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Este documento aborda a representação e cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, bem como o cálculo do fluxo de campos vetoriais através dessas superfícies. São apresentados conceitos fundamentais, como a representação de superfícies por funções e parâmetros, cálculo de áreas por integrais duplas e fluxo de campos vetoriais por meio de integrais de superfície.
Tipologia: Notas de aula
1 / 21
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Não perca as partes importantes!
Apresentar integrais de funções definidas sobre superfícies em R
3 .
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir integrais de funções definidas sobre superfícies em R
3 e
calcular algumas integrais de funções vetoriais definidas sobre su-
perfícies em R
3 .
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores
e Geometria analítica e superfícies em R
3 .
Integrais de Superfícies
Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem,
como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre
Curvas em R
3 ”, um sabor de física, desde a determinação da massa,
momento de massa e centro de massa de uma superfície até a deter-
minação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem ater-se apenas
aos aspectos matemáticos da matéria abordada.
3
3
3
Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de
representação de superfícies. A primeira forma de representação
de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R
3 → R e
tomar um ponto c ∈ Img(f ) da imagem de f. Desta forma, de
modo geral, f (x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R
3 .
Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R
3 → R dada por: f (x, y, z) =
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
. Desta forma f (x, y, z) = d representa elipsóides para
valores positivos de d.
Outra forma de representação de uma superfície é através de
uma parametrização. Representar S ⊂ R
3 por: x = ˆx(u, v), y =
yˆ(u, v) e z = ˆz(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d].
Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri-
zar os elipsóides por: x = a
d cos(u) cos(v), y = b
d sin(u) cos(v)
e z = c
d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π, +π] × [−π, +π].
Integrais de Superfícies
Figura 8.2: Detalhe do elemento de área Δσij
ij
(a área da sombra é sempre maior ou igual à área do objeto).
Da geometria vetorial |uuui × vvvj • ppp| é a área da projeção do parale-
logamo ΔP ij
onde ppp é a normal a Δ ij
(no caso para projeções no
plano xy ppp =
k
k
k mas, deixaremos ppp nas fórmulas caso seja escolhido
outro plano de projeção).
|uuu i
× vvv j
Também da geometria vetorial temos:
|uuu i
× vvv j
× vvv j
|.|ppp|.| cos(ϕ ij
ij
onde ϕ ij
é o ângulo formado pelo vetor normal ppp(x i
, y j
) e o vetor
uuui × vvvj.
Como, da geometria vetorial, (ver em livros de Cálculo Avançado)
|uuu i
× vvv j
ij
e |ppp| = 1, temos:
ΔPij =
ij
| cos(ϕ)|
Como cada pedaço ΔP ij
aproxima o pedaço da superfície Δσ ij
então a soma:
n− 1 ∑
i=
m− 1 ∑
j=
ij
n− 1 ∑
i=
m− 1 ∑
j=
ij
| cos(ϕ ij
AULA
8 aproxima a área de S. Um refinamento da partição de D ⊂ xy me-
lhora a aproximação e podemos então (argumentação heurística)
escrever:
Are(S) =
D
| cos(ϕ)|
dxdy
Para uma superfície dada por f (x, y, z) = c, temos |∇f • ppp| =
|∇f |.|ppp|.| cos(ϕ)| e como |ppp| = 1 portanto:
Are(S) =
S
dσ =
D
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Por outro lado podemos extender a argumentação e determinar a
integral de uma função g : D ⊂ R
3 → R) definida sobre a superfície
3 na forma:
S
g(x, y, z)dσ =
D
g(x, y, z))
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Vamos a um exemplo para ilustrar os conceitos acima expostos.
Exemplo 8.3. Considere a superfície S ⊂ R
3 dada por
z = a + x
2
2 , cuja z = a projeção no plano xy é a região D ⊂ xy
dada por x
2
2 ≤ b
2 e determine sua área (ver Fig. 8.3).
SOLUÇÃO: Deixamos como a primeira atividade mostrar que:
Figura 8.3: Parabolóide z = a + x
2
2
Cálculo III
AULA
8 reescrever a integral dupla como:
Are(D) =
2 π
0
4 b
2
1
zdzdϑ
Integrando primeiro em z depois em ϑ temos:
Are(D) =
2 π
0
4 b
2
1
zdzdϑ
2 π
0
z
3
4 b
2
1
dϑ
2 π
0
(4b
2
3 − 1)dϑ
(4b
2
3 − 1)ϑ
2 π
0
4 π
(4b
2
3 − 1)
3
3
3
Seja uma superfície S ⊂ R
3 de casca fina dada por f (x, y, z) = c
e com densidade superficial : S ⊂ R
3 → R, a massa, o momento
de massa em relação aos planos yz, xz e xy são dados, respectiva-
mente, por:
S
(x, y, z)dσ =
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
yz
S
(x, y, z)xdσ =
D
(x, y, z)x
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Mxz (S) =
S
(x, y, z)ydσ =
D
(x, y, z)y
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
xy
S
(x, y, z)zdσ =
D
(x, y, z)z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Cálculo III
Integrais de Superfícies
O centro de massa, denotado (¯x, ¯y, z¯), é dado por:
x ¯ =
Myz (S)
D
(x, y, z)x
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
¯y =
xz
D
(x, y, z)y
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
z ¯ =
xy
D
(x, y, z)z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados,
respectivamente, por:
Ix(S) =
D
(x, y, z)(y
2
2
)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Iy(S) =
D
(x, y, z)(x
2
2
)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
z
D
(x, y, z)(x
2
2 )
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Vamos ilustrar com um exemplo. Considere a casca fina des-
crita pela superfície S ⊂ R
3 dada pela parte do cone x
2 +y
2 −z
2 = 0
que situa-se acima do plano z = 0 e e abaixo do plano z = a, cuja
densidade é constante e igual a e determine seu centro de massa
(ver Fig. 8.4).
SOLUÇÃO: Em primeiro lugar determinaremos a massa da casca
fina, levando em conta que a projeção de S ⊂ R
3 no plano xy é a
região circular D ⊂ xy dada por: x
2
2 ≤ a
2 .
Para o caso f (x, y, z) = x
2 +y
2 −z
2 = 0 e ppp =
k
k
k. daí, seu gradiente
será:
Integrais de Superfícies
a integral dupla como:
2 π
0
a
0
rdrdϑ
2 π
r
2
a
0
dϑ
a
2
2 π dϑ
ϑ
2 π
0
= π
a
2
Para determinar o centro de massa temos que determinar apenas
Mxy pois, pela simetria da superfície e como é constante temos
que x¯ = ¯y = 0.
O momento de massa M xy
da casca fina será:
Mxy(S) =
D
z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
x
2 +y
2 ≤a
2
z
2 x
2
2
2 z
dxdy
x
2 +y
2 ≤a
2
zdxdy
x
2 +y
2 ≤a
2
x
2
2 dxdy
Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ),
para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x
2 +y
2 ≤ a
2
os seguintes limites r =
a
e ϑ =
2 π
e podemos reescrever
AULA
8 a integral dupla como:
Mxy(S) =
2 π
0
a
0
(r cos(ϑ))
2
2 rdrdϑ
2 π
0
a
0
r
2 cos
2 (ϑ) + r
2 sin
2 (ϑ)rdrdϑ
2 π
0
a
0
r
2 rdrdϑ
2 π
0
a
0
r
2
drdϑ
2 π
r
3
a
0
dϑ
a
2
2 π
dϑ
ϑ
2 π
0
= π
a
3
O valor de ¯z será dado por:
¯z =
xy
π
a
3
π
a
2
Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para
superfícies parametrizadas.
Seja uma superfície lisa S ⊂ R
3 parametrizada por: x = ˆx(u, v),
y = ˆy(u, v) e z = ˆz(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde xˆ, yˆ e ˆz
possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos
representar a superfície pelo vetor posição rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i +
yˆ(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k. Representaremos as derivadas do vetor r com
relação a u e a v respectivamente por rrru , rrrv. Consideraremos em
R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u 0
, u = u 0
e
Cálculo III
AULA
8 paralelogramo também não é nula. Podemos então fazer um par-
tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização
sobre a superfície S. Aproximando cada Δσuv pela área do para-
lelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de
Riemann:
u
v
|rrru × rrrv|ΔuΔv.
Fazendo Δu e Δv tenderem a zero independentemente, a conti-
nuidade das derivadas rrr v
do vetor posição garante que a soma de
Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da
superfície S i.e.
Are(S) =
b
a
d
c
|rrr u
× rrr v
|dudv.
Esta argumentação heurística nos permite extender os con-
ceitos acima desenvolvidos para definir a integral de uma função
f : S ⊂ R
3 → R definida sobre a superfície S da seguinte forma:
Definição 8.1. Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa definida para-
metricamente por rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈
[a, b] × [c, d] e f : S ⊂ R
3 → R uma função de valores reais definida
sobre S então, a integral de f sobre S será:
S
f (x, y, z)dσ
def
b
a
d
c
f (ˆx(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v))|rrru×rrrv|dudv.
Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de
um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como
exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por
unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo
de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição:
Definição 8.2. Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa no espaço e
3 → R
3 uma função de valores vetoriais. Definimos o
Cálculo III
Integrais de Superfícies
fluxo de
F através de S, denotado φ(
F ), por:
φ(
def
=
S
F (x, y, z) • nnndσ.
Onde n é a normal unitária em S.
OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R
3 é lisa e definida parame-
tricamente por rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈
[a, b] × [c, d] e
3 → R
3 uma função de valores vetoriais.
O fluxo de
F através de S, é dado por:
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), ˆy(u, v), zˆ(u, v)) • nnn|rrr u
× rrr v
|dudv.
Como podemos calcular o vetor normal por nnn =
|rrr u
× rrr v
·(rrr u
×rrr v
a integral para o fluxo do campo vetorial
F através da superfície
S pode ser reescrita como:
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), ˆy(u, v), zˆ(u, v)) • (rrr u
× rrr v
)dudv.
Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um
campo vetorial através de uma superfície no espaço.
Exemplo 8.4. Determine o fluxo do campo vetorial
3 → R
3
dado por
F (x, y, z) = zi
i
i + zj
j
j + xy
k
k
k através da superfície do para-
bolóide z = a
2 − x
2 − y
2 , que fica acima do plano z = 0 (ver Fig.
8.7). SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície
do parabolóide fazendo ˆx = v cos(u), yˆ = v sin(u) e z = a
2 − v
2 .
Desta forma o vetor posição para a superfície fica expresso por:
rrr(u, v) = v cos(u)
i
i
i + v sin(u)
j
j
j + (a
2 − v
2 )
k
k
k.
Integrais de Superfícies
Simplificando e calculando o fluxo do campo vetorial
F sobre a
superfície S temos:
φ(
a
0
+π
−π
−v
3 sin(u) cos(u)dudv
a
0
−v
3
sin
2 (u)
+π
−π
dv
a
0
−v
3
(sin
2
(+π) − sin
2
(−π))dv
Na aula de hoje, vimos como integrar funções definidas so-
bre uma superfície no espaço. Funções escalares de valores reais
ao longo de superfícies no espaço com as quais podemos determi-
nar área, massa, momento de massa, centro de massa momento
de inércia de uma superfície representando uma casca fina. Vi-
mos também como calcular integrais de campos vetoriais (funções
vetoriais) definidos sobre uma superfície no espaço, que essenci-
almente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais
como o fluxo através de superfícies estão intimamente ligados à
Física.
Caros alunos, em nossa aula de hoje, sobre integrais de fun-
ções definidas sobre superfícies no espaço, tanto funções escalares
quanto campos vetoriais o conteúdo visto pode ser resumido como:
AULA
8 Área de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção
em um dos planos coordenados seja D e ppp a normal a D. A área
da superfície S é dada por:
Are(S) =
S
dσ =
D
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Integral de Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
S ⊂ R
3
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção
em um dos planos coordenados seja D e ppp a normal a D e g : D ⊂
3 → R uma função de valores reais cujo domínio é a superfície S.
A a integral de g sobre a superfície S é dada por:
S
g(x, y, z)dσ =
D
g(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Massa e Momento de Massa de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
Se a superfície S ⊂ R
3 representa uma casca fina de densidade
superficial : S ⊂ R
3 → R
então, a massa, momento de massa
relativo aos planos coordenados yz, xz e xy, são dados respectiva-
mente por:
S
(x, y, z)dσ =
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Myz (S) =
S
(x, y, z)xdσ =
D
(x, y, z)x
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
xz
S
(x, y, z)ydσ =
D
(x, y, z)y
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
xy
S
(x, y, z)zdσ =
D
(x, y, z)z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Centro de Massa de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
Se a superfície S ⊂ R
3 representa uma casca fina de densidade
Cálculo III
AULA
8 Onde n é a normal unitária em S.
Área de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa definida parametricamente por
rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] então,
a área de S será:
Are(S) =
b
a
d
c
|rrr u
× rrr v
|dudv.
Integral de Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa definida parametricamente por
rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e
f : S ⊂ R
3 → R uma função de valores reais definida sobre S
então, a integral de f sobre S será:
S
f (x, y, z)dσ
def
=
b
a
d
c
f (ˆx(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v))|rrr u
×rrr v
|dudv.
Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície
3 S ⊂ R
3
S ⊂ R
3 Parametrizada
Se S ⊂ R
3 é lisa e definida parametricamente por rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i+
yˆ(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e
3 → R
3 uma
função de valores vetoriais. O fluxo de
F através de S, é dado por:
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), yˆ(u, v), ˆz(u, v)) • nnn|rrr u
× rrr v
|dudv.
Como podemos calcular o vetor normal por nnn =
|rrr u
× rrr v
·(rrru ×rrrv)
a integral para o fluxo do campo vetorial
F através da superfície
S pode ser reescrita como:
Cálculo III
Integrais de Superfícies
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), ˆy(u, v), zˆ(u, v)) • (rrr u
× rrr v
)dudv.
Em nossa próxima aula veremos dois importantíssimos teore-
mas do Cálculo. São eles o “Teorema de Green” e “Teorema de
Stokes”. Dizem respeito a integração de campos vetoriais ao longo
de curvas fechadas no plano (caso do teorema de Green) e de curvas
fechadas no espaço (caso do teorema de Stokes).
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 8.1. Seja S ⊂ R
3 uma superfície dada por z = f (x, y)
cuja projeção no plano xy é D ⊂ xy. Mostre que sua área pode
ser dada por:
D
∂f
∂x
2
∂f
∂y
2
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.
ATIV. 8.2. Seja uma casca fina dada pela superfície S ⊂ R
3 des-
crita por f (x, y, z) = a
2 − x
2 − y
2 − z
2 = 0, y < 0 e z > 0 (ver
Fig. 8.8) e determine seu centro de gravidade.
Comentário: Observe que a superfície tem simetria e como a
densidade é constante temos: ¯x = 0 e y¯ = −¯z.
