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INTEGRAIS DE LINHA
Notas de aula - Pedro Miranda^1
Defini¸c˜ao
c
F (x, y)ds = lim n 7 →∞
∑^ n
i=
F (x∗ i , y∗ i )∆si
Ent˜ao:
L =
∫ (^) b
a
dx dt
)^2 + (
dy dt )^2 , comprimento da curva.
∫
c
F (x, y)ds =
∫ (^) b
a
F (x(t), y(t)).
dx dt
)^2 + (
dy dt )^2 dt
Onde:
ds dt
dx dt
)^2 + (
dy dt
)^2 ⇒ ds =
dx dt
)^2 + (
dy dt
)^2 dt
Exemplo 1. Calcule
c
(2 + x^2 y)ds onde c ´e a metade superior de x^2 + y^2 = 1 (Obs.:
0 ≤ t ≤ π).
Primeiramente devemos usar a seguinte rela¸c˜ao: x = cos t e y = sin t.
Ent˜ao: ∫
c
(2 + x^2 .y)ds =
∫ (^) π
0
(2 + cos^2 t. sin t).
dx dt
)^2 + (
dy dt )^2 dt =
∫ (^) π
0
(2 + cos^2 t. sin t).
sin^2 t + cos^2 tdt
∫ (^) π
0
(2 + cos^2 t. sin t)dt = 2t − cos^3 t 3
π
0
= 2π +
Exemplo 2. Calcule
c
y^2 dx + xdy, onde (a) c = c 1 ´e o segmento de reta de (− 5 , −3) a
(0, 2) e (b) ´e o arco da par´abola x = 4 − y^2 de (− 5 , −3) a (0, 2).
Para (a), temos:
x = 5t − 5; y = 5t − 3; 0 ≤ t ≤ 1.
Assim:
c
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
c
P (x, y)dx +
c
Q(x, y)dy
dx = 5dt; dy = 5dt
(^1) e-mail: [email protected]
c 1
y^2 dx + xdy =
0
(5t − 3)^2 .(5dt) + (5t − 5). 5 dt =
0
(25t^2 − 25 t + 4)dt = 5.( 25 t^3 3
25 t^2 2
1
0
Para (b), temos:
x = 4 − y^2 ; y = y; − 3 ≤ y ≤ 2 ⇒ ent˜ao dx = − 2 ydy. ∫
c 2
y^2 dx + xdy =
− 3
y^2 .(− 2 ydy) + (4 − y^2 ).dy =
∫ (^2)
− 3
(− 2 y^3 − y^2 + 4)dy = − y^4 2
y^3 3
2
− 3
= 40^5 /^6
Conclus˜ao: ∫
c 1
y^2 dx + xdy +
c 2
y^2 dx + xdy = −
+ 40^5 /^6
Integrais de linha no espa¸co
x = x(t); y = y(t); z = z(t); a ≤ t ≤ b. ∫
c
F (x, y, z)ds −
∫ (^) b
a
F (x(t), y(t), z(t)).
dx dt
)^2 + (
dy dt
)^2 + (
dz dt )^2 dt
e ∫ (^) b
a
F (r(t)).|r′(t)|dt
Exemplo 3. Calcule
c
y. sin zds, onde c ´e a h´elice circular dados x = cos t, y = sin t,
z = sin t, 0 ≤ t ≤ 2 π. ∫
c
y. sin zds =
∫ (^2) π
0
(sin t). sin t.
dx dt
)^2 + (
dy dt
)^2 + (
dz dt )^2 dt =
∫ (^2) π
0
sin^2 t.
sin^2 t + cos^2 t + 1dt =
∫ (^2) π
0
.(1 − cos 2t)dt = √ 2 2 .(t −
. sin 2t)
2 π
0
2 .π
Teorema de Green
c
P dx + Qdy =
D
∂Q
∂x
∂P
∂y
dA
Nota¸c˜ao: ∮ P dx + Qdy ou
c
P dx + Qdy
