Notas sobre Teoria de Campos: Representações de Schrödinger e Heisenberg, Notas de estudo de Física

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CBPF-MO-002/

Integrais de Tra jetoria

Notas de Aula

Maria Teresa Thomaz Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas { CBPF/CNPq Rua Dr. Xavier Sigaud, 150 22290-180 { Rio de Janeiro, RJ { Brasil

A todos aqueles que se sentem capazes de lutar para realizar seus sonhos.

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a serem feitas. Se vo c^e que as ler tiver algumas correc~oes a sugerir, lhe serei muito grata, ja que esta e a primeira vers~ao das notas. No futuro proximo quando novamente eu tiver a op ortunidade de reapresentar este mini-curso, esp ero fazer novas mo di cac~oes inclusive de conte udo. Por ultimo, gostaria de agradecer a to dos que insistiram que eu apresentasse o mini- curso, p ois so assim essas notas foram resgatadas do seu futuro de amarelo-arquivo. N~ao ha como deixar de agradecer muito a to do o esforco do Toninho na digitac~ao dessas notas, e a a juda inestimavel ao Antonio, Iraziet e Onofre que zeram a segunda revis~ao de to do o texto.

Niteroi, 26 de marco de 1996. Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz Instituto de Fsica, UFF

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Prefacio da Segunda Vers~ao

Gostaria de agradecer ao Jose Ab dalla p elo convite para apresentar este mini-curso aos alunos da Co ordenac~ao de Formac~ao Cient ca do Centro Brasileiro de Pesquisas Fsicas /CNPq. Desta forma tive a op ortunidade de rever as minhas notas, no que mo di quei 40% do conte udo original. Entretanto, continua o seguinte misterio: temos um n umero nito de palavras e formulas, mas in nitos erros!!! Por favor, me avise dos erros que vo c^e encontrar nessas notas.

Niteroi, 2 de julho de 1997. Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz Instituto de Fsica, UFF

1 Prop osta de Feynman Para uma Nova Formulac~ao

da Mec^anica Qu^antica de Uma Partcula

 Refer^encias Originais:

P.A.M. Dirac, Physik Z. Sowjetunion 3 , 64 (1933). R.P. Feynman , Rev. Mo d. Phys. 20 , 267 (1948); Phys. Rev. 80. 440 (1950)

 Outras Refer^encias:

E.S. Ab ers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1 (1973). H.M. Nussenzveig,Integrais de Trajetoria, Escola de Ver~ao Jorge Andre Swieca, Partculas e Camp os, 1981 (pag. 127).

Obs.: Os artigos originais est~ao contidos no livro Selected Papers on Quantum Electrody- namics, editado p or J. Schwinger.

1.1 Sistema Qu^antico de Uma Partcula: Representac~ao de

Schrodinger e Heisenb erg

A descric~ao da Mec^anica Qu^antica (MQ) a la Schrodinger e Heisenb erg e feita atraves da hamiltoniana do sistema. Entretanto, em 1933, Dirac apresenta uma formulac~ao da Mec^anica Qu^antica usando a lagrangeana do sistema. Dirac a rma que, classica- mente, as formulac~oes lagrangeana e hamiltoniana s~ao equivalentes, e que, p ortanto, essa equival^encia deve aparecer na M.Q. Alem disso, a formulac~ao lagrangeana e covariante, uma vez que a ac~ao e um escalar de Lorentz, enquanto a formulac~ao hamiltoniana n~ao o e. A formulac~ao lagrangeana p o deria ser mais facilmente utilizada para se tratar sistemas qu^anticos relativsticos.

Basicamente, a prop osta de Dirac e que, no limite em que h! 0 a amplitude de

probabilidade de uma partcula que se encontra no estado jq 0 (t 0 )i no instante t 0 ser

encontrada no estado jq (t)i no instante t e dada p or

hq (t)jq 0 (t 0 )i = e

h i^ R^ tt

0 Ldt^ ; (1)

onde L e a lagrangeana do sistema, e a tra jetoria escolhida para calcular a ac~ao e a tra jetoria CL ASSICA que tenha como condic~ao de contorno as p osic~oes q (t 0 ) e q (t) como estados inicial e nal resp ectivamente. Na formulac~ao de Feynman, como iremos ver, para um intervalo de temp o nito, temos que considerar to dos os p ossveis caminhos que levam da p osic~ao q (t 0 ) em t = t 0 ate a

p osic~ao q (t), no instante t. A contribuic~ao de cada caminho para o pro cesso qu^antico e dada p or

e

hi^ R^ tt

0 Ldt^ ; (2)

onde a ac~ao e calculada tomando-se aquela dada tra jetoria. Na formulac~ao de Schrodinger e Heisenb erg para a MQ, trabalhamos com op eradores que agem sobre vetores de estado, enquanto que na formulac~ao de Feynman trabalharemos ap enas com func~oes. As tr^es formulac~oes (Schrodinger, Heisenb erg e Feynman) da M.Q. s~ao equivalentes.

Na MQ de op eradores existem duas representac~oes que s~ao as mais usadas: a rep- resentac~ao de Schrodinger e a representac~ao de Heisenb erg. Vamos fazer uma p equena revis~ao do que s~ao essas duas representac~oes^1.

i) Representac~ao de Schrodinger: a) Din^amica dos op eradores: Seja OS um op erador na representac~ao de Schrodinger. Na representac~ao de Schrodinger o op erador n~ao varia no temp o:

dOS dt

b) Din^amica do vetor de estado: Seja j (t)iS um vetor que descreve um estado

qu^antico na representac~ao de Schrodinger. A din^amica dos vetores de estado nesta representac~ao e dada p or:

i dj^ (t)iS

dt

= Hj (t)iS ; (4)

onde H e a hamiltoniana total do sistema. Por hipotese, faremos a descric~ao qu^antica

de sistemas fechados, de maneira que H e uma constante do movimento. Usando

a equac~ao de Schrodinger (4) e o fato de que H e constante no temp o, p o demos

escrever formalmente que,

j (t)iS = eiH(tt^0 )^ j (t 0 )iS : (5)

O ndice S esta presente para lembrar que as quantidades est~ao sendo descritas na representac~ao de Schrodinger. (^1) Estaremos, de agora em diante, usando as unidades naturais, nas quais h = c = 1.

jo; ti = eiH(tt^0 )^ jo; t 0 i: (12)

Da eq.(11) vemos que jo; ti e autovetor do op erador OH (t) com autovalor o. Os au-

tovalores s~ao indep endentes do temp o. O que o corre e que os op eradores variam de instante para instante, de forma que o conjunto completo de seus autovetores

tambem deve variar de instante a instante. Se num instante t 0 jo; t 0 i e autovetor de

OH (t 0 ) com autovalor o, no instante t, jo; t 0 i n~ao e mais um autovetor de OH (t), e

sua decomp osic~ao esp ectral na base dos auto estados do op erador neste instante e

jo; t 0 i =

X

o

at jo; ti: (13)

As representac~oes de Schrodinger e Heisenb erg est~ao ligadas atraves de uma tran- formac~ao unitaria,

j (t)iS = eiHt^ j ; tiH ; (14)

e

QS = eiHt^ QH (t)eiHt^ : (15) No nosso caso, a matriz de transformac~ao unitaria e:

U (t; 0) = eiHt^ : (16)

A hamiltoniana total do sistema, H, e a mesma nas duas representac~oes.

O ob jeto que nos da informac~oes fsicas sobre o sistema s~ao as probabilidades. Entre- tanto, a MQ nos da a evoluc~ao din^amica das amplitudes de probabilidade. Vamos ent~ao obter as amplitudes de probabilidade nas duas representac~oes.Ap enas para simpli car a notac~ao, vamos tratar do problema qu^antico de uma partcula em uma dimens~ao espacial e uma dimens~ao temp oral. Seja F (q 0 ; t^0 ; q ; t) a amplitude de probabilidade da partcula, estando na p osic~ao q no instante t, ser encontrada na p osic~ao q 0 no instante t^0. Temos ent~ao

H hq^0 ;^ t^0 jq^ ;^ tiH =^ F^ (q^0 ;^ t^0 ;^ q^ ;^ t);^ (17)

que, escrita na representac~ao de Schrodinger, ca^3

F (q 0 ; t^0 ; q ; t) =H hq 0 ; t^0 jq ; tiH = hq 0 (t^0 )jeiH(t^0 t)^ jq (t)i: (18)

Vamos agora manipular a amplitude de probabilidade F (q 0 ; t^0 ; q ; t) = H hq 0 ; t^0 jq ; tiH.

Usando o fato de que, em cada instante ti , o conjunto de autovetores jqi ; ti iH do op erador

p osic~ao e completo,

Z 1

dqi jqi ; ti iH H hqi ; ti j = 1 l; (19)

e, sub dividindo o intervalo t^0 t em sub-intervalos in nitesimais , ou seja,

tn = n + t; n = 0 ; 1 ; 2 ; : : : ; N + 1 ; (20)

onde t 0 = t e tN +1 = t^0 = (N + 1) + t, temos

F (q 0 ; t^0 ; q ; t) =

Z 1

dq 1 : : :

Z 1

dqN H hq 0 ; t^0 jqN ; tN iH H hqN ; tN jqN 1 ; tN 1 iH 

H hqN 1 ; tN 1 jqN 2 ; tN 2 iH : : :H hq 1 ; t 1 jq ; tiH : (21)

Entretanto^4 ,

H hqi ;^ ti jqi 1 ;^ ti 1 iH =S hqi (ti )jeiH^ jqi 1 (ti 1 )iS ;^ (22)

No limite ! 0, a exp onencial do op erador hamiltoniano p o de ser aproximada p or:

eiH^ = ei(H^0 +V^ )^ = 1 iH 0 iV + O (^2 ) = eiH^0 ^ eiV^ (q^ )^ + O (^2 ); (23)

onde H 0 = 2 pm^2. Assim, mantendo termos de ate primeira ordem em , temos que

(^3) Note que (^) H hq 0 ; t (^0) jq ; tiH 6 =S hq 0 (t (^0) )jq (t)iS , p ois o pro duto escalar e o mesmo em to das as representac~oes obtidas umas das outras atraves de uma representac~ao unitaria ap enas se os vetores de estado est~ao de 4 nidos no mesmo instante. Por construc~ao, o vetor de estado: jqi; ti iH e auto estado do op erador q^H (ti ). A relac~ao entre auto es- tados deste op erador nas representac~oes de Schrodinger e Heisenb erg e de nida p ela eq.(14):

jqi (ti )iS = eiHti^ jqi; ti iH :

Lembrando que jqi (ti )iS e o autovetor do op erador q^S no instante t, ou seja,

^qS jqi (ti )iS = qi jqi (ti )iS :

t’

1

2

q(0)

ε

q(t)

t

1 (^2) q’(t’)

t 1 t 2 t 3 t (^) N-2 t (^) N-1 tN t’

1

2 ε

1

t 1 t 2 t 3 t (^) N-2 t (^) N-1 tN

p(t)

2

......

Figure 1: A) Tra jetorias da partcula entre os p ontos q ; t e q 0 ; t^0 ; B) Tra jetorias no espaco dos momentos, que n~ao p ossuem condic~oes inicial e nal.

H hqi ;^ ti jqi 1 ;^ ti 1 iH =^

Z 1

1^ dpe

i (qi^ qi  1 )peiH (^) : (32)

Notemos que para cada pro duto escalar do l.d. da eq.(18) intro duzimos uma integral sobre a variavel momento. Voltando a express~ao da amplitude de probabilidade temos que

F (q 0 ; t^0 ; q ; t) =

Z 1

dq 1 : : : dqN Hhq 0 ; t^0 jqN ; tN iH H hqN ; tN jqN 1 ; tN 1 iH : : : 

H hq 2 ; t 2 jq 1 ; t 1 iH H hq 1 ; t 1 jq ; tiH

= (2 1 )N +

Z 1

1^ dq^1 :^ :^ :^ dqN

Z 1

1^ dp^0 :^ :^ :^ dpN^ e

i p 22 Nm iV (qN )+i (q^0 q N^ )pN 

 : : :  ei^

p^21 2 m iV^ (q^1 )+i^ (q^2  q^1 )p^1 ei^ p^20 2 m iV^ (q^0 )+i^ (q^1  q^0 )p^0 ; (33)

onde q 0 = q. Na eq.(33) integramos no intervalo (1; 1 ) sobre as N + 1 variaveis de

momento. O que estamos fazendo com essas integrac~oes multiplas  e: dentre as p ossveis tra- jetorias no espaco dos q 0 s e p^0 s, est~ao includas to das as tra jetorias \quebradas". No

limite em que N! 1 ( ! 0) as variaveis de p osic~ao deixam de ser indexadas p elo

ndice discreto i, passando a serem func~ao do par^ametro contnuo t. Na integral de q (t) to das as tra jetorias partem da p osic~ao q (t) e to das t^em que alcancar a p osic~ao q 0 (t^0 ). A integral sobre p(t) ja n~ao p ossui restric~oes(veja gura 1).

Voltando a situac~ao em que o temp o evolui continuamente, ! 0, e reconhecendo que

dq (t) dt

= l im! 0 q^ (t^ +^ )^ ^ q^ (t)

temos que, apos tomarmos o limite do contnuo, a amplitude de probabilidade ca sendo

H hq^0 ;^ t^0 jq^ ;^ tiH =^

(2 )N^ +

Z q 0 (t 0 )

q (t)^ D^ q^ (t)

Z 1

1^ D^ p(t)e

i R^ tt 0 Hdt+i R^ tt 0 q_ (t)p(t)dt: (35)

Estamos de nindo D q (t) e D p(t) como sendo:

D q (t) =

Y^ N

i=

dqi (ti ) (36)

e

D p(t) =

Y^ N

i=

dpi (ti ) (37)

Portanto, no caso geral, a amplitude de probabilidade e dada p or

H hq^0 ;^ t^0 jq^ ;^ tiH =^

(2 )N^ +

Z q 0 (t 0 )

q (t)

D q (t)

Z 1

D p(t)ei^

R t 0

t (^ q_^ (t)p(t)H)dt: (38)

Ap esar de q (t) e p(t) serem autovalores de op eradores canonicamente conjugados, e imp ortante ressaltar que q (t) e p(t) s~ao duas variaveis indep endentes, e, p or causa disso, e falso a rmar que:

p = @ @^ L q_ ; (39)

sendo L a func~ao lagrangeana do sistema. De forma que n~ao p o demos escrever direta- mente a transformac~ao de Legendre

p q_ H = L: (40)

Uma vez que conhecemos a dep end^encia do op erador hamiltoniano em termos do

op erador momento, sab emos como a func~ao H dep ende da variavel p e realizar a integral

funcional em D p(t) para encontrar a lagrangeana efetiva que aparece na eq.(38).

Vamos considerar a situac~ao usual da M.Q. n~ao-relativstica em que

H(q ; p) = p

2 2 m +^ V^ (q^ ):^ (41) Neste caso, a integral de caminho do mo delo qu^antico ca

H hq^0 ;^ t^0 jq^ ;^ tiH =^

(2 )N^ +

Z q 0 (t 0 )

q (t)

D q (t)

Z 1

D p(t)ei^

R t 0

t [^ q_^ (t)p(t)^ p

2 2 m V^ (q^ )]dt^ : (42)

forma, desejamos obter o pro duto escalar: H h ; t^0 j; tiH , para t^0 > t, na forma de uma

integral de tra jetoria. Usando a completeza da base dos autovetores do op erador p osic~ao nos instantes t e t^0 (eq.19), ou seja,

Z 1

dq 0 jq 0 ; t^0 iH Hhq 0 ; t^0 j = 1 l e

Z 1

dq jq ; tiH H hq ; tj = 1 l; (49)

o pro duto escalar H h ; t^0 j; tiH passa a ser escrito como:

H h^ ;^ t^0 j;^ tiH =

Z 1

1^ dq^

0 dq H h ; t 0 jq 0 ; t 0 iH H hq 0 ; t 0 jq ; tiH H hq ; tj; tiH

= l im! 0 ( 2 m i ) N^2 +

Z 1

dq 0 dq ^ (q 0 ; t^0 )(q ; t)

Z q 0 (t 0 )

q (t)

D q (t)ei^

R t 0

t Ldt^ : (50)

1.2 Noc~oes de Derivadas Funcionais

Refer^encias:

 C. Nash, Relativistic Quantum Fields, cap. 1.

 H. M. Nussenzweig,Integrais de Trajetoria. Escola de Ver~ao Jorge Andre Swieca,

Partculas e Campos, 1981, pag. 127.

 Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes.

Para a MQ n~ao -relativstica, e su ciente o conhecimento das amplitudes de proba- bilidade dadas p elas integrais de caminho. No entanto, em Teoria Qu^antica de Camp os, as chamadas func~oes de Green s~ao as quantidades que conseguimos calcular atraves de meto dos p erturbativos e n~ao-p erturbativos. Para falarmos em func~oes de Green, precisamos mencionar a parte de integrais e derivadas funcionais. Continuaremos a tratar o problema qu^antico de uma partcula, ap enas para exempli car.

Estamos acostumados a tratar com func~oes que s~ao soluc~oes das equac~oes que d~ao a din^amica das variaveis usadas para descrever um dado sistema fsico. Por exemplo, no caso da Mec^anica Qu^antica n~ao-relativstica de uma partcula unidimensional, a din^amica da func~ao de onda (F.O.) e dada p ela equac~ao de Schrodinger:

21 m@^

(^2) (x; t) @ x^2 +^ V^ (x)^ (x;^ t)^ =^ i^

@ (x; t) @ t :^ (51)

Note que para cada valor do par de par^ametros (x; t) asso ciamos um n umero (x; t) que denominamos de func~ao no p onto x no instante t. O mesmo o corre quando descrevemos a din^amica classica de uma partcula, assim como varios outros fen^omenos fsicos. No entanto, ao observar as eqs. (47) e (48), vemos que temos novo ob jeto matematico na exp onencial do integrando dessas equac~oes, ou seja,

S [q ; q_; t; t^0 ] =

Z t 0

t

dt [ m 2 q_ (t)^2 V (q (t))]; (52)

que e a ac~ao asso ciada a tra jetoria q (t), que tem p ontos extremos xados p elo problema qu^antico. Para cada tra jetoria (func~ao) q (t) asso ciamos um n umero. Ao contrario do primeiro exemplo desta sec~ao, n~ao e su ciente conhecer o valor do par^ametro (temp o) num unico p onto. E necessario conhecer os valores que a func~ao assume num intervalo de valores do par^ametro. Dizemos que S e um funcional da tra jetoria (func~ao) q (t). No caso de func~oes f (t), ao variarmos o valor do par^ametro t, em geral, mudamos o valor da func~ao f. No caso de funcionais E [f ], ao se mudar a func~ao f (t), em geral mo di camos o valor do funcional E. Seja E [f (x)] um funcional de f (x), um exemplo de funcional e

E [f (t)] = f (t); (53)

que e um funcional muito particular. No entanto, o resultado nal da express~ao (53) dep ende da escolha que fazermos da func~ao f (x), da dizer que esta express~ao e um funcional. De qualquer maneira, a igualdade (53) sempre p o de ser escrita como,

E [f (t)] =

Z 1

1^ dt^ ^ (t^ ^ t

(^0) )f (t (^0) ); (54)

sendo  (t t^0 ) a func~ao delta de Dirac.

Consideremos agora a derivada funcional. A sua de nic~ao op eracional n~ao e unica, p orem vamos usar a de nic~ao do Nash, que e a mesma do Moyses:

 E [f (x)]  f (y ) =^ l^ im!^0

E [f (x) +  (y x)] E [f (x)]

 :^ (55)

Para entendermos a necessidade da presenca da func~ao delta de Dirac,  (y x), na

de nic~ao da derivada funcional, facamos analogia com a derivada de func~oes. Seja f (x) uma func~ao do par^ametro x. A derivada dessa func~ao em relac~ao a x e:

df (x) dx =^ lim^ !^0

f (x + ) f (x)

 :^ (56)

) ^ E^ [f^ (x)]

 f (y )

=  (x y ): (59)

Como um segundo exemplo, consideremos:

Ex [f ] =

Z

dx^0 K (x; x^0 )f (x^0 ): (60)

Ent~ao,

 Ex [f ]  f (y ) =^ lim^ !^0

R dx 0 K (x; x 0 )[f (x 0 ) +  (y x 0 )] R dx 0 K (x; x 0 )f (x 0 )

= lim ! 0 

R

dx^0 K (x; x^0 ) (y x^0 )

 =^ K^ (x;^ y^ ):^ (61)

Assim,

 Ex [f ]  f (y ) =^ K^ (x;^ y^ ):^ (62)

Da mesma forma que vo c^e p o de escrever series de p ot^encias para func~oes comuns em termos de suas variaveis,

F (x) =

X^1

n=

an xn^ ; (63)

existe a serie de Taylor funcional que corresp onde a expans~ao do funcional em termos da sua func~ao argumento. Seja P [f ] um funcional de f (x), ent~ao P [f ] p o de ser escrito como:

Px [f ] = K 0 (x) +

Z

K 1 (x; x 1 )f (x 1 )dx 1 +

Z

K 2 (x; x 1 ; x 2 )f (x 1 )f (x 2 )dx 1 dx 2 + : : : ; (64)

Se Kn (x; x 1 ; x 2 ; : : : ; xn ) e uma func~ao simetrica nas variaveis x 1 ; x 2 ; : : :, xn , ent~ao temos que

Kn (x; x 1 ; x 2 ; : : : ; xn ) = (^) n^1!^ ^

n (^) P [f ]

 f (x 1 ) : : :  f (xn ) jf^ (x)^0 :^ (65)

Outras propriedades interessantes das derivadas , e que p ossuem analogo nas derivadas usuais de func~oes, s~ao:

i) Sejam F e G funcionais da func~ao g (x), ent~ao,

 (F [g ]G [g ])

 g (x) =^

 F [g ]

 g (x)
^ G^ [g^ ]^ +^ F^ [g^ ]^
^

 G [g ]

 g (x) :^ (66)

t 1 t 2 t

F(t)

Figure 2: Per l da forca externa F (t)

ii) Regra da cadeia para derivadas funcionais:

F [g (f )]

 f (y ) =

Z

dx  ^ F g (^ [xg)^ ]
 ^ fg^ ((xy) ) : (67)

ii) Se F [g ]  F [g 1 ;


; gn ], sendo gi , i = 1 ; 2 ;


; n, func~oes do par^ametro x, ent~ao,

 F [g 1 ;


; gn ] =

Z

dx ^ F^ [g^ ]

 gj (x)

 gj (x); (68)

onde estamos usando a convenc~ao de soma implcita para os ndices rep etidos j.

1.3 Func~oes de Green de Uma Partcula

Estamos considerando uma partcula qu^antica unidimensional n~ao-relativstica. A integral de caminho neste caso e^6

H hq^0 ;^ t^0 jq^ ;^ tiH =

Z q 0 (t 0 )

q (t)

D q (t)ei^

R t 0

t Ldt^ ; (69)

onde L = T V (q ).

Considerando que o nosso sistema esta sob a ac~ao de uma forca externa F (t), durante

um certo intervalo de temp o t 2  t  t 1 (ver gura 2), queremos sab er a amplitude de

probabilidade do sistema estando no estado jq ; tiH no instante t ser encontrado no estado

jq 0 ; t^0 iH no instante t^0. Nesse caso, camos com^7 ,

(^6) Dentro da de nic~ao de D q (t) ja esta contida a constante multiplicativa. (^7) No caso de uma partcula classica, a sua equac~ao de movimento na presenca de uma forca extrena F (t) e: