Baixe Integrais definidas com exercícios e resumos e outras Trabalhos em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
1. Integral de Riemann: Definição
Sejam f uma função definida em [a, b] e L um número real. Dizemos que
!
!
"
!#$
tende a L, quando 𝑚á𝑥 𝛥𝑥
!
→ 0 , e escrevemos:
%á' )' !
→+
!
!
"
!#$
se, para todo 𝜀 > 0 , existir um 𝛿 > 0 que só depende de 𝜀 mas não da particular escolha
dos c i
, tal que:
!
!
"
!#$
para toda partição P em [a , b], com 𝑚á𝑥 𝛥𝑥 !
Tal número L, que quando existe é único, denomina-se integral (de Riemann) de f em [a
, b] e indica-se por ∫ 𝑓(𝑥)
,
dx. Então por definição:
,
dx = 𝑙𝑖𝑚
%á' )'
!
→+
!
!
"
!#$
Se ∫
,
dx existe, então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em [a , b].
É comum nos referirmos a ∫
,
dx como integral definida de f em [a , b].
Definimos, ainda:
dx = 0
,
dx = − ∫ 𝑓(𝑥)
,
dx (com a < b)
4. Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então: ∫ 𝑓(𝑥)
,
dx =
𝐹(𝑏)-F(𝑎).
Prova : Temos pelo teorema 3 que se P : a = x 0
< x 1
< x 2
< x 3
< ... < x n
= b é uma partição
de [a , b], existem 𝑐 !
em [𝑥
!.$
!
] tal que 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) =
!
!
"
!#$
Assim,
%á' )' !
→+
!
!
"
!#$
,
dx
Notas :
- A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral
indefinida, obtidos para x = a e x = b, respectivamente.
- É possível provar que toda função contínua em [a, b] é integrável em [a, b].
- Temos então pelo TFC que, se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f em [a ,
b], então:
,
dx = 𝐹(𝑏)-F(𝑎)
É usual denotar a diferença [𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)] por [𝐹(𝑥)]
,
. Assim,
,
dx = [𝐹(𝑥)]
,
= 𝐹(𝑏)-F(𝑎)
Exemplos : Calcule
/
/
$
dx = ... =
0
1
Solução : 𝐹(𝑥) =
'
"
1
é uma primitiva de f(x) = x
2
e f é contínua em [1 , 2]
Assim, ∫
/
/
$
dx =A
'
"
1
B
$
/
2
1
$
1
0
1
/
1
.$
1
.$
dx = ... = 16
1
/
dx = ... = 8 5) ∫
$
'
/
$
dx = ... =
$
/
/
'
3
$
= ... = ln 16 @ 2,77 6) ∫
H
$
'
$
'
"
I
/
$
dx = ... =
2 4" / 51
2
.'
$
dx = ... = 1 −
$
6
𝑐os x 𝑑𝑥
$
.
$
$
%
dx = ... =
/.√/
3
$+
dx
$
= mudança de variável = ... =
$
$$
$
&
𝑑𝑥 = mudança de variável = ... =
$
1
1 '
$
= mudança de variável = ... =
6
"
.$
1
'
'
5 $
$
= mudança de variável = ... =
4" /
/
/
/
$
= mudança de variável = ... =
8 √
8 ./ √
/
1
CÁLCULO DE ÁREAS UTILIZANDO INTEGRAIS DEFINIDAS
Seja f contínua em [a, b], com 𝑓(𝑥) ≥ 0 em [a, b]. Estamos interessados em definir a
área do conjunto A do plano limitado pelas retas x = a , x = b , y = 0 e y = f(x).
Seja, então, P : a = x 0
< x 1
< x 2
< x 3
< ... < x n
= b uma partição de [a , b] e sejam 𝑐
!
e 𝑐
!
em
[x i- 1
, x i
] tais que 𝑓(𝑐
!
) é o valor mínimo e 𝑓(𝑐
!
) o valor máximo de f em [x i- 1
, x i
].
Uma boa definição para a área de A devera implicar que a soma de Riemann
!
!
"
!#$
seja uma aproximação por falta da área A e que ∑ 𝑓(𝑐
!
!
"
!#$
seja uma
aproximação por excesso, isto é:
!
!
"
!#$
!
!
"
!#$
Como as somas de Riemann mencionadas tendem a ∫
,
dx, quando 𝑚á𝑥 𝛥𝑥
!
nada mais natural do que definir a área de A por:
£ Área £
,
dx
Exemplos :
- Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x =
1 , y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x
- Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x =
1 , y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x
2
- Calcule a área do conjunto 𝐴 = X(𝑥, 𝑦) ∈ ℜ
/
$
'
^.
A seguir apresentaremos situações que evidenciam como estender o conceito de área
para outros subconjuntos do Â
2
Como 𝑓(𝑥) ≤ 0 em [a , b] ⇒
,
𝑑𝑥 ≤ 0 e
Á𝑟𝑒𝑎 = − @ 𝑓(𝑥) dx
,
Seja A o conjunto hachurado
Á𝑟𝑒𝑎 = @ 𝑓(𝑥) dx
<
− @ 𝑓(𝑥) dx
=
<
,
=
Nota : Observe que ∫
,
𝑓(𝑥) dx
<
𝑓(𝑥) dx
=
<
𝑓(𝑥) dx
,
=
= soma das
áreas dos conjuntos acima do eixo Ox menos a soma das áreas dos conjuntos abaixo do
eixo Ox.
- a) Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelo gráfico de
f(x) = x
3
, pelo eixo x e pelas retas x = - 1 e x = 1.
b) Tomando como base o exemplo anterior, calcule ∫
1
dx
$
.$
e interprete o resultado
encontrado.
ÁREA COMPREENDIDA ENTRE DUAS FUNÇÕES
Lembre-se : A área limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) , pelas retas x = a e x = b , sendo
f e g funções contínuas em [a, b] e f(x) ≥ g(x) , é dada por:
Á𝑟𝑒𝑎 = @ 𝑓(𝑥)
,
,
𝑑𝑥 = @ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
,
- Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas y = x
2
+ x , y =
x + 1 e pelas retas x = 2 e x = 4. Resposta : 50/3 u.a.
- Represente geometricamente e determine a área limitada pela parábola y = x
2
- 4 e
pela reta y = 2–x. Resposta : 125/6 u.a.
- Represente geometricamente e determine a área da região limitada pelos gráficos
de 𝑓(𝑥) = 𝑒
'
e 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2. Resposta : Á𝑟𝑒𝑎 =f 1 , 95 unidades de área.
- Represente geometricamente e determine a área da região limitada pelos gráficos de
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 entre duas interseções consecutivas. Resposta : Á𝑟𝑒𝑎 =
2 √
2 = 0 2 , 83 unid. de área.
APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE ÁREAS: CÁLCULO DE PROBABILIDADE
Uma aplicação importante do cálculo de áreas está relacionada ao cálculo de
probabilidade em estatística. Quando conhecemos o modelo probabilístico de uma
variável aleatória contínua x , podemos calcular a probabilidade de o fenômeno ocorrer
dentro de determinado intervalo de x.
O modelo probabilístico é descrito por uma função f(x) conhecida como função
densidade de probabilidade, tendo as seguintes propriedades:
ü 𝑓(𝑥) ≥ 0
ü Se 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 então ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
,
= 1 , ou seja, a área total limitada pela função
densidade de probabilidade e o eixo x , de a até b , é sempre igual a 1
(probabilidade de 100% ).
ü A probabilidade de x tomar valores entre x 1
e x 2
é dada por 𝑃(𝑥
$
/
'
'
&
que representa o cálculo de uma área, como mostra a
Figura 1.
Exemplo ilustrativo : Suponha que o tempo de vida t de um componente eletrônico,
fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de
probabilidade dada por 𝑓(𝑡) = 0 , 02 ⋅ 𝑒
.+,+/?
, sendo 𝑡 ≥ 0. A probabilidade de um
componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre 100 e 200 horas é
dada por:
.+,+/?
/++
$++
= [−𝑒
.+,+/?
]
?#$++
?#/++
.+,+/⋅/++
.+,+/⋅$++
. 3
./
$
6
$
6
'
6
.$
6
'
≅ 0 , 1170 ou 11,70%
A Figura 2 ilustra o exemplo, mostrando a área colorida relacionada à probabilidade
calculada.
Figura 1 Figura 2
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
- O diâmetro x das peças produzidas por certa máquina é uma variável aleatória
contínua com função densidade de probabilidade dada por 𝑓(𝑥) =
1
12
/
− 𝑥), para
2 ≤ 𝑥 ≤ 4. Calcular a probabilidade de 𝑃( 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 ). Resposta : 30,26%
- Suponha que x seja uma variável aleatória contínua uniforme no intervalo [0, 20] ,
ou seja, sua função densidade de probabilidade neste intervalo é 𝑓(𝑥) =
$
/+
. Calcular
as seguintes probabilidades: ( a ) 𝑃( 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ) ( b ) 𝑃(𝑥 ≤ 15 ) ( c ) 𝑃(𝑥 > 3 )
Resposta : ( a ) 50% ( b ) 75% ( c ) 85%
APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE ÁREAS – ECONOMIA E ADMINSTRAÇÃO
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de
Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.
Seja y = f(x) a função de demanda, representando os diversos preços ( y ) que os
consumidores estão dispostos a pagar pelas diferentes quantidades ( x ) de um produto.
Considere o ponto de equilíbrio ( x o
, y o
), sendo que os consumidores dispostos a pagar
mais do que y o
pelo produto são beneficiados. Esse benefício global dos consumidores
é representado pela área colorida da Figura abaixo e é chamado de excedente do
consumidor (EC)
Portanto, o excedente do produtor ( EP ) é dado por: EP = 𝑥
' (
Exemplo ilustrativo : A função de demanda para uma certa mercadoria é y = 36 – x
2
e a
função de oferta y = 2x + 1 onde y é o preço unitário e x a quantidade. Determine o
excedente do produtor e consumidor e faça os gráficos correspondentes.
Solução : O ponto de equilíbrio é determinado resolvendo-se o sistema:
k
/
/
/
Para x = 5 resulta y = 2
.
5 + 1 = 11 , ou seja, o ponto de equilíbrio é (x o
, y o
EP = 𝑥
'
(
8
[
/
]
'#+
'# 8
Portanto, o excedente do produtor é R$ 25,00. O gráfico correspondente é mostrado na
Figura abaixo.
EC = @ 𝑓(𝑥)
'
(
/
8
𝑑𝑥 − 5 ⋅ 11 = i 36 𝑥 −
1
j
'#+
'# 8
Portanto, o excedente do consumidor é R$ 83,33. O gráfico correspondente é mostrado
na Figura abaixo.
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
- Dada a equação de demanda p = 30 – x
2
, sendo p o preço e x a quantidade,
determine o excedente do consumidor sabendo-se que o preço de equilíbrio é R$
5,00. Fazer o gráfico correspondente. Resposta : R$ 83,
- Para certo produto a equação de oferta é x
2
- 10 0y + 100 = 0 , sendo o preço de
equilíbrio R$ 10,00. Determine o excedente do produtor e faça o gráfico
correspondente. Resposta : R$ 180
- Dada a equação de demanda x + 20 y = 160 e a equação de oferta 260y – x = 400.
Determine os excedentes do consumidor e do produtor se o mercado está em
equilíbrio. Resposta : R$ 360,00 e R$ 27,
- A função de demanda para certa mercadoria é y = 100 - 4x e supondo-se que o preço
de equilíbrio é R$ 8,00 , determine o excedente do consumidor e represente
graficamente a região cuja área determina o excedente do consumidor. Resposta :
R$ 1.058,
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
- Represente graficamente e determine a área A sob o gráfico de f(x) para a £ x £ b, ou
seja, calcular a integral ∫ 𝑓(𝑥)
,
a) f(x) = 4x 0 £ x £ 7 Resposta : A = 98
b) f(x) = 3x
2
0 £ x £ 4 Resposta : A = 64
c) f(x) = 4x
2
0 £ x £ 3 Resposta : A = 36
d) f(x) = x
3
0 £ x £ 3 Resposta : A =
2$
3
- Represente graficamente e calcule a área da região sob o gráfico de f(x) = x
2
entre x = 0 e x = 2. Resposta :
50
1
- Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x
2
o eixo x no intervalo [0 ; 4]. Resposta :
32
1
- Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = 5x – x
2
e
o eixo x no intervalo [0;7]. Resposta :
67
/
- Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = 3x e y
= x
2
. Resposta :
A
/
- Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = 4x–x
2
e
y = 2x
2
Resposta : 32
- Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = x
2
pelo eixo dos x e pelas retas x = - 1 e x = 2. Resposta : 9
- Determinar a área das seguintes regiões, utilizando integral definida, representadas
nos gráficos a seguir:
a) b)
Resposta : 𝟓√𝟑
Resposta : 15
- Represente graficamente e calcule a área sob o gráfico de f(x) = 100 - x
2
no intervalo
[0 , 10].
Resposta :
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑
- Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x
2
e o eixo x no intervalo [0 , 5].
Resposta :
/
1
, pois: A 1
3
1
, A
2
3
1
e A 3
/+
1
- Represente geometricamente e calcule a área A sob o gráfico da função f(x) =
$
1
1
entre x = - 1 e x = 2.
Solução :
Um traçado do gráfico de f (figura ao lado)
mostra que ela está abaixo do eixo x no
intervalo [-1, 0]. Não podemos calcular A
simplesmente calculando ∫
$
1
1
/
.$
𝑑𝑥, já que
a área abaixo do eixo de x proporciona uma
contribuição negativa para esta integral.
Entretanto, dividindo o intervalo [-1, 2] em
dois subintervalos, podemos facilmente
calcularmos a sua área: 𝐴 = ∫
$
1
1
.$
$
1
1
/
