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Capítulo 5
INTEGRAIS
5.1 Integrais sobre Trajetórias
Sejam f : R^3 −→ R e γ : [a, b] −→ R^3 uma parametrização da curva C de classe C^1 , tais que
f ◦ γ : [a, b] → R
é uma função contínua.
Definição 5.1. A integral de f ao longo de γ é denotada e definida por:
C
f =
∫ (^) b
a
f (γ(t)) ‖γ′(t)‖ dt
A definição é valida se γ é C^1 por partes ou f ◦γ é contínua por partes. De fato, subdividamos o
intervalo original num número finito de subintervalos fechados tal que f (γ) ‖γ′‖ é uma função
contínua em cada subintervalo. Consideremos a = t 0 < t 1 < ........ < tn = b a partição tal que
γi é a restrição de γ ao subintervalo Ii = [ti, ti+1]. Denotando por Ci = γi(Ii), temos:
C
f =
C 1
f +
C 2
f +...... +
Cn
f.
Esta integral é a generalização natural do comprimento de arco para curvas. Se f (x, y, z) = 1
para todo (x, y, z), a integral de linha é o comprimento de arco da curva C.
C
∫ (^) b
a
‖γ′(t)‖dt.
Se C é uma curva plana parametrizada por γ e f (x, y) ≥ 0 , a integral de f ao longo de γ
representa a área da "cerca"de base C e altura f ◦ γ, em cada (x(t), y(t)) ∈ γ.
124 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
γ
f( γ )
z
y
x
Figura 5.1: "Cerca"de base C.
Exemplo 5.1.
[1] Calcule
γ
f se γ(t) = (t^2 , t^3 , 0) tal que t ∈ [− 1 , 1] e f (x, y, z) = 1 + x y z.
f (γ(t)) = f (t^2 , t^3 , 0) = 1, γ′(t) = (2 t, 3 t^2 , 0) e ‖γ′(t)‖ = t
4 + 9 t^2 , logo:
∫
γ
f =
− 1
t
4 + 9 t^2 dt =
Figura 5.2: Exemplo [1].
[2] Calcule
γ
f se γ(t) = (t, 3 t, 2 t) tal que t ∈ [1, 3] e f (x, y, z) = y z.
f (γ(t)) = f (t, 3 t, 2 t) = 6 t^2 , γ′(t) = (1, 3 , 2) e ‖γ′(t)‖ =
14 , logo:
∫
γ
f = 6
1
t^2 dt = 52
[3] Calcule
γ
f se γ(t) = (1, 2 , t^2 ) tal que t ∈ [0, 1] e f (x, y, z) = e
√ z (^).
f (γ(t)) = f (1, 2 , t^2 ) = et, γ′(t) = (0, 0 , 2 t) e ‖γ′(t)‖ = 2 t; logo:
∫
γ
f = 2
0
t et^ dt = 2.
126 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
i
0
i+
γ n
γ
γ
γ
x
z
y
Figura 5.3:
Se n é grande (n → +∞), a poligonal aproxima-se da curva C = γ(I), ∆ti = ti+1 − ti é pequeno
e o deslocamento da partícula de γi até γi+1 é aproximado pelo vetor:
~vi = γi+1 − γi.
γ 0
γ n
∆ ti
v
γ i+
γ i
’ (^) γ i
x
z
y
Figura 5.4:
Para n grande, da definição de vetor tangente:
v ~i ∼= γ
′ i ∆ti.
Por outro lado, F (γ(t)) é quase constante no intervalo [ti, ti+1] e:
F (γi) · v~i ∼= F (γi) · γ
′ i ∆ti.
A soma de Riemann:
Wn(F ) =
∑^ n
i=
F (γi) · γ
′ i ∆ti
5.2. INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS DE VETORES 127
é uma boa aproximação do trabalho total realizado pela força F para deslocar a partícula; então,
é natural definir o trabalho realizado por F para deslocar a partícula ao longo de C de γ(a) = A
até γ(b) = B por:
W (F ) = lim |∆ti|→ 0
∑^ n
i=
F (γi) · γ
′ i ∆ti,
que é a integral de Riemann da função contínua (F ◦ γ)(t) no intervalo [a, b]; então:
W (F ) =
∫ (^) b
a
F (γ(t)) · γ
′ (t) dt,
se o limite existe. É possível provar que se o limite existe, independe da escolha da partição e
da parametrização.
Sejam F : A ⊂ Rn^ −→ Rn^ um campo de vetores contínuo e γ : [a, b] −→ Rn^ uma parame-
trização da curva C de classe C^1 tal que γ
[a, b]
⊂ A e F ◦ γ : [a, b] −→ Rn^ seja uma função
contínua.
Definição 5.2. A integral de linha de F ao longo de C é denotada e definida por:
∫
C
F =
∫ (^) b
a
F (γ(t)) · γ′(t) dt
onde F (γ(t)) · γ′(t) é o produto escalar em Rn^ dos vetores F (γ(t)) e γ′(t).
A definição é valida se F ◦ γ é contínua por partes. A integral de linha de F ao longo de C
poder ser calculada como uma integral de trajetória para uma f apropriada. De fato, seja ~t(t)
o vetor tangente unitário a γ(t), que suporemos não nulo para todo t; então:
f (γ(t)) = F (γ(t)) · ~t(t) = F (γ(t)) ·
γ′(t)
‖γ(t)‖
que é a componente de F tangente à curva, ou equivalentamente, a componente de F é a
projeção de F sobre o vetor tangente unitário à curva; logo:
∫
C
F =
∫ (^) b
a
F (γ(t)) ·
γ′(t)
‖γ(t)‖
‖γ
′ (t)‖ dt.
Notações
É comum usar as seguintes notações:
No Espaço
Sejam F 1 , F 2 e F 3 as componentes do campo F e a curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)); então:
F (γ(t)) · γ′(t) = F 1 (γ(t))
dx
dt
dy
dt
dz
dt
logo: ∫
C
F =
C
F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz =
∫ (^) b
a
F 1 (t) dx + F 2 (t) dy + F 3 (t) dz
5.2. INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS DE VETORES 129
Logo, t = 0 e t =
π
6
. Então, a parametrização da curva é: γ(t) = (3 cos(t), 3 sen(t)), 0 ≤ t ≤
π
6
x
y
Figura 5.6: Exemplo [2].
O vetor tangente a γ é γ′(t) = 3 (−sen(t), cos(t)), F (γ(t)) =
(−sen(t), cos(t)); logo temos que
F (γ(t)) · γ′(t) = 1; então: ∫
C
F =
∫ π 6
0
dt =
π
6
[3] Calcule
C
cos(z) dx + ex^ dy + ey^ dz, se C é dada por:
γ(t) = (1, t, et), 0 ≤ t ≤ 2.
0.0 0. 1.0 1.
2
4
6
Figura 5.7: γ do exemplo [3].
Temos
dx
dt
dy
dt
= 1 e
dz
dt
= et, logo:
C
cos(z) dx + e
x dy + e
y dz =
0
(0 + e + e
2 t )dt = 2 e +
e^4
2
130 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
[4] Calcule
C
sen(z) dx + cos(z) dy − 3
x y dz, onde C é a curva parametrizada por:
γ(t) = (cos
3 (t), sen
3 (t), t), 0 ≤ t ≤
7 π
2
Figura 5.8: γ do exemplo [4].
Temos
dx
dt
= − 3 cos
2 (t) sen(t),
dy
dt
= 3 sen
2 (t) cos(t) e
dz
dt
= 1, logo:
∫
C
sen(z) dx + cos(z) dy − 3
x y dz = −
∫ 7 π 2
0
cos(t) sen(t)
dt = −
[5] Calcule
C
x^2 dx + x y dx + dz, se C é dada por γ(t) = (t, t^2 , 1), 0 ≤ t ≤ 1.
Figura 5.9: γ do exemplo [5].
F (x, y, z) = (x^2 , x y, 1), F (γ(t)) = F (t, t^2 , 1) = (t^2 , t^3 , 1) e γ′(t) = (1, 2 t, 0); então:
132 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
Figura 5.11: Gráficos de C+^ e C−, respectivamente.
No espaço:
Figura 5.12: Gráficos de C+^ e C−, respectivamente.
Exemplo 5.3.
[1] Seja C o segmento de reta ligando a origem e o ponto (1, 1); então C pode ser parametrizado
por:
γ : [0, 1] −→ R^2 tal que γ(t) = (t, t).
Fazendo h(t) = 1 − t, então γ−(t) = γ(h(t)) = (1 − t, 1 − t), γ−(0) = (1, 1) e γ−(1) = (0, 0)
1
1
1
1
Figura 5.13: Gráficos de C+^ e C−, respectivamente.
5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 133
[2] Seja C o círculo unitário; então C pode ser parametrizado por:
γ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2 π];
fazendo h(t) = 2 π − t, então:
γ−(t) = γ(h(t)) = (cos(2 π − t), sen(2 π − t)) = (cos(t), −sen(t)).
Note que γ′(t) = (−sen(t), cos(t)) e γ′−(t) = (−sen(t), −cos(t)).
Figura 5.14: Gráficos de C+^ e C−, respectivamente.
A escolha de um sentido para o vetor tangente a uma curva é chamada orientação da curva;
logo, toda curva diferenciável tem duas possíveis orientações. De fato, Seja C uma curva dife-
renciável parametrizada por γ = γ(t), t ∈ [a, b]. Podemos definir o campo (contínuo) tangente
unitário, por:
T (p) =
γ′(t)
‖γ′(t)‖
onde γ(t) = p, t ∈ (a, b) e tal que lim t→a+^
T (p) e lim t→b−^
T (p) existem. No caso de uma curva fechada,
estes limites devem ser iguais.
−T também é uma orientação de C; por continuidade, temos que uma curva possui duas ori-
entações possíveis. As mudanças de orientação são refletidas na integral de linha.
Teorema 5.1. Sejam F um campo de vetores, C uma curva de classe C^1 com parametrização γ tal que
F ◦ γ é contínua e σ uma reparametrização de C_._
1. Se σ preserva orientação e σ(I) = L , então:
C
F =
L
F
2. Se σ inverte orientação, então: ∫
C
F = −
L
F
5.3. INTEGRAIS DE LINHA E REPARAMETRIZAÇÕES 135
Exemplo 5.4.
[1] Calcule
C
F , onde F é o campo de quadrado inverso e C é parametrizada por:
γ(t) =
( (^) t^4
4
, sen
π t
, t ∈ [1, 2].
Sabemos que F é um campo gradiente com potencial f (x, y, z) =
−k √ x^2 + y^2 + z^2
; por outro
lado P = γ(1) =
e Q = γ(2) = (4, 0 , 0); logo:
C
F = f (4, 0 , 0) − f
15 k
4
[2] Sejam F (x, y) = (x^2 , x y) e C a curva formada pelo arco de parábola y = x^2 , 0 ≤ x ≤ 1 e
pelo segmento de reta que liga (1, 1) e (0, 0). Calcule
C
F.
1
1
Figura 5.15: Exemplo [2].
A curva C admite uma decomposição em 2 curvas C 1 e C 2 , com parametrizações dadas por
γ 1 (t) = (t, t^2 ) e γ 2 (t) = (1 − t, 1 − t), 0 ≤ t ≤ 1 , então:
∫
C
F =
C 1
F +
C 2
F =
C 1
F −
C 2 −
F =
C
F =
0
(−t
2
4 ) dt =
onde γ
− 2 (t) = (t, t),^0 ≤^ t^ ≤^1.
[3] Seja F o campo radial de quadrado inverso, para k = − 1. Calcule:
C
F , onde C é a curva
obtida pela interseção das superfícies x^2 + y^2 = 1 e z = 4.
A superfície x^2 + y^2 = 1 é um cilindro circular reto; logo a interseção do cilindro com o plano
z = 4 é um círculo de raio 1 , que pode ser parametrizado por
γ(t) = (cos(t), sen(t), 4), t ∈ [0, 2 π].
136 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
0
1
0
1
0
2
4
6
Figura 5.16: Exemplo [3].
γ′(t) = (−sen(t), cos(t), 0) e F (γ(t)) · γ′(t) = 0; então
C
F = 0.
[4] Seja F (x, y) = (x y, x^2 ). Calcule
C
F , onde C é a seguinte curva:
1
1
Figura 5.17: Exemplo [4].
Parametrizamos a curva por 5 segmentos de reta:
γ
1 (t) = (0,^2 t^ −^ 1),^ γ
2 (t) = (t,^ 1)^ γ
3 (t) = (1^ −^ t,^1 −^ t),^ γ
4 (t) = (t,^ −t)^ e γ 5 + (t) = (1 − t, −1), t ∈ [0, 1].
Então: (^) ∫
C
F =
C 1 +
F +
C 2 +
F +
C 3 +
F +
C 4 +
F +
C 5 +
F,
donde obtemos:
∫
C
F =
0
0 dt +
0
t dt − 2
0
(1 − t)
2 dt − 2
0
t
2 dt +
0
(1 − t) dt = −
[5] Determine o trabalho realizado pela força F (x, y) =
x + 2
y + 3
para deslocar uma par-
tícula ao longo da trajetória C dada por:
138 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
Figura 5.19: Exemplo [6].
Parametrizamos a curva C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 por γ, β, η : [0, 1] −→ R^2 , onde γ(t) = (t, 0 , 0),
β(t) = (1, t, 0) e η(t) = (1, 1 , t). Por outro lado γ′(t) = (1, 0 , 0), β′(t) = (0, 1 , 0) e η′(t) = (0, 0 , 1);
F (γ(t)) = (t^2 , 0 , 0), F (β(t)) = (1 + t, 0 , 0) e F (η(t)) = (2, −t, t^2 ); então: ∫
C
F = 2
0
t^2 dt =
[7] Calcule
C
F , onde F (x, y, z) = (x, y, z) e C é a curva obtida pela interseção das superfícies
x^2 + y^2 − 2 y = 0 e z = y.
0
1
2
x
0
1
2
y
0
1
2
z
Figura 5.20: Exemplo [7].
A superfície definida por x^2 + y^2 − 2 y = 0 é um cilindro circular reto de raio igual a 1 ; de fato,
x^2 + y^2 − 2 y = x^2 + (y − 1)^2 − 1 e z − y = 0 é um plano passando pela origem. A interseção é a
solução do sistema: (^) {
x^2 + y^2 − 2 y = 0
y = z,
donde obtemos a curva fechada x^2 + (z − 1)^2 = 1. O campo F é conservativo, com potencial
f (x, y, z) =
(x
2
2
2 ); logo: ∮
C
F = 0.
5.4. APLICAÇÃO 139
5.4 Aplicação
Seja F um campo de vetores contínuo que representa a força que move uma partícula ao longo
de uma curva C de classe C^2 , parametrizada por γ = γ(t), t ∈ [a, b] e tal que γ(a) = A e
γ(b) = B. Pela segunda lei de Newton, a força F agindo ao longo de C é dada por:
F (γ(t)) = m γ′′(t),
onde m é a massa da partícula; logo o trabalho realizado pela partícula é:
W =
C
F =
∫ (^) b
a
m γ′′(t) · γ′(t) dt =
m
2
∫ (^) b
a
d
dt
γ′(t) · γ′(t)
dt =
m
2
∫ (^) b
a
d
dt
‖γ′(t)‖^2 dt,
aplicando o teorema fundamental do cálculo:
W =
m
2
‖γ
′ (b)‖
2 − ‖γ
′ (a)‖
A energia cinética de uma partícula Q de massa m é dada por K(Q) =
m
2
‖v
′ (t)‖
2 , onde v = v(t)
é a velocidade da partícula; logo,
(3) W = K(B) − K(A).
Se F é um campo gradiente, isto é, F = ∇f , para alguma f de classe C^1 , a energia potencial de
uma partícula Q é P (Q) = −f (Q); logo, F = −∇P ; então:
(4) W =
C
F = −
C
∇P = −
P (B) − P (A)
De (3) e (4), temos:
P (A) + K(A) = P (B) + K(B).
Logo, se uma partícula se move de um ponto A ao ponto B, com um campo de força conserva-
tivo, a soma da energia potencial e da cinética permanece constante. Isto é conhecido como lei
da conservação da energía mecânica. O resulatado anterior pode ser estendido para sistemas
compostos por um número N de partículas como gases, fluidos, etc.
5.5 Exercícios
- Calcule
C
f , onde:
(a) f (x, y) = 2 x y^2 e C é parametrizada por γ(t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤ t ≤
π
2
(b) f (x, y) = x^2 + y^2 e C é o círculo x^2 + y^2 = 4 de A = (2, 0) a B = (0, 2).
(c) f (x, y) = x^2 + y^2 e C é a reta que liga os pontos A = (2, 0) a B = (0, 2).
(d) f (x, y) =
x^2 − y^2
x^2 + y^2
e C é o círculo x^2 + y^2 = 4 de A = (2, 0) a B = (− 1 ,
5.5. EXERCÍCIOS 141
- Verifique que
C
F é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirma-
tivo:
(a) F (x, y) = (3 x^2 y, x^3 + 4 y^3 )
(b) F (x, y) = (2 x sen(y) + 4 ex, cos(y))
(c) F (x, y) = (− 2 y^3 sen(x), 6 y^2 cos(x) + 5)
(d) F (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y)
(e) F (x, y, z) = (y sec^2 (x) − z ex, tg(x), −ex)
(f) F (x, y, z) = (2 x x + y^2 , 2 x y + 3 y^2 , ez^ + x^2 ))
- Determine as constantes para que as integrais sejam independentes do caminho:
(a)
C
(y
2 − x y) dx + k (x
2 − 4 x y) dy.
(b)
C
(a z
2 − y
2 sen(x)) dx + b y cos(x) dy + x z dz.
- Seja F (x, y) = (x^2 y, y^2 ) e a curva C formada pela reunião dos segmentos de reta C 1 , C 2 ,
C 3 e C 4 , como na figura:
1 2 3 4
1
2
3
C 1
C 2
C
C
3
4
Figura 5.21:
(a) Parametrize a curva.
(b) Calcule
C
F.
142 CAPÍTULO 5. INTEGRAIS
