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INTEGRAIS DEFINIDAS
O Problema da Área
Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f ( x ) e limitada pelas retas verticais x = a , x = b e pelo eixo x?
Uma ideia é aproximarmos a região S utilizando retângulos e depois tomarmos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos (semelhante a definição de reta tangente em que a aproximação é feita por retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações).
Exemplo: Use retângulos para estimar a área sob a parábola y = x^2 no intervalo [0, 1].
Observe que a área de S deve estar entre 0 e 1, pois S está contida em um quadrado com lados de comprimento 1. Suponha que S seja dividida em quatro faixas S 1 , S 2 , S 3 , e S 4 :
Aproximando cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e alturas definidas pelo valor da função f ( x ) = x^2 nas extremidades direitas dos subintervalo, temos:
Se R 4 for a soma das áreas dos retângulos aproximados, teremos:
Observe que a área A da região S é menor que R 4 , ou seja, A < 0,46875. Também poderíamos usar os retângulos menores para aproximar a área de S. Neste caso, as alturas assumiriam os valores de f nas extremidades esquerdas dos subintervalos.
A soma das áreas desses retângulos é:
( ) ( ) ( )
Desta forma: 0,21875 < A < 0,46875. Repetindo esse procedimento com um número maior de faixas, por exemplo, S dividida em oito faixas com a mesma largura:
L 8 = 0,2734375 < A < 0,3984375 = R 8
A largura do intervalo [ a , b ] é b – a , assim, a largura de cada uma das n faixas é:
Essas faixas dividem o intervalo [ a , b ] em n subintervalos [ x 0 , x 1 ], [ x 1 , x 2 ], [ x 2 , x 3 ], ..., [ x n-1, x n], em que x 0 = a e x n = b. Aproximando a i -ésima faixa S i por um retângulo com largura x e altura f ( x i), a área do i -ésimo retângulo é f ( x i) x.
A área aproximada de S é obtida pela soma das áreas desses retângulos, que é Rn = f ( x 1 ) x + f ( x 2 ) x + … + f ( x n) x À medida que o número de faixas aumenta, isto é, quando n , a aproximação da área fica melhor.
Definição 1 A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos: f ( x 1 ) x + f ( x 2 ) x + … + f ( x n) x ] Em vez de usarmos as extremidades dos retângulos, podemos tomar a altura do i - ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i – ésimo subintervalo [ x i-1, x i ].
Logo, uma expressão mais geral para a área S é: f ( ) x + f ( ) x + … + f ( ) x ] = ∑
Integral Definida
Definição 2 Se f ( x ) uma função definida e contínua no intervalo real [ a , b ], dividimos o intervalo [ a , b ] em n subintervalos de comprimentos iguais x. Seja , i = 1, ..., n. Então, a integral definida de f , de a até b é
∫ ∑
Se o limite existe, dizemos que f é integrável em [ a , b ].
Observações:
Na notação (^) ∫ , a é o limite inferior de integração, b é o limite superior de integração e f ( x ) é o integrando. A integral definida é um número. A soma ∑ é chamada soma de Riemann, em homenagem ao matemático Bernhard Riemann (1826-1866). Quando f é contínua e não negativa em [ a , b ] a definição de integral definida coincide com a definição de área (definição 1). Assim, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
Teorema: Se f é contínua em [ a , b ], então f é integrável em [ a , b ].
Propriedades da integral definida
Sejam f ( x ) e g ( x ) funções integráveis em [ a , b ].
b b
a a
^ kf^ x dx^ k^ f^ x dx
b b b
a a a
^ f^ x^ ^ g x^ dx^ ^ f^ x dx^ g x dx
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a < c < b.
- Para todo x em [ a , b ], se f ( x ) ≥ 0, então ( ) 0
b
a
f x dx .
- Para todo x em [ a , b ], se f ( x ) ≥ g ( x ), então ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx.
Mudança de variáveis para integrais definidas
Existem duas maneiras para calcular a integral definida utilizando o método da substituição. Uma delas consiste em calcular a integral indefinida e então utilizar o teorema fundamental do cálculo. A outra maneira consiste em recalcular os limites de integração ao fazer a mudança de variável.
Exemplos:
a.
4
0
2 x 1 dx
b.
2 2 3 0
^2 x^ x^ ^1 dx
Exercícios
1 – Calcular as seguintes integrais:
4
0
(^12) 1
0
2
1
4 2
1
2
2
1
2 2
1
) ( 2 1 ) 3 1
)
) ( 3 2 ) ) ( )
) ( 6 1 ) ) ( 3 2 )
dx f x dx x
e dx
c x dx d x x dx
a x dx b x x dx
Cálculo de áreas
Caso I. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f , pelas retas x = a, x = b e o eixo x , em que f é contínua e f ( x ) 0, x [a, b].
Neste caso, a área é dada por:
Caso II. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f , pelas retas x = a, x = b e o eixo x , em que f é contínua e f ( x ) 0, x [a, b].
Neste caso, a área é dada por:
Exemplos :
- Encontre a área da região limitada pela curva y = 2 x + 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x =3.
ii) f ( x ) ≥ 0 e g ( x ) ≤ 0 x [a,b].
Neste caso, a área é dada por:
iii) f ( x ) ≤ 0, g ( x ) ≤ 0 e f ( x ) ≥ g ( x ), x [a,b].
Neste caso, a área é dada por:
Exemplos:
Encontre a área limitada pelas curvas f ( x ) = – x^2 + 4 x e g ( x ) = x^2.
Encontre a área limitada pelas curvas f ( x ) = x^2 – 1 e g ( x ) = x + 1.
Encontre a área limitada pelas curvas f ( x ) = x^3 e g ( x ) = x.
Encontre a área limitada pelas curvas y^2 =2 x – 2 e y = x – 5
Encontre a área limitada pelas curvas f ( x ) = sen( x ) e g ( x ) = cos( x ),
x
Exemplos
- Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um período típico de 24 horas, a temperatura (graus Celsius) em certa cidade é dada por T ( t ) = − − , 0 ≤ t ≤ 24. Qual é a temperatura média na cidade entre as 6:00 e 16:00 horas?
- Encontre o valor médio de √ no intervalo [−1,8] e determine o valor de z que corresponde ao valor médio de f.
Comprimento de arco de uma curva plana usando equações cartesianas A representação gráfica de uma função y = f ( x ) num intervalo [a, b] pode ser um segmento de reta ou uma curva qualquer. A porção de curva do ponto A( a , f ( a )) ao ponto B( b , f ( b )) é chamada arco.
Para encontrar o comprimento de uma curva, faremos uma aproximação por uma poligonal e, então, tomaremos o limite quando o número de segmentos da poligonal aumenta. Seja uma curva C seja definida pela equação y = f ( x ), em que f é contínua e a x b. Obtemos uma poligonal de aproximação para C dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos com extremidades x 0 , x 1 , ..., x n e com larguras iguais a x. Se y i = f ( x i), então o ponto Pi( x i, y i) está em C e a poligonal com vértices P 0 , P 1 , ..., Pn, é uma aproximação para C.
Como a poligonal é formada por segmentos de reta, é possível calcular o comprimento de cada segmento. Desta forma, o comprimento da poligonal é calculado por:
∑ (^) √ − −
Como f é derivável em [a,b], podemos aplicar o teorema do valor médio (para derivadas!!) em cada intervalo [ x i-1 – x i], i = 1, ..., n e descobrimos que existe um número x i* entre x i – 1 e x i tal que
f ( x i) – f ( x i – 1 ) = f ’( x i*)( x i – x i– 1 )
Substituindo este resultado na equação de L n, temos:
∑ (^) √ − −
∑ √^ − ( ) −
a aproximação fica melhor quando n aumenta.
- Calcule o comprimento do arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos (1, 1) e (4, 8).
- Determine o comprimento da curva − para 2 x 4.
Se uma curva tem a equação x = g ( y ), c y d e g ’( y ) contínua, então, o comprimento do arco da curva C é dado por:
Exemplo:
- Determine o comprimento do arco dado por − para 1 y 3.
𝑑
𝑐
- Determine o comprimento do arco da hipociclóide {.
Área de uma região plana
O cálculo da área de uma região plana pode ser realizado quando as curvas que delimitam a região são dadas na forma paramétrica.
Caso I A área da região S é limitada pelo gráfico de f , pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. A função y = f ( x ) é contínua em [a, b] e f ( x ) ≥ 0, x [a,b].
Neste caso, para y = f ( x )
{
em que x ( t 0 ) = a e x ( t 1 ) = b.
Em coordenadas cartesianas, a área da região S é dada por (^) ∫ ∫.
Fazendo a substituição x = x ( t ) e dx = x’ ( t ) dt obtemos:
Exemplo:
- Calcule a área da região limitada pela elipse {
