ii 1 (P)

M

N

δ ij

Pjj 1 (δ )

j

Aplicando o teorema de Betti,

×

δ

ij

P

ji

×

P

jj

×

P

ji

δij

O Princípio de Müller-Breslau também é válido para vigas hiperestáticas.

An ´

alise de Estruturas II – p.13/

Linhas de influência - método indirecto

Demonstrac

¸ ˜ao da validade do Princ´

ıpio de M ¨

uller-Breslau para vigas

hiperest ´

aticas

Exemplo: Linhas de influ ˆ

encia de reacc

¸ ˜oes de apoio: reacc

¸ ˜ao em B

1

A^

B^

C

D

Fig.a)

Sistema equilibrado

(Fig.b) - acção da reacção "real"+ carga móvel

Sistema compatível (Fig c)

• libertação do apoio, deslocamento unitário no

sentido oposto da reacção

produzido pela força fictícia

R

1

RB

A^

C

D

A^

B^

C

D

x

y(x) B

R´ 1

Fig.b) Fig.c)

Pelo Teorema de Betti temos:

R

B

×

×

y

(x

)^

R

′^

×

R

B

y

(x

)^

LI

positivo para baixo

An ´

alise de Estruturas II – p.14/

Linhas de influência - estruturas hiperestáticas

M ´

etodo indirecto para LI em estruturas hiperest ´

aticas - Princ´

ıpios gerais

O

método cinemático é bastante útil para a determinação do aspecto qualitativo de uma LI

, isto é, quando se deseja obter apenas a forma da LI.

Exemplo: A forma

da LI do efeito (momento flector) na secção de estudo

é suficiente

para determinar os posicionamentos da carga acidental

que maximizam ou

minimizam esse efeito. Os valores máximos e mínimos do efeito

(momento flector) na secção não

precisam ser

calculados

necessariamente com base na LI -

qualquer outro

método

poderia ser utilizado.

Contudo o método cinemático

também pode ser utilizado para determinar

equações e valores de LI de uma maneira geral

. A determinação de uma LI

baseada no método cinemático é feita pela superposição de duasconfigurações deformadas (elásticas) para uma mesma estrutura.

An ´

alise de Estruturas II – p.16/

Linhas de influência - estruturas hiperestáticas

Linhas de influ ˆ

encia de esforc

¸ os internos: momento em B

Sistema A: (Fig a) libertação do esforço e acção do esforço "real"+ cargamóvel (indicam-se os sentidos positivos)Sistema B: (Fig b) momentos fictícios M’ que provocam uma descontinuidadenegativa e unitária

M

B

M

B

1

A

D

y(x)

Fig.a)^ Fig.b)

A

B

D

x

B

C C

M´

M´

T. Betti:

M

B

×

×

y

(x

)^

M

′^

×

M

B

x 0 , x

y (x

Esforço positivo se

y

(x

)^

tem ao sentido da carga móvel

A

C

D

Fig.c)

B

LI−MB

An ´

alise de Estruturas II – p.17/

Linhas de influência - método indirecto

Linhas de influ ˆ

encia de de deslocamentos: deslocamento em S

Sistema A: acção da carga móvel (indica-se o sentido positivo)Sistema B: aplicação de uma carga unitária conjugada do deslocamentopretendido

1

Sistema A

d

Sistema B

y(x)

S S

Pelo Teorema de Betti (reciprocidade dos deslocamentos, temos:

×

d

×

y

(x

)^

d

y

(x

S

LI−dS

−

−

Deslocamento positivo se y tem o sentido positivo.

An ´

alise de Estruturas II – p.19/

Linhas de influência - método indirecto

Exemplo - viga isost ´

atica e hiperst ´

atica

1

1

M

2.0 m

3.0 m

2.0 m

3.0 m

A^

B^

C

1.

1

recta recta

recta recta

curva

curva V

Viga Gerber hiperstática

M

2.0 m

3.0 m

2.0 m

3.0 m

A^

B^

C

−3.0 m

+4.5 m

1

V

1.

1.

Viga Gerber isostática

An ´

alise de Estruturas II – p.20/