Integrais Triplos e Aplicações, Exercícios de Matemática

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Universidade Eduardo Mondlane

Departamento de Matemática e Informática

Curso de Licenciatura em Matemática

Análise Matemática IV

Iara Alvarinho Gonçalves

Maputo, Fevereiro de 2023

Conteúdo

Capítulo 1

Integrais Triplos

1.1 Integrais Triplos

1.1.1 Denição

Seja f : R^3 → R uma função contínua denida na região limitada T ⊆ R^3. Suponhamos que T se encontra no interior do paralelepípedo rectangular M determinado pelas desi- gualdades a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e p ≤ z ≤ q. Dividindo o intervalo [a, b] em sub-intervalos de comprimento igual a ∆x, [c, d] em subintervalos de comprimento igual a ∆y e [p, q] em sub-intervalos de comprimento igual a ∆z, obtemos uma partição de M em que cada bloco tem volume ∆V = ∆x∆y∆z. Seja P = {T 1 ,... , Tn} a colecção destes blocos que se encontram inteiramente no interior de T. A partição P é chamada de partição interior da região T (ver Figura 1). A norma |P | corresponde ao comprimento da maior diagonal de qualquer dos blocos Ti. Em cada Ti escolhemos um ponto arbitrário (x∗ i , y i∗ , z i∗ ).

Denição 1.1.1. À soma

SRn(f ) =

X^ n

i=

f (x∗ i , y∗ i , z i∗ )∆Vi

chamamos soma de Riemann da função f em T.

Consideremos uma sucessão arbitrária de somas integrais SRn 1 (f ),... , SRnj (f ),... formadas por diversas partições de T e tais que a norma |P | tende para zero quando nj → ∞.

Denição 1.1.2. Se existir o limite da sucessão

SRnj^ ∞ j=1 e este não depender da parti- ção de T , nem da escolha do ponto (x∗ i , y i∗ , z i∗ ), então chamamos integral triplo da função f (x, y, z) sobre T ao limite



T

f (x, y, z)dV := lim |P |→ 0

X^ n

i=

f (x∗ i , y∗ i , z∗ i )∆Vi.

Nota 1.1.3. É possível provar (embora não faça parte do nosso programa) que o limite das somas existe quando |P | se aproxima de zero, se a função f for contínua e a fronteira da região T for bem comportada.

5

1.1. INTEGRAIS TRIPLOS 6

Em particular temos que:

Teorema 1.1.4. Se a função f (x, y, z) for contínua na região limitada T , então é inte-

grável, isto é, existe o integral triplo

T

f (x, y, z)dV.

1.1.2 Integrais Iterados

De um modo geral os integrais triplos são avaliados por integração iterada. Suponha- -se que a região T possui fronteira diferenciável por trechos e é simples em z, ou seja, cada linha paralela ao eixo Oz intersecta T (se intersectar) num único segmento recto. Assim sendo, a região T pode ser descrita pelas desigualdades z 1 (x, y) ≤ z ≤ z 2 (x, y), (x, y) ∈ R onde R é a projecção vertical de T no plano xOy. Então



T

f (x, y, z)dV =

R

 (^) z 2 (x,y)

z 1 (x,y)

f (x, y, z)dz

dA

onde dA = dxdy (ou dA = dydx). Os limites z 1 (x, y) e z 2 (x, y) são as coordenadas z dos pontos extremos do segmento que corresponde à intersecção da recta vertical em (x, y) com T (ver Figura 2). Se a região for descrita por y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), a ≤ x ≤ b então (integrando com respeito a x em último lugar),



T

f (x, y, z)dV =

 (^) b

a

 (^) y 2 (x)

y 1 (x)

 (^) z 2 (x,y)

z 1 (x,y)

f (x, y, z)dzdydx.

Figura 1 Figura 2

Figura 1.1: Imagens retiradas do livro de Edwards, H. e Penney, D. (2002). Calculus, 6th Edition

1.3. COORDENADAS CILÍNDRICAS 8

No caso particular em que n = 3, sendo que u, v, w correspondem às variáveis de S e x, y, z às variáveis de R, consideremos as transformações

x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w)

que descrevem a relação das variáveis (x, y, z) com as variáveis (u, v, w). Assim, temos que τ : S → R (onde S, R ⊂ R^3 ) é dada por:

τ (u, v, w) = (ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)).

Denição 1.2.3. As funções ϕ, ψ, χ tais que ϕ : S → R, ψ : S → R and χ : S → R denem uma mudança de variáveis se vericarem as seguintes condições:

1. ϕ, ψ, χ são de classe C^1 ;
2. ϕ, ψ, χ são injectivas (estabelecem uma correspondência biunívoca contínua entre os pontos do campo de integração R do espaço Oxyz e os pontos de um determinado campo S do espaço O′uvw);
3. o determinante de Jacobi ou Jacobiano destas funções

J =

∂(x, y, z) ∂(u, v, w)

∂x ∂u

∂x ∂v

∂x ∂w ∂y ∂u

∂y ∂v

∂y ∂w ∂z ∂u

∂z ∂v

∂z ∂w é diferente de zero e mantém o seu sinal.

Nota 1.2.4. Algumas destas condições podem ser menos restritivas, mas envolvem con- ceitos que ainda não foram estudados e portanto não iremos referi-los.

Teorema 1.2.5. Seja S ⊂ Rn^ um conjunto aberto e limitado, τ : S → Rn^ uma mudança de variáveis tal que R = τ (S) e f : R → R uma função integrável em R. Então 

R

f (x)dx =

S

f (τ (s)) |det(Dτ (s))| ds

onde x ∈ R ⊂ Rn^ e s ∈ S ⊂ Rn.

No caso particular em que Rn^ = R^3 , temos o corolário que se segue.

Corolário 1.2.6. Se τ : S → R^3 for uma mudança de variáveis e, considerando as condições do teorema anterior, temos que: 

R

f (x, y, z)dxdydz =

S

f (ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)) |J| dudvdw.

1.3 Coordenadas Cilíndricas

Entre as mudanças de variáveis que podemos considerar, uma das mais úteis é a mudança para coordenadas cilíndricas. Neste caso consideramos um sistema de coordenadas r, θ, z em R^3 que se relacionam com as coordenadas cartesianas habituais pela transformação:

9 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS TRIPLOS

x = rcos(θ)

y = rsen(θ)

z = z

onde r > 0 e 0 ≤ θ < 2 π.

Neste caso o Jacobiano será:

J =

∂(x, y, z) ∂(r, θ, z)

∂x ∂r

∂x ∂θ

∂x ∂z

∂y ∂r

∂y ∂θ

∂y ∂z

∂z ∂r

∂z ∂θ

∂z ∂z

cos(θ) −rsen(θ) 0 sen(θ) rcos(θ) 0 0 0 1

= r.

Assim, a fórmula geral para o integral triplo em coordenadas cilíndricas é 

R

f (x, y, z)dV =

S

f (rcos(θ), rsen(θ), z)rdzdrdθ.

Nota 1.3.1. As coordenadas cilíndricas são usadas principalmente em casos em que as regiões são limitadas por superfícies cilíndricas e em situações em que existe simetria axial (em relação ao eixo Oz), em particular nos casos em que consideramos sólidos de revolução.

1.4 Coordenadas Esféricas

Nos casos em que a região de integração T for limitada por superfícies esféricas (centradas na origem), por cones circulares (com vértice na origem) ou outras superfícies semelhantes, é vantajoso proceder a uma mudança de coordenadas para coordenadas esféricas. Consideramos assim um sistemas de coordenadas ρ, ϕ, θ em R^3 , que se relacionam com as coordenadas cartesianas habituais pela transformação:

x = ρsen(ϕ)cos(θ)

y = ρsen(ϕ)sen(θ)

z = ρcos(ϕ)

onde ρ > 0 , 0 ≤ θ < 2 π e 0 ≤ ϕ ≤ π.

Estas coordenadas podem ser descritas em função das coordenadas cartesianas e cilíndricas

11 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS TRIPLOS

3. As coordenadas do centro de gravidade são:

¯x =

Myz M

; ¯y =

Mxz M

; z¯ =

Mxy M

Se o corpo é homogéneo, nas fórmulas para se obter o centro de gravidade pode-se supôr γ(x, y, z) = 1 e, neste caso, ao centro de gravidade chama-se centróide.

4. Os momentos de inércia em relação aos eixos de coordenadas são:

ˆ Ix =

R

(y^2 + z^2 )γ(x, y, z) dxdydz;

ˆ Iy =

R

(x^2 + z^2 )γ(x, y, z) dxdydz;

ˆ Iz =

R

(x^2 + y^2 )γ(x, y, z) dxdydz.

Nota 1.5.1. As imagens foram retiradas do livro de Edwards, H. e Penney, D. (2002), Calculus, 6th Edition.

• 1 Integrais Triplos
  • 1.1 Integrais Triplos
    • 1.1.1 Denição
    • 1.1.2 Integrais Iterados
    • 1.1.3 Propriedades dos Integrais Triplos
  • 1.2 Mudança de Variáveis
  • 1.3 Coordenadas Cilíndricas
  • 1.4 Coordenadas Esféricas
  • 1.5 Aplicações dos Integrais Triplos
• 2 Exercícios do Capítulo
• 3 Integrais de Linha
  • 3.1 Campo Escalar e Campo Vectorial
  • 3.2 Integrais de Linha de Campos Escalares
    • 3.2.1 Denição
    • 3.2.2 Interpretação geométrica
    • 3.2.3 Propriedades dos Integrais de Linha de Campos Escalares
    • 3.2.4 Aplicações dos Integrais de Linha de Campos Escalares
  • 3.3 Integrais de Linha de Campos Vectoriais
    • 3.3.1 Denição
    • 3.3.2 Existência e Cálculo de Integrais de Linha de Campos Vectoriais
  • 3.4 Independência do caminho
  • 3.5 Teorema de Green
  • 3.6 Desenvolvimento Adicional
• 4 Exercícios do Capítulo
• 5 Integrais de Superfície
  • 5.1 Integrais de superfície de campos escalares
    • 5.1.1 Denição
    • 5.1.2 Cálculo de integrais de superfície de campos escalares
  • 5.2 Superfícies orientadas
  • 5.3 Vector Normal
    • 5.3.1 Relação com a orientação de S
  • 5.4 Integrais de superfície de campos vectoriais
    • 5.4.1 Cálculo de integrais de superfície em campos vectoriais
  • 5.5 Rotacional e Divergência
  • 5.6 Teorema de Stokes
• CONTEÚDO - 5.6.1 Bordo ou fronteira de uma superfície - 5.6.2 Teorema de Stokes
  • 5.7 Teorema de Gauss
  • 5.8 Elementos da Teoria de Campos Vectoriais
    • 5.8.1 Campos conservativos
• 6 Exercícios do Capítulo
• 7 Integrais Impróprios Paramétricos
  • 7.1 Integrais Impróprios
    • 7.1.1 Introdução
    • 7.1.2 Denição
    • 7.1.3 Critérios de Convergência
  • 7.2 Integrais Paramétricos
    • 7.2.1 Introdução
    • 7.2.2 Integral Próprio Paramétrico
    • 7.2.3 Integrais Impróprios Paramétricos
  • 7.3 Convergência Uniforme
    • 7.3.1 Denição
    • 7.3.2 Critérios de Convergência Uniforme
    • 7.3.3 Continuidade e Diferenciabilidade
  • 7.4 Integrabilidade de Integrais Impróprios Paramétricos
  • 7.5 Integral de Euler-Poisson
  • 7.6 Funções de Euler
• 8 Exercícios do Capítulo
• 1.5. APLICAÇÕES DOS INTEGRAIS TRIPLOS

a)

0

 (^1) −z

0

0

f (x, y, z)dx dy dz

b)

0

z

 (^) y

0

f (x, y, z)dx dy dz

c)

0

z

 (^) x−z

0

f (x, y, z)dy dx dz.

Ex. 6  Determine

T

x dxdydz onde:

a) T = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ −(x − 1)^3 };

b) T = {(x, y, z) ∈ [− 1 , 1] × [0, 1]^2 ⊂ R^3 : 0 ≤ z ≤ x^2 , 0 ≤ y ≤ x^2 ≤ 1 }.

Ex. 7  Calcule o volume da região R = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 ≤ z ≤ sen(x), 0 ≤ z ≤ y ≤ 1 , x ∈ [0, π]}.

Ex. 8  A gura mostra a região de integração do integral

0

√x

 (^1) −y

0

f (x, y, z)dzdydx.

Reescreva esse integral como um integral iterado equivalente nas cinco outras ordens.

Ex. 9  Uma função denida em R^2 vale 0 em (0, 0) e, no complementar da origem, vale 1 nos pontos que estão sobre rectas de declive racional que passam por (0, 0) e vale 0 nos restantes pontos do plano. Justique que esta função não é integrável em [0, 1]^2.

Ex. 10  Considere o conjunto

S =

(x, y, z) ∈ R^3 : x > 0; y > 0; z > 0; x + y + z < 3; x + y − z < 1.

Escreva uma expressão para o volume de S em termos de integrais iterados da forma:

a)

f dz

dy

dx; b)

f dx

dy

dz.

Ex. 11  Considere o conjunto que resulta da intersecção de dois cilindros perpendicu- lares e denido por S = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 < 1; x^2 + z^2 < 1 }. Encontre a expressão

do volume na forma

f dy

dx

dz e

f dz

dy

dx. Calcule o seu

referido volume.

15 CAPÍTULO 2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1

Ex. 12  Considere uma função integrável f : I ⊂ Rn^ → R em que I = I 1 ×... × In é um intervalo limitado e f tem a forma particular f (x 1 ,... , xn) = f 1 (x 1 ).... .fn(xn) para

certas funções integráveis fi : Ii → R. Verique que

I

f =

I 1

f 1

In

fn

Ex. 13  Seja B = {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ 2 , x ≥ 0 , y^2 − x^2 ≤ 1 , x^2 + y^2 ≤ 9 }. Use as

coordenadas denidas por u = x^2 + y^2 e v = y^2 − x^2 para calcular

B

(x^2 + y^2 )xydxdy.

Ex. 14  Seja A ⊂ R^2 a região denida por {(x, y) ∈ R^2 : 0 < x ≤ y, y ≤ 4 x^2 , x ≥ y^2 }. Use a mudança de coordenadas denida por u = y/x^2 e v = x/y^2 para calcular o integral

A

log(xy) x^2 y^2

dxdy.

Ex. 15  Seja A = {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ xy^2 ≤ 8 , 1 ≤ x^2 y ≤ 8 } e f : R → R uma função contínua. Aplique a mudança de variável u = xy^2 e v = x^2 y para transformar o integral

A

x^2 y^2 f (x^3 y^3 )dxdy num integral de uma função adequada num intervalo de R^2.

Ex. 16  Determine o volume das regiões seguintes:

a) abaixo do plano z = 4 e acima do parabolóide z = r^2 ;

b) no interior da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 4 e do cilindro x^2 + y^2 = 1;

c) no interior da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 4 e do cilindro x^2 + y^2 − 2 x = 0;

d) entre o plano z = 0 e o parabolóide z = 9 − x^2 − y^2 ;

e) entre os parabolóides z = x^2 + y^2 e z = 12 − 2 x^2 − 2 y^2 ;

f) entre os parabolóides z = 2x^2 + y^2 e z = 12 − x^2 − 2 y^2 ;

g) acima do parabolóide z = x^2 + y^2 e abaixo do plano z = 2x;

h) no interior da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 2 e acima do parabolóide z = x^2 + y^2 ;

i) entre o plano z = 1 e o cone z = r.

j) acima da superfície z = (x^2 + y^2 )^1 /^4 e no interior da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 2;

k) entre os parabolóides z = 10 − x^2 − y^2 e z = 2(x^2 + y^2 − 1);

l) no interior do parabolóide z = x^2 + y^2 e da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 12;

m) acima do plano xOy, no interior do cone z = 2a−

p x^2 + y^2 e do cilindro x^2 +y^2 = 2ay;

n) acima do plano xOy, abaixo do parabolóide z = 1 − x^2 − y^2 e na fatia −x ≤ y ≤

3 x.

Ex. 17  Use o integral triplo para calcular o volume da região sólida situada no interior da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 6 e acima do parabolóide z = x^2 + y^2.

Ex. 18  Calcule o volume V do sólido T que é limitado pelo parabolóide z = b(x^2 +y^2 ) (b > 0) e o plano z = h (h > 0).

Ex. 19  Calcule o volume da região limitada pelo hiperbolóide

x^2 a^2

y^2 b^2

z^2 c^2

= 1 e os

planos z = −c e z = c. Use a mudança de variáveis x = au, y = bv e z = cw.

Ex. 20  Usando a mudança de variáveis x = au, y = bv e z = w determine o volume

da região situada acima do plano xOy e abaixo do parabolóide z = 1 −

x^2 a^2

y^2 b^2

17 CAPÍTULO 2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1

d)

R

(x^2 + y^2 )dV onde R é a região situada acima do cone z = c

p x^2 + y^2 e no interior

da esfera x^2 + y^2 + z^2 ≤ a^2 ;

e)

B

e(x

(^2) +y (^2) +z (^2) ) 32 dV onde B é a esfera unitária de equação x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 ;

f)

R

(xyz)dV onde R é a região situada no primeiro octante e no interior da esfera

x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2.

Ex. 29  Ache o volume do cone de sorvete C, que é limitado pelo cone ϕ = π/ 6 e a superfície esférica denida por ρ = 2acosϕ (de raio a).

Ex. 30  Calcule o integral, efectuando a transformação para coordenadas esféricas

 (^) a

−a

  √a (^2) −y 2

−

a^2 −y^2

 √a (^2) −x (^2) −y 2

−

a^2 −x^2 −y^2

(x^2 z + y^2 z + z^3 )dzdxdy.

Ex. 31  Determine o integral triplo

U

x^2 a^2

y^2 b^2

z^2 c^2

dxdydz, onde U é a região

limitada pelo elipsóide

x^2 a^2

y^2 b^2

z^2 c^2

Ex. 32  Considere o cilindro 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h, com densidade γ = z em cada ponto (x, y, z). Calcule a massa, o centro de gravidade e momento de inércia Iz.

Ex. 33  Um cilindro sólido homogéneo possui massa m e raio a. Mostre que o mo-

mento de inércia em torno do seu eixo de simetria é dado por

ma^2.

Ex. 34  Determine o momento de inércia I de um cilindro sólido homogéneo em torno de um diâmetro da sua base. Expresse I em função do raio a, da altura h e da densidade constante γ.

Ex. 35  Ache o centróide de um cilindro sólido homogéneo de raio a e altura h.

Ex. 36  Determine a massa M do paralelepípedo rectangular 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b e 0 ≤ z ≤ c, sabendo que no ponto (x, y, z) a densidade é γ = x + y + z.

Soluções:

Solução (Ex. 3)  a) 18 ; b) π^4 / 2 ; c) 128 ; d) 256 ; e) 1 / 60 ; f) 18 ; g) − 1 / 6 ;

h) 512 / 15 ; i) 12 ; j) 512 / 3.

Solução (Ex. 4)  a) 6 ; b) 128 / 5 ; c) 128 / 3.

Solução (Ex. 5)  a) A região corresponde a um prisma;

0

0

 (^1) −y

0

f (x, y, z)dz dy dx.

b) A região corresponde a uma pirâmide;

0

x

 (^) y

0

f (x, y, z)dz dy dx.

c) A região corresponde a um tetraedro;

0

 (^) x

0

 (^) x−y

0

f (x, y, z)dz dy dx.

Solução (Ex. 6)  a) 1 / 60 ; b) 0

Solução (Ex. 7)  a) 2 − π/ 4

Solução (Ex. 8) 

0

 (^) y 2

0

 (^1) −y

0

f (x, y, z)dzdxdy;

0

 (^1) −z

0

 (^) y 2

0

f (x, y, z)dxdydz;

 (^1)

0

 (^1) −y

0

 (^) y 2

0

f (x, y, z)dxdzdy;

0

 (^1) −√x

0

 (^1) −z √x^ f^ (x, y, z)dydzdx;  (^1)

0

 (^) (1−z) 2

0

 (^1) −z √x^ f^ (x, y, z)dydxdz.

Solução (Ex. 10)  a) V =

0

 (^1) −x

0

 (^3) −x−y

0

dz

dy

dx+

0

 (^2) −x

1 −x

 (^3) −x−y

x+y− 1

dz

dy

dx +

1

 (^2) −x

0

 (^3) −x−y

x+y− 1

dz

dy

dx;

b) V =

0

 (^) 1+z

0

 (^) 1+z−y

0

dx

dy

dz +

1

 (^3) −z

0

 (^3) −y−z

0

dx

dy

dz.

Solução (Ex. 11) 

− 1

−√ 1 −z^2

√ 1 −z 2 
√ 1 −x^2 −^ √ 1 −x^2 dy

 (^) dx

 (^) dz;

− 1

−√ 1 −x^2

√ 1 −x 2 
√ 1 −x^2 −^ √ 1 −x^2 dz

 (^) dy

 (^) dx; V = 16/ 3

Solução (Ex. 13)  25 / 12

Solução (Ex. 14)  3 − 4 log(4)

Solução (Ex. 15) 

1

1

f (uv)dudv