Integrais Triplas: Definição, Teorema de Fubini e Cálculo em Coordenadas, Notas de aula de Cálculo

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Aplicações de Integrais Triplas

Discente: Kelvys figueiredo Macapá-Ap

Integrais triplas

• (^) Definição Integrais triplas são o análogo de integrais duplas em três dimensões. Elas são uma ferramenta para somar grandezas infinitesimais associadas a um ponto em uma região tridimensional.

A integral tripla de f na caixa B é Se esse limite existir.

Teorema de FUBINI para integrais triplas

• (^) Se f é continua em uma caixa retangular B= [a, b] x [c, d] x [r, s] então

Região do tipo 2

• (^) Uma região sólida é dita o tipo II se estiver contida entre o gráfico de duas funções contínuas Prova-se que:

Integrais triplas em coordenadas esféricas É onde cada ponto P representa uma tripla ordenada ( p,. Onde podemos verificar a seguinte relação: Assim temos que

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Cada ponto P = ( x, y, z) fica determinado pelas suas coordenadas cilíndricas (p, ϴ, z), onde p é o comprimento do vetor o ângulo entre este valor e o semi-eixo positivo Ox. Desse modo:

Aplicações de integrais triplas

• (^) se f (x) ≥ 0, então a integral representa a área abaixo da curva y= f (x) de a até b;
• (^) se f (x, y) ≥0, então a integral dupla representa o volume sob a superfície z= f ( x,y) acima de D Se a função densidade de um objeto que ocupa a região E é p (x, y,z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x,y,z), então sua massa é

Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide de E. Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são

Exemplo: Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico x= y² e pelos planos x= z, z=0 e x=1. O sólido E e sua projeção sobre o plano xy são mostrados nas figuras acima. As superfícies inferior e superior de E são os planos z=0 e z=x. E=

Por causa da simetria de E e p em relação ao plano xz, podemos dizer imediatamente que Mxz= 0 e portanto, y=0. Os outros momentos são Logo o centro de massa é

Exemplo: Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea, de raio R, em relação a um eixo passando pelo seu centro. Onde B é a esfera x²+y² + z²≤ R². Passando para coordenadas esféricas obtemos: Onde Bθφφ é o paralelepípedo 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ R e 0 ≤ φ ≤ π.

Exemplo: Calcule o centro de massa do corpo homogêneo x²+ y² ≤ z ≤ 1. Precisamos calcular apenas zc, pois, tendo em vista a simetria do corpo, em relação Ao eixo Oz, xc = yc = 0. Temos Onde B é o conjunto x²+ y² ≤ z ≤ 1 e k (k constante) a densidade. Seja A o círculo x²+y²≤1.Temos

Transformando em coordenadas polares temos: