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Microeconomia: Estudo sobre incerteza
Tipologia: Notas de aula
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Universidade Autónoma de Lisboa
CARS – Centro de Análise Económica de Regulação Social
Maio de 2016
‘‘ It is a world of change in which we live … the problems of life arise
from the fact that we know so little .’’
Frank H. Knight - Risk, Uncertainty and Profit, 1921
« Car enfin qu'est-ce que l'homme dans la nature? Un néant à l'égard de l'infini, un tout à l'égard du néant, un milieu entre rien et tout, infiniment éloigné de comprendre les extrêmes; la fin des choses et leurs principes sont pour lui invinciblement cachés dans un secret impénétrable.
…Voilà notre état véritable. C'est ce qui nous rend incapables de savoir certainement et d'ignorer absolument. Nous voguons sur un milieu vaste, toujours incertains et flottants, poussés d'un bout vers l'autre; quelque terme où nous pensions nous attacher et nous affermir.»
Blaise Pascal – Pensées, 1670.
Os resultados prováveis em situações de risco podem ser estimados, conhecendo-se as probabilidades. Uma decisão de um indivíduo pode ser considerada como sendo de risco se pertence a um grande conjunto ou pode ser repetida e duplicada. Na situação de risco conhecem-se as distribuições das probabilidades.
Uma situação será incerta se a “população” relevante é pequena e a repetição não é possível. É por isso que o seguro de certos resultados é possível nos casos de risco mas não nos casos de incerteza.
As decisões dos indivíduos podem ocorrer numa das seguintes três situações: certeza (raramente), risco ou incerteza. A distinção entre estas situações consubstancia-se no nível de conhecimento acerca do resultado de uma particular decisão. No caso de actuação em situação de certeza o resultado é conhecido.
As decisões do indivíduo em situações de risco ocorrem quando mais de um resultado é possível decorrente de uma decisão mas a probabilidade de cada resultado é conhecida ou pode ser obtida por forma actuarial. As decisões em situação de incerteza são caracterizadas por múltiplos resultados para cada alternativa e as probabilidades dos resultados não são conhecidos, o que está conectado com a informação incompleta, as preferências pessoais e a percepção subjectiva. (Dowling, Grahame R., 1999: 420).
1.2 - VALOR ESPERADO E PROBABILIDADES
O conceito de valor esperado remonta a Blaise Pascal (1623-1662), o qual foi, juntamente com Pierre Fermat (1601-1665), um dos primeiros a colocar a questão de como as pessoas escolhem entre alternativas incertas. Como exemplo: deverá um indivíduo comprar, por 45€, um bilhete de lotaria que tem a probabilidade de 50% de ganhar 100€, ou não o deverá fazer e ficar com os 45€? A resposta de Pascal a esta questão foi a seguinte: deve-se multiplicar a probabilidade de ganhar pelo montante que se espera ganhar que dá uma média, ou valor esperado para essa acção do indivíduo. A conclusão é de que se escolherá a opção com o maior valor esperado.
secondary part of life; the primary problem or function is deciding what to do and how to do it”.
Este conceito poderia ser aplicado não só às opções com moeda mas poderia ser aplicado a qualquer decisão, mesmo na concernente à existência ou não de Deus, que ficou conhecida como O Jogo ( A Aposta). Pascal colocou a questão da incerteza quanto à existência de Deus e, baseado no valor esperado do benefício eterno ou condenação eterna, concluiu que dever-se-á escolher entre acreditar em Deus e não acreditar, devendo iniciar-se o jogo ( wager ) com os ganhos e perdas esperadas e as probabilidades associadas aos ganhos e perdas que são ½ para cada resultado. Deste modo, Pascal definiu o comportamento racional através da valor esperado, ultrapassando a certeza em que se pensava viver.
Considera-se que os objectos (de qualquer natureza) de escolha em situação de incerteza são jogos ou prospectos, que denominamos por G. O valor esperado de uma variável aleatória^2 (G) é a média ponderada pelas probabilidades de cada possível resultado de todos os possíveis valores, ou seja, é a soma dos vários valores que a variável aleatória pode tomar multiplicados pelas respectivas probabilidades:
EG = Σpi vi = p 1 x 1 + p 2 x 2 +…+ pn xn ,
onde EG representa o valor esperado da variável G, pi representa a probabilidade associada a cada valor xi, (resultado possível) sendo i = 1, 2, …,n. Condensadamente pode explicitar-se o valor esperado da seguinte forma:
EG= p ∑ i
A distribuição das probabilidades deve obedecer a dois requisitos fundamentais:
pelo que todos os resultados têm uma probabilidade não negativa de ocorrer e que algum resultado ocorrerá. Por vezes a escolha é apenas entre duas alternativas outras vezes da escolha efectuada podem resultar muitos resultados.
Como exemplo do valor esperado, considere-se que existe uma lotaria com seguintes prémios e probabilidades associadas a cada prémio, conforme o
(^2) Uma variável aleatória é uma variável com um valor futuro incerto.
A teoria das escolhas em situação de incerteza^3 com base no valor esperado, desenvolvida por Pascal, foi posta em causa por Daniel Bernoulli (1738), explicando que as decisões dos indivíduos são baseadas na UTILIDADE que decorre dos bens e não na riqueza ou nos bens per se. Esta alteração do paradigma de Pascal teve importantes implicações na determinação da teoria das escolhas em situação de incerteza.
Bernoulli explicitou a sua teoria no que ficou conhecido por Paradoxo de S. Petersburgo^4 ”, o qual evidencia que, ainda que os retornos esperados sejam muito elevados (infinitos em termos teóricos), os indivíduos tendem a não aceitar a situação de risco (que denominamos como prospecto ) porque o valor esperado dos retornos não capta a atitude dos indivíduos face ao risco mas sim, é à utilidade esperada que se deve atender para compreender as escolhas dos indivíduos.
Bernoulli considerou a teoria de Pascal mas acrescentou ao modelo a riqueza total do indivíduo e substituiu a variável externa “valor” (com a qual se obtém o valor esperado multiplicado pelas probabilidades) por uma variável interna que é designada por utilidade (que é influenciada pela riqueza do indivíduo) o que fez, considerando que os indivíduos são avessos ao risco.
Assumindo que a utilidade marginal da riqueza é decrescente, podem obter-se os valores da utilidade por uma transformação matemática, utilizando logaritmos, que traduzem uma função côncava, semelhante à função da utilidade total, no pressuposto de aversão ao risco, sendo U(x) = ln (X), o que, tendo em conta a utilidade marginal decrescente, o nível de riqueza influi na decisão do indivíduo.
Bernoulli transformou o conceito de valor esperado no conceito de utilidade esperada. Existe no modelo de Bernoulli a hipótese, a priori, que os indivíduos
(^3) Doravante não faremos a distinção entre risco e incerteza , salvo se explicitamente referenciado. (^4) Daniel Bernoulli (1738) estudou o comportamento do indivíduo num estado do mundo caracterizado pelo risco. O jogo consiste na promessa de pagar uma soma de dinheiro igual a 2 N^ se se obtém caras no Nth^ lançamento de uma moeda. Se X 1 =2; x 2 =4; x 3 = 8 , …Xn = 2n^ com as probabilidades a 1 = ½; a 2 = ¼; a 3 = 1/8;…;an= 1/2n; então, o valor esperado dos retornos (Xi) deste jogo é infinito: E(x) = Σαi xi = Σ1/2i 2 i^ = (^) ∑
∞ = 1
i
=∞. Ainda que o retorno esperado seja infinito,
supõe-se que o indivíduo não estará disposto a pagar um montante infinito para participar no jogo.
desejam maximizar a utilidade esperada e são avessos ao risco.
Daniel Bernoulli (1738) estudou o comportamento do indivíduo num estado do mundo caracterizado pelo risco. O jogo ou prospecto (que traduz a decisão em situação de incerteza) que Bernoulli utilizou consiste na promessa de pagar uma soma de dinheiro igual a 2N^ até que se obtenha caras no Nth^ lançamento de uma moeda ao ar. O que Bernoulli se propôs evidenciar com este jogo foi que os indivíduos não procuram maximizar o valor monetário esperado dos bens mas sim a utilidade. Considere-se que se fazem n lançamentos da moeda até que caras apareça voltada para cima. Não sendo defeituosa, a moeda tem a probabilidade de ½ de aparecer caras ou X em qualquer lançamento. Se aparecer caras no primeiro lançamento o pagamento a efectuar é de 2^1 €; se aparecer caras no segundo lançamento, pagar-se-á 2^2 €. Se a cara aparecer no terceiro lançamento o pagamento será de 23 € e assim sucessivamente, dado que todos os lançamentos são independentes. Deste modo, o valor esperado deste jogo será dado pela seguinte expressão: Se x 1 =2; x 2 =4; x 3 = 8, …Xn = 2 n^ com as probabilidades associadas (mutuamente exclusivas e exaustivas) p 1 = ½; p 2 = ¼; p 3 = 1/8;…; pn= 1/2n; então, o valor esperado dos retornos (Xi) deste jogo é infinito:
Ve(x) = Σ pn xn = Σ (^) 2 n^ =
∑
∞ = 1
i (^) =∞.
O valor esperado do jogo é a soma de todos os resultados esperados de todos os lançamentos da moeda. Ainda que o valor esperado do jogo seja infinito, é um pressuposto que a maioria dos indivíduos não estará disposta a pagar um montante elevado para participar no jogo, dado que, como foi referido, os indivíduos actuam com base na utilidade esperada dos bens e não com base nos seus valores esperados, considerando-se que são avessos ao risco.
preferível a B e B é preferível a C, então A é preferível a C;
A aceitação destes axiomas leva à construção da função de utilidade individual, função que permite demonstrar (teoricamente) que os indivíduos procurar maximizar a sua utilidade subjectiva esperada. A axiomatização da teoria da utilidade esperada leva a que se considere que as pessoas racionais devem actuar de acordo com os pressupostos da teoria, e que a não conformidade com esses axiomas são considerados desvios ou anomalias_._ Esta teoria assenta no conceito de homo economicus. É uma teoria normativa.
A teoria da utilidade esperada é normativa, no sentido de ser um modelo de como as pessoas devem escolher, baseada em certos axiomas, e é prescritiva no sentido de poder ser aplicada para ajudar as escolhas. De sublinhar que o modelo da utilidade esperada não trata com a incerteza, no sentido de Knight, mas apenas com o risco. Nas situações de risco o indivíduo poderá considerar todos os possíveis resultados e associar-lhes probabilidades, o que não se verifica nas situações de incerteza.
Considera-se que, como restrições, a função de utilidade, U(x):
a) é contínua; e b) é crescente (o mais é preferível ao menos em tudo que dá utilidade).
O seguinte gráfico representa uma possível função utilidade, U(W), que, como referimos, pode ser transformada numa função logarítmica: pelo que se pode escrever, U(W) = ln(W), onde W representa a riqueza do indivíduo:
Gráfico nº 1.2.2.1 – Função de Utilidade com Aversão ao Risco
Utilidade
U(W)= ln(W)
A inclinação da curva da função utilidade é cada vez menor à medida que o nível da riqueza aumenta, traduzindo a concavidade da função correspondente a indivíduos avessos ao risco, sendo a primeira derivada da função positiva e a segunda derivada negativa, ou seja, Uw`>0 e Uw´´ <0, onde Uw´ é a primeira derivada e Uw´´ é a segunda derivada em relação à riqueza. A concavidade da função utilidade consubstancia a lei da utilidade marginal decrescente, isto é, de sucessivos aumentos da riqueza, W, resultam acréscimos de satisfação adicionais cada vez menores, o que é traduzido na segunda derivada negativa.
A atitude dos indivíduos face ao risco, isto é, o comportamento que adoptam em situações com resultados aleatórios, pode ser:
a) proclive ao risco; b) neutral ao risco; ou c) avessa ao risco.
Consideraremos as atitudes possíveis em situações de risco que denominamos por jogo ou prospecto.
Dado um prospecto (actuação em situações de risco) G (w 1 , w 2 , p, 1-p), sendo w 1 e w 2 dois resultados mutuamente exclusivos, com probabilidades associadas p e (1-p) respectivamente, e a função utilidade, U (W), O indivíduo prefere o valor esperado do prospecto com certeza ou o próprio jogo que traduz a situação de risco?
Neste caso, existem três possibilidades:
Se o indivíduo prefere o jogo será propenso ao risco, com U´ (W) >0 e U´´ (W)>0, sendo a função U convexa; Se é indiferente entre as duas opções, é neutral face ao risco, com U´>
A aversão ao risco influi nas atitudes dos indivíduos em situações de incerteza. Alguns estarão dispostos a prescindir de parte da riqueza para eliminar o risco e obter um valor menor mas certo. Este montante que os indivíduos estão dispostos a sacrificar denomina-se prémio de risco (π) (Donário, 2010) que é o máximo de riqueza que o indivíduo estará disposto a sacrificar que o faz indiferente entre a situação de risco e o valor certo:
E [U (W)] = U [E (W) - ππππ ].
Ou seja, a utilidade esperada de um prospecto é igual à utilidade do valor esperado da riqueza menos o prémio de risco O prémio de risco^8 será dado por :
(^8) Também chamado prémio Markowitz. A função de utilidade é, em logaritmos naturais:
ππππ = E (W) – EC.
E(W) o valor esperado individual da riqueza, dado o jogo. EC é o equivalente certo que é dado por EC = (EW-π), ou seja, o valor certo esperado da riqueza menos o prémio de risco. O prémio de risco^9 é igual à riqueza esperada do
O indivíduo adverso ao risco prefere € 73,70 com certeza ao jogo com o resultado esperado de € 100. A diferença (€ 100-€ 73,70) = € 26,3 é o prémio de risco, o montante que o indivíduo está disposto a pagar para evitar o risco. Jehle, G.; Reny, P. Advanced Microeconomics Theory. Addison Wesley, 1998, p. 209. (^9) A aproximação de Arrow-Pratt do prémio de risco. Gollier, Christian. The Economics of Risk and Time. Mit Press, 2001, pp. 17-24. O prémio de risco pode ser derivado para riscos pequenos. Considere-se a situação de indiferença para o indivíduo adverso ao risco, entre a situação de risco (prospecto) e o equivalente certo, e com E(W)=Wo (o valor esperado da função estocástica) e W* = (W 0 - π) o equivalente certo, temos:
Utilizando-se a expansão da série de Taylor (primeira ordem) para o membro esquerdo da equação 1) vem:
U(W) ≈ U (W 0 ) +U´(W 0 ) (W-W 0 ) = U(Wo) – U´(W 0 ) π, dado que W* = W 0 - π; a aproximação de segunda ordem da série de Taylor para o membro direito da equação de 1), é:
E [U(W) ≈ E [U (W 0 ) + U´(W 0 ) (W-W 0 ) + ½ U´´ (W 0 ) (W-W 0 )^2 ] Considerando o valor esperado, temos:
E[U(W)] ≈ U (W 0 ) + U´(W 0 ) E (W-W 0 ) + ½ U´´(W 0 ) E(W-W 0 )^2 , sendo E(W-W 0 ) =0 dado que E(W)=Wo., e (W-W 0 )^2 = σ^2 W (variância de W), e sendo (U (W 0 ), U´(W 0 ), U´´(W 0 ) constantes, pois W 0 não é estocástico., temos:
E[U(W)] ≈ U (W 0 ) + ½ U´´(W 0 ) σ^2 W
Combinando os membros direitos de 2) e 5), temos:
U(Wo) – U ´ (W 0 ) π, = U (W 0 ) + ½ U ´´ (W 0 ) σ^2 W
π ≈ - ½ [U ´´ (W 0 ) / U ´ (W 0 )] σ^2 W Este resultado implica que o prémio de risco é função da riqueza, da variância e da medida do grau de risco de Pratt. Quanto maior for a variabilidade do valor das sentenças, e menor a riqueza (para indivíduos adversos ao risco) maior será a medida absoluta de aversão ao risco de Arrow- Pratt (ARA) [U ´´ (W 0 ) / U ´ (W 0 )], maior será o prémio de risco e, em consequência, menor será o equivalente certo. A variabilidade da riqueza e os diferentes graus de risco entre os lesados (nos acidentes viários) pode explicar parte da variabilidade das indemnizações (para casos similares) fixadas por acordo com as seguradoras.
U ´´ (W 0 )/ U´(W 0 ) é uma medida absoluta de aversão ao risco de Arrow-Pratt (ARA), por que mede a aversão ao risco para um nível dado de riqueza que é positiva para os indivíduos adversos ao risco, igual a zero para os indivíduos neutrais ao risco, e negativa para os indivíduos propensos ao risco.
Assim, o grau de risco mede-se pela variância das indemnizações, sendo o prémio de risco uma função crescente da variância condicional dos resultados obtidos através da tutela judicial. Quanto maior for a variância condicional dos resultados obtidos maior será a compensação que os lesados estarão dispostos a pagar (não receber) às seguradoras para eliminar o risco da tutela judicial. O equivalente certo é inferior ao valor esperado das indemnizações fixadas por sentença, EC < E (x), traduzindo a aversão ao risco^14.
Por outro lado, para os indivíduos com aversão ao risco, o nível absoluto de risco (ara) é inverso do nível de riqueza^15 (dara)^16 , e estarão dispostos a pagar um prémio de risco maior quanto menor for a sua riqueza^17 e maior seja ara.
O imposto automóvel (IA) que incide sobre o preço dos veículos, é elevado em Portugal, levando a um aumento do seu preço, implica uma diminuição do rendimento disponível, o que induz uma subida do grau absoluto de risco e, consequentemente, uma subida do prémio de risco e uma diminuição do equivalente certo correspondente ao montante das indemnizações fixadas por acordo com as seguradoras.
(^14) A relação entre a aversão ao risco, baseada na desigualdade de Jensen e o Equivalente Certo, pode ser formalizada do seguinte modo: (1) Sendo o EC da função utilidade F(.) o montante de retorno para o qual o indivíduo é indiferente entre o jogo F(.) e um montante certo, (1)u (CE) = (^) ∫ u (x)dF(x) ≤ u [ (^) ∫ x dF(x)], para ∀ F(.)., onde u é a função utilidade, monótona e crescente, x o valor das sentenças e F(x) a função acumulativa de probabilidade associada com a variável estocástica que é traduzida pelos valores das sentenças. (2) u-1 ∫ u (x) dF(x) ≤ (^) ∫ x dF(x); (3) Sendo u CE = (^) ∫ u ( x) dF( x ), para ∀ F(.) ⇒ ⇒ CE = u-1 ∫ u (x) dF(x); (4) Susbtituindo u-1 ∫ u (x) dF(x) por CE em (2) tem-se (5) CE ≤ (^) ∫ x dF(x), o que implica que o montante dado pelo equivalente certo é inferior ao valor esperado. (^15) Pratt, J. Risk Aversion in the Small and in the Large_. Econometrica_ , Nº 32, p. 122-136. Arrow, K. The Theory of Risk Aversion_._ En: K. Arrow (Ed.). Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Markham, 1970, pp. 90-109. tomado de: Jehle, G.; Reny, P. Advanced Microeconomics Theory. Op. cit., p. 210-214. (^16) DARA: Decreasing Absolute Risk Aversion. A função de utilidade, U, tem um grau decrescente de aversão ao risco se u(w, x) > u(w + a, x) para todo a > 0, sendo π o prémio de risco, w a riqueza inicial e a o crescimento da riqueza. (^17) Friedman, M.; Savage, L.J. Utility Analysis of Choices Involving Risk. Journal of Political Economy , 1948, Vol. 56, pp. 279-304. Estes autores referem que não é necessariamente verdade que a função de utilidade de um indivíduo tenha a mesma curvatura em toda a sua extensão. Pode haver níveis de riqueza onde o indivíduo seja adverso ao risco, outros níveis onde seja propenso e outros onde seja neutral.
O montante médio da indemnização que os lesados recebem mediante acordo pode ser considerado o equivalente certo^18 (EC), que é a diferença entre o valor esperado das indemnizações fixadas por sentença e o montante que o lesado está disposto a sacrificar para afastar o risco associada à tutela judicial^19.
Sendo a média do valor esperado das indemnizações fixadas por sentença maior que a média do valor esperado das indemnizações fixadas por acordo, porquê os lesados aceitam, maioritariamente, os acordos com valores menores?
A explicação encontra-se no nível de risco que é gerado pela variabilidade e imprevisibilidade do montante das indemnizações fixadas por sentença, conjugadas com a dilação judicial e o custo de litigação^20. Quanto maior seja a imprevisibilidade dos montantes das indemnizações fixadas por sentenças, logo elevada variância - e o grau de aversão ao risco – o seu grau absoluto varia entre os indivíduos – mais baixas tenderão a ser os montantes das indemnizações acordadas com as seguradoras devido ao crescente prémio de risco.
2 - MAXIMIZAÇÃO DA UTILIDADE ESPERADA. DECISÃO EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA
Em situações de risco, a maximização da utilidade é baseada nas expectativas das variáveis relevantes do futuro, por exemplo, o rendimento e a taxa de juro, formadas racionalmente pelos agentes económicos, que utilizam toda a informação disponível.
Numa situação de incerteza, podemos afirmar que ao indivíduo se coloca a seguinte questão: incorrerei numa determinada acção ou não?
Dado que a decisão do indivíduo de incorrer numa determinada acção é sempre ex-ante , este necessariamente deparar-se-á com o risco inerente ao incerto, comparando-o com a situação certa.
Se o indivíduo decidir não incorrer nessa determinada acção, então,
(^18) Contudo, esta quantia recebida por acordo não é totalmente certa. (^19) A fórmula seria: EC = U (g) = U (E (g) - π), sendo E(g) o valor esperado do jogo , isto é, o valor esperado da sentença, e π o prémio de risco. (^20) Sobre a função de litigação veja-se: Pastor, S. Ah! De a Justicia! ... Op. cit. Também se podem consultar: Polinsky, M. The Welfare Implications of Costly Litigation in the Theory of Liability. Working Paper Nº 1834, NBER, 1986.
Necessariamente, cada um dos cenários tem uma probabilidade associada.
Formalmente a utilidade esperada (Ue) de um indivíduo, ao praticar uma potencial acção, pode ser formalmente representada pela seguinte expressão:
Ue^ = p U(W 1 ) + (1-p) U (W 2 ) ,
onde: p designa a probabilidade de determinado resultado se verificar; U significa a utilidade; Ue^ representa a utilidade esperada; W 1 representa a riqueza do indivíduo com o resultado de sucesso;
W 2 significa a riqueza com o resultado de insucesso.
Neste caso existem apenas dois resultados possíveis, que consideramos como expressando o cumprimento das normas legais ou a sua violação, onde p representa a probabilidade efectiva de o indivíduo praticar uma acção ilegal e ser detectado e sancionado, de acordo com o previsto nas normas legais, e (1- p) representa a probabilidade de o indivíduo praticar uma acção ilegal é não ser detectado e, por conseguinte, não ser sancionado, de acordo com o previsto nas normas legais.
O primeiro termo do segundo membro da equação, p U(W 1 ), representa a situação de insucesso para o indivíduo, pois pratica uma acção ilegal e é sancionado. Por sua vez o segundo termo do segundo membro da equação, (1- p) U (W 2 ), representa a situação de sucesso para o indivíduo que pratica uma acção ilegal e não é detectado nem sancionado.
O risco está associado a uma probabilidade. A probabilidade que o indivíduo afecta aos possíveis resultados que prevê é uma probabilidade subjectiva, que poderá afastar-se mais ou menos da probabilidade objectiva ou efectiva, devido à informação imperfeita que tem da consideração de todos os factores. Assim, pode formalizar-se a decisão do indivíduo com base na seguinte expressão:
p U(W 1 ) + (1-p) U (W 2 ) > U(W 0 ),
onde: p designa a probabilidade de determinado resultado se verificar; U significa a utilidade; W 1 representa a riqueza do indivíduo com o resultado de sucesso; W 2 significa a riqueza com o resultado de insucesso; W 0 representa a riqueza inicial. Assim, de acordo com a teoria da utilidade esperada^22 , o indivíduo praticará uma acção, terá determinado comportamento, se e só se, a utilidade esperada de praticar determinada acção, ou seguir determinado comportamento, for maior que não praticá-la. O membro esquerdo da inequação traduz a utilidade esperada do somatório dos resultados prováveis. Consubstancia uma situação de risco. Ao risco subjectivo decorrente de cada resultado esperado está associada uma probabilidade
n i i
p 1
= 1, pois a
probabilidade de um determinado resultado varia entre zero e um. O primeiro termo do primeiro membro da expressão, {p U(W 1 )}, representa a utilidade esperada do sucesso, enquanto o segundo termo do primeiro membro, {(1-p) U (W 2 )}, traduz a desutilidade esperada associada a um insucesso, ou seja, a um resultado negativo para o indivíduo. Sempre que a utilidade esperada de praticar uma acção for inferior a não praticá- la (que, também, se poderá consubstanciar numa omissão), o indivíduo abster- se-á de ter determinado comportamento. Neste caso a expressão terá a forma seguinte:
p U(W 1 ) + (1-p) U (W 2 ) < U(W 0 ).
(^22) O valor esperado de um fenómeno (variável) é uma média ponderada dos resultados esperados pelas probabilidades que lhes estão associadas. Numa simples fórmula o valor esperado de da variável X será dado por E(X) = p 1 .x 1 + p 2 .x 2 +…+ pn xn, onde p 1 , p 2 , …,pn são as probabilidades associadas aos prováveis resultados, x 1 , x 2 ,…,xn.
