Integrais múltiplas: duplas e triplas, Slides de Cálculo Diferencial e Integral

Baixe Integrais múltiplas: duplas e triplas e outras Slides em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!

AULA : INTEGRAIS MÚTIPLAS: DUPLAS

E TRIPLAS

PROF: Dr. JOELSON A DELFINO

➢ INTEGRAL DEFINIDA

( ) ( )  

=

→

= 

n

i 1

i i n

b

a

f x dx lím f x x

INTEGRAL DUPLA

k

 y

k

 x . k k k

 A =  x  y

INTEGRAL DUPLA

1

lim ( , ) ( , )

n

k k n

k (^) R

f x y x y V f x y dxdy

 

→+

  = =  (^) 

( ,^ ). k k k k

VA = f x y  A

( )

: 2

R

EX x − y dxdy 

( )

4 3 2 2

4 R

x x y dxdy xy dy

 

− = −  

 

 

( )

4 2

3 2 2..

4 2 R

x y

x − y dxdy = y − x 

( )

4

3 2

4 R

x x − y dxdy = y − x y 

INTEGRAL DUPLA

PROPRIEDADES

I – Existência : Se g uma função

contínua sobre uma região R, então a

função g é integrável sobre R,



R

g(x,y) dxdy

II – Área: Se k é uma constante e R

uma região de área A, então



=

R

k dxdy kA

.

INTEGRAL DUPLA POR

ITERAÇÃO

Z = (x, y) f

V

R

a b

x = g(y)

x = h(y)

y y

z

O

x

B

A

C

D

  

=

b

a

h(y)

g(y)

R

f(x,y)dxdy f(x,y) dxdy

INTEGRAL DUPLA POR ITERAÇÃO

2 : cos ; :1 4

2 R

EX x xy dxdy R x e y

x

      

4 2

1 2

( , ) cos

y x

y R

f x y dxdy x xy dy dx





=

=

  = (^)  

 

  

CALCULANDO A INTEGRAL EM RELAÇÃO A Y

(^2 )

2 2

cos

y x (^) x

y y

x xy dy sen xy

 

 

=

= =

= 

2

2

cos 2 2

y x

y

x xy dy sen sen x





 

=

=

= − 

2

2

cos 2

2

y x

y

x xy dy sen sen x





 

=

=

= − 

4

1

( , )

2 R

x f x y dxdy sen dx

   = = −    

( ) (^) ( ( ))  

cos ax b dx sen ax b C

a



INTEGRAL

TRIPLA

INTEGRAL DUPLA

INTEGRAL TRÍPLA

INTEGRAL TRÍPLA

( , , ) lim ( , , )

n

i i i i

S i

V g x y z dV g    V

→

 

( , ) lim ( , )

n

k k n R k

V g x y dxdy g x y x y

 

INTEGRAL TRÍPLA POR ITERAÇÃO

( ) ( ) ( )

( )

2 1 1

0 0

x

S

x y x y z dx dydz x x y y x y dy dx

− ^ ^ − −  

+ + = ^  − − + − − + − 

  

( )

1 1 2 2

0 0

2 2 2

x

S

x y x y z dx dydz xy dy dx

 −   

• • = (^)   − − −    ^  

  

( )

(^1 2 2 )

0 0

2 2 2 6

[

y x

y S

x y xy y x y z dx dydz y dx

= −

=

 (^)   

• • = (^)   − − −  

  

 

( )

1 3

0

11 2 S^6

x x y z dx dydz x dx

 

• • = (^)  − +   

 

( )

1 3

0

S^6

x x y z dx dydz x dx

 

( )

4 2 1

0

11 7

.. 6 24 8

[

S

x x y z dx dydz x x u v

 

• • = (^)  − + (^)  =

 



Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x

+

y

= 16, pelo plano x + y + z = 8 e pelo plano xy.

x

4

-4 (^4) y

z

2

2

4 16 8

4 16 0

x x y

x

V dz dy dx

− − −

− − −

  

( )

2 2

2 2

8 4 16 4 16

4 16 0 4 16

8 0

x y x x

x x

z dy dx x y dy dx

− − − −

− − − − − −

=  − − −       

2 2

2 2

16 (^4 16 8 4 )

4 16 0 4 16

1 8 2

x x x y

x x

dz dy dx x y y dx

− − − −

− − − − − −

  = (^)  − −   

   

( )

2

2

(^4 16 8 4 )

4 16 0 4

2 8 16

x x y

x

dz dy dx x x dx

− − −

− − − −    =^  −^ −

I II

( )

(^4 2 )

4 4

16 16 x dx 16 x 2 x dx

− −

 

( )

(^4 ) 4

I 16 x dx −

 −^ =

( ) − −

− =     

4 4

4 4

I 16 16 x²dx 16 4cos .4cos d

− −  −^ =^  ^ 

(^4 4 )

4 4

16 16 x²dx 256 cos d

4 4

4 4

1 1 16 16 ² 256 .cos 2 2

x dx sen    − −

  − = (^)  +   



1 1 ( 1 ) 2 cos cos. cos.

n n n n x dx x senx x dx n n

− − −  =^ + 

4 4 4 4

1 16 ² 1 1 16 16 ² 256.. 2 4 4 2 4

x x x dx arc sen x − −

 (^)   −  − = (^)  (^)   +   ^  



2

4

4cos

16 4cos

Sabendo x sen

dx d

x



 



=

=

− =

( ) (^)   ( )

( )

0 128. 1 0 128. 1

1. 128 128 2 2

I arc sen arc sen

I

  

= + −  + − 

  = − (^)  − (^) =  

( )

4 4

4 4

1 16 16 ² 8 16 ² 128. 4

I x dx x x arc sen x − −

^ −^ =^ −^ +

4 4 4 4

1 1 16 16 ² 256. 16 ². 32 2 4

x x dx x arc sen x − −

  − = (^)  − +   



CALCULANDO (^) ( I )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 2 2 2 2 2 2 4

1 1 8 16 16 8 16 16 2 2

x x x x x x dx −

    = (^)  − − − − (^)  − (^)  − − − − − −      

BOM

ESTUDO

QUE DEUS ABENÇOE A

VOCÊS E TODA SUA FAMÍLIA

HOJE E SEMPRE