Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES
CAPACITORES
E INDUTORES
CAPITULO 04
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Indutores e capacitores, Notas de estudo de Eletrônica
Indutores e capacitores
Tipologia: Notas de estudo
2012
1 / 28
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Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES
CAPACITORES
E INDUTORES
CAPITULO 04
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
4.1 INTRODUÇÃO
Destina-se o presente capítulo a apresentar o comportamento dos indutores e capacitores como elementos essenciais da grande maioria dos circuitos elétricos e eletrônicos. Procuraremos dar uma abordagem qualitativa desses elementos abordando os principais aspectos relativos ao armazenamento de energia para em seguida apresentar as principais relações matemáticas que definem o comportamento desses elementos e suas propriedades. Veremos ainda o conceito de dualidade, a obtenção de circuitos duais, a obtenção das equações íntegro-diferenciais, de malha e de nó dos circuitos contendo indutores.
4.2 O INDUTOR
O indutor é um elemento passivo capaz de armazenar e fornecer quantidades finitas de energia. Ao contrário de uma fonte ideal, eles não podem fornecer quantidades ilimitadas de energia ou manter o fornecimento de uma determinada potência média. Vamos definir indutor e indutância estritamente do ponto de vista de circuitos, por sua relação tensão-corrente. Quando a corrente que atravessa um condutor varia, o fluxo magnético que o envolve também varia. Esta variação de fluxo magnético ocasiona a indução de uma voltagem num circuito próximo ao condutor. Esta voltagem induzida é proporcional à razão de variação da corrente geradora do campo magnético com o tempo. Essa constante de proporcionalidade é chamada indutância e é simbolizada pela letra L. A relação é, portanto:
(4.1)
A unidade de indutância é Henry ( H ).
Figura 4.1 – O indutor ideal.
O indutor cuja indutância é definida pela expressão (4.1), é um modelo matemático; é um elemento ideal que pode ser usado para aproximar o comportamento de um dispositivo real. Fisicamente, um indutor pode ser construído enrolando-se um pedaço de fio na forma de bobina.
Um indutor, ou bobina, com a forma de hélice de passo muito pequeno, possui uma indutância, em Henry (H) dada por,
(((( ))))
di t (( )(( )))
v t L
dt
v(t)
i(t)
L
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
c)
Figura 4.2 – Efeito de variação da corrente sobre um indutor de 3H.
4.3 RELAÇÃO PARA CORRENTE E ENERGIA NO INDUTOR
Da equação de definição do indutor podemos escrever:
Fazendo a integração de t 0 a t:
Para t 0 = 0- :
(4.3)
A equação (4.3) nos fornece a corrente em função da voltagem e i(0 - ) pode ser considerada como a corrente existente no indutor em t = 0 -^ antes da aplicação da voltagem v(t). Para um problema real, a seleção de t 0 = -∞ assegura a não existência de corrente ou energia inicial no indutor. Assim se i(t 0 ) = i(-∞) = 0, então:
(4.4)
O fluxo magnético num indutor atravessado por uma corrente i(t) é dado por:
(4.5)
Vamos deter nossa atenção para potência e energia. A potência absorvida é dada pelo produto tensão-corrente.
(4.6)
(((( ))))
l
di v t dt
L
(( )(( ))) (((( ))))
(((( ))))
(( )(())) (((( )))) (((( ))))
0 0
0
i t t i t t t (^0) t
l
di v t dt
L
l
i t i t v t dt
L
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫∫
(( )(( ))) (^) (((( )))) (((( ))))
t 0
l
i t i 0 v t dt
L
−−−−
∫∫∫∫
(( )(())) (((( ))))
l^ t
i t v t dt
L −∞−∞−∞−∞
==== (^) ∫∫∫∫
φφφφ (^) (((( ) t (^) ))) ==== L i t ⋅⋅⋅⋅ (((( ) (^) ))) Wb
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
di t (((( ))))
p t v t i t L i t W
dt
t(s)
0 1 2 t(s)
i(t) (A)
v(t) (V) ∞
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
A energia ωL recebida pela indutância é armazenada pelo campo magnético no intervalo de tempo desejado.
Logo,
Considerando que em t 0 a energia seja zero:
(4.8)
Vamos agora fazer uma lista das principais características de um indutor e que resultam da sua equação de definição.
- A voltagem num indutor é zero se a corrente que passa através dele for independente do tempo. Uma indutância é, portanto, um curto-circuito para corrente contínua.
- Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num indutor, mesmo que a voltagem na indutância seja zero, caso em que a corrente é constante.
- É impossível alterar instantaneamente, de um valor finito a corrente num indutor, pois isto requer um valor infinito de voltagem.
- Um indutor ideal nunca dissipa energia, apenas armazena.
Exemplo:
Determine a corrente em um indutor de 5H se a tensão for de (((( ))))
30t ,^2 t 0 v t 0, t < 0
Determine também, a energia armazenada em 0 < t < 5s.
Solução:
Como (((( )))) (((( ))))
0
t t^0
i v t dt i t L
==^ ==^ ∫∫∫∫ ++++ e^ L = 5H ,
t 3 2 3 0
1 t i 30t .dt 0 6 2t A 5 3
== == (^) ∫∫∫∫ ++++ ==== ×××× ====
A potência é a p ==== v.i ==== 60t^5 e a energia armazenada é, portanto, 65 (^5 ) 0 0
t w p.dt 60t .dt 60 156, 25kJ 6
==== (^) ∫∫∫∫ ==== (^) ∫∫∫∫ ==== ====
(((( ))))
(((( )))) 0 0 0
t t i t t t i t
di
p dt L i dt L i di
dt
∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅^ ====^ ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅^ ⋅⋅⋅⋅^ ====^ ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
2 2 L L 0 0
t t L i t i t J
ωωωω − ω− ω− ω− ω ==== ⋅⋅⋅⋅ ^ −−−−
(((( )))) (^) (( )(( )))
2 L
t L i t J
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
Para o ar ou vácuo:
Várias características importantes do capacitor podem ser analisadas através da sua equação de definição. Uma voltagem constante através de um capacitor requer que uma corrente nula passe por ele, logo o capacitor é um circuito aberto para corrente contínua. É também evidente que uma mudança brusca de tensão implica numa corrente infinita. Como não existe dispositivo físico real que forneça uma corrente infinita, o capacitor não permite uma mudança instantânea da tensão sobre ele aplicada. Esta restrição será retirada quando admitirmos a existência de correntes impulsivas.
4.5 RELAÇÕES PARA TENSÃO E ENERGIA NO CAPACITOR
A voltagem num capacitor pode ser obtida através da equação (4.9).
Integrando de t 0 a t:
Quando t 0 = 0- :
(4.11)
Considerando o capacitor descarregado em t = 0-, isto é, v(0 -^ ) = 0 e como a integral da corrente é a carga armazenada sobre as placas do capacitor:
Logo:
(4.12)
A similaridade entre as várias equações integrais introduzidas nesta seção e as que aparecem na discussão sobre indutância é enorme e sugere que a dualidade pode ser aplicada entre indutâncias e capacitâncias. Considere o exemplo da figura 4.4 em que uma tensão v(t) é aplicada sobre um capacitor de 5μF e observe a corrente resultante.
9 12 0
F 10 F
m 36 m
−−−−
ε = εε = εε = εε = ε ==== ×××× −−−− ====
(( )(( ))) (((( ))))
dv t i t dt
C
(((( )))) (((( )))) 0
t t^0
v t i t dt v(t )
C
==^ ==^ ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅^ ++++
(((( )))) (^) (((( )))) (((( ))))
t 0
v t v 0 i t dt
C −−−−
∫∫∫∫
(((( ))))
q (^) (((( ) t )))
v t
C
q (^) (((( ) t (^) ))) ==== C v t ⋅⋅⋅⋅ (( )(( )))
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
Figura 4.4 – Efeito de variação da tensão sobre um capacitor de 5μF.
Para determinação da energia armazenada num capacitor ao qual é ligada uma fonte de tensão, consideremos a potência entregue ao capacitor.
A energia é a integral da potência.
Se a energia armazenada é nula em t 0 :
(4.13)
Vamos fazer agora uma lista das principais características de um capacitor.
- Se a voltagem num capacitor não varia com o tempo, então a corrente será nula. Um capacitor é circuito aberto para corrente contínua.
- Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada num capacitor, mesmo quando a corrente através do capacitor é nula.
- É impossível alterar, instantaneamente, a voltagem em um capacitor, pois requer uma corrente infinita.
- Um capacitor nunca dissipa energia, apenas armazena. Embora isto seja verdadeiro para um modelo matemático, não é verdadeiro para um capacitor real.
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
dv t (((( ))))
p t v t i t C v t
dt
(( )(( ))) (( )(()))
(((( )))) (((( )))) (( )(( ))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( (^) ))))
0 0 0
t t v t (^2 ) t t v t^0 2 2 C C 0 0
dv t 1
p t dt C v t dt C v t dv t C v t v t
dt 2
t t C v t v t
==== ⋅⋅⋅⋅ ==== ==== ^ −−−−
ωωωω − ω− ω− ω− ω ==== ^ −−−−
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
(((( )))) (( )(( )))
2 C
t C v t
0 1 2 3 4 t(ms)
v(t) (V) i(t)(mA) 20
-1^0 1 2 3 4 t(ms)
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
4.6 ASSOCIAÇÃO DE INDUTÂNCIAS E CAPACITÂNCIAS
Vários indutores em série são somados diretamente dando como resultado um indutor equivalente.
Figura 4.5 – Associação de indutores em série.
Indutores em paralelo são associados para formar um indutor equivalente da mesma forma que resistências em paralelo.
Figura 4.6 – Associação de indutores em paralelo.
(( (( ))))
1 2 N s 1 2 N 1 2 N
s 1 2 N
s eq eq 1 2 N
di di di
v v v ...... v L L ......L
dt dt dt
di
v L L ...... L
dt
di
v L ; L L L ...... L
dt
L 1 L 2
L (^) N L (^) eq vs vs
i i
v1 v
vN
+ -^ + -
i (^) s v L 1 L 2 L (^) N L (^) eq
i (^) s v
i 2 i (^) N
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE CIRCUITOS I
Para dois indutores em paralelo: ‘ (4.16)
Capacitores em série são associados para formar um capacitor equivalente de maneira similar a indutores em paralelo.
Figura 4.7 – Associação de capacitores em série.
Capacitores em paralelo são associados para formar um capacitor equivalente somando-se diretamente os valores dos capacitores.
Figura 4.8 – Associação de capacitores em paralelo.
eq
1 2 N
L
L L L
1 2 eq 1 2
L L
L
L L
eq
1 2 N
C
C C C
v1 v
vs CN vs (^) Ceq
C 1 C 2
+ -^ + -
C 1 C 2 CN
i (^) s v Ceq
v
i 1 i (^2) i (^) N
i (^) s
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4.7 EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS PARA CIRCUITOS COM INDUTORES E
CAPACITORES
Vamos escrever as equações nodais para o circuito da figura 4.9.
Figura 4.9 – Uma rede RLC com nós e voltagens identificadas.
Para o nó central:
Para o nó da direita:
Reescrevendo as duas equações:
Estas são as equações íntegro-diferenciais para o exemplo da figura 4.9.
(((( )))) (((( )))) 0
t (^1 2 ) t^1 s^ L^0
1 v v dv
v v dt i t C 0
L R dt
−−^ −−
∫∫∫∫ −−−−^ ++++^ ++++^ ++++^ ====
(((( (^) 2 s )))) 1 2 1 s
d v v v v
C i 0
dt R
−−−− −−−−^ ====
(((( )))) 0 0
1 1 t^2 t (^2) t 1 t s L 0
1 2 2 s 1 1 s
v dv 1 v 1
C v dt v dt i t
R dt L R L
v v dv dv
C C i
R R dt dt
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
C 1
C 2
L R
vs
vs
v v
i (^) s
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4.8 DUALIDADE
Definiremos em termos de equações de circuitos. Dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que caracteriza o outro. Eles serão chamados duais exatos se cada equação de malha de um for numericamente idêntica à correspondente equação nodal do outro. Para o circuito da figura 4.10 vamos obter as equações de malha e depois escrever as duais e tentar obter o circuito dual.
Figura 4.10 – Exemplo para obtenção do dual.
c^ (((( ))))
1 2 1
1 2 2 2
v 0 10V
di di 3i 4 4 2cos 6t dt dt di di 1 4 4 i dt 5i 10 dt dt 8
−−−− ++++ ++++ (^) ∫∫∫∫ ++++ = −= −= −= −
As equações duais são obtidas substituindo-se as correntes por tensões.
1 2 1
1 2 2 2
dv dv 3v 4 4 2cos 6t dt dt dv dv 1 4 4 v dt 5v 10 dt dt 8
−−−− ++++ ++++ (^) ∫∫∫∫ ++++ = −= −= −= −
3 Ω^ 8F
2cos 6t V (^) 4H^5 Ω i 1 i^2
+ vc -
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4.10 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
- A um indutor perfeito sem energia armazenada aplica-se em t = 0 uma tensão contínua de 10V. Sabe-se que ao fim de 1μs a energia armazenada é de 0,5μJ. Qual o valor da indutância?
Solução:
t 0
p t v t .i t v t v t dt L
==== ==== ⋅⋅⋅⋅ (^) ∫∫∫∫
Como v t (((( ) )))==== V ==== 10 Volts
(( )(()))^ (((( ))))
6
6
(^2) t 2 0 t 2 t 0 0 10 0 2 10 6 0 4
V V
p t dt t L L V w t p t dt t.dt L 100 w t t.dt L
100 t 0, 5 10 L 2 L 10 H
−−−−
−−−− −−−−
−−−−
×××× ====
∫∫∫∫
∫∫∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫∫
- O circuito LC da figura que segue começou a operar em t = 0, quando a corrente era nula e o capacitor tinha uma carga de 5C. Sabendo-se que o valor máximo de corrente é igual a 3A, determinar a indutância L.
i 0 (((( ))) )==== 0
L 2,5F
i(t)
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Solução:
A tensão inicial no capacitor:
0
q 5 v 2V C 2, 5
A corrente será máxima no instante em que a energia armazenada no capacitor for totalmente transferida ao indutor.
2 2
2 2
L.i C.v 2 2 C.v 2, 5 4 L i 9 L 1,1H
××××
- Para o circuito que segue determine o dual e escreva as equações íntegro-diferenciais de malha do circuito resultante.
L C
i 0 2A v 0 2V
==^ ==
i (^) X ==== i 1
0,01μF 30mH
30mF
0,01μH
2k
2kΩ
10 -3^ cos 10^4 t A
10 -3^ vx
10 -3^ i (^) x
10 -3^ cos 10^4 t V
i (^) x
vx
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A carga total com os capacitores em paralelo:
(((( ))))
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 6 1
1 2
q q q 1333, 34 C q q C C C q q C 20 q 666, 67 10 40 q 444, 33 C q 888, 67 C
−−−−
====^ ++++ ====^ μμμμ
====
==== ××××
==== μμμμ ====^ μμμμ
- A corrente através de uma capacitor de 0,2μF é iC (^) (((( ) t (^) ))) ==== 60cos 10 t ((((^4 ++++ 36 DDDD^ )))) mA para todo t. A
tensão média no capacitor é zero.
a) Qual o valor máximo de energia armazenado no capacitor? b) Qual é o primeiro instante t, não negativo, em que a energia máxima é armazanada?
Solução:
C^ (((( ))))^ ((((^^4 ))))
4
C 0, 2 F i t 60cos 10 t 36 mA 2 T período 10
==== μμμμ ==== ++++ ππππ ====
DD DD
C
i (^) c
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(( )(())) (^) (((( )))) (( )(()))
(( )(())) (^) (((( )))) (((( ))))
(( )(()))^ (((( )))) (((( ))))
2 C t C C (^0)
6 t 4 3 C C (^0) 4 C C
w C.v t 2 1 v t v 0 i t .dt C v t v 0 5 10 60cos 10 t 36 .dt 10
v t v 0 30sen 10 t 36 V
−−−−
−−−− −−−−
−−−−
==== ++++ ×××× ++++ ××××
∫∫∫∫
∫∫∫∫
DDDD
DDDD
Como a tensão média deve ser zero.
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
4
4
2 10 4 0 C 4 2 4 10 C 4 0
Vméd v 0 30.sen 10 t 36 dt T
10 30 0 v 0 cos 10 t 36 2 10
ππππ −−−−
ππππ −−−−
==== ^ ++++ ++++
= ^ − +
ππππ
∫∫∫∫
DDDD
DDDD
(( (( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(( )(())) (^) (((( ))))
4 C (^4 4 4 )
C
C 4 C
v 0 cos 10 36 cos 36 10 10 10 10 30 30 v 0 cos 360 36 cos 36 2 2 v 0 0V
v t 30sen 10 t 36 V
−−−−
−−−−
−−−−
ππππ ππππ ×××× ==== (^) ×××× ++++ (^) −−−−
==== ++++ −−−− ππππ ππππ ====
==== ++++
DD DD DDDD
DDDD DDDD DDDD
DDDD
a) A energia máxima é obtida para vC (((( ) t ))) máx ==== 30V.
6 2 6 C
W 0, 2 10 30 90 10 90 J
==== ×××× ×××× −−−−^ ×××× ==== ×××× −−−− ==== μμμμ
b) O instante em que a tensão é máxima corresponde ao arco em que 10 t^4 2
ππππ ++++ DDDD^ ====.
10 t^4 0, 6283rad 1, 5708rad t 94, 3 s
==== μμμμ