Introdução à Álgebra, Notas de estudo de Matemática

Baixe Introdução à Álgebra e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual

Curso de Licenciatura em Matem´atica

Introduc¸ ˜ao a` A´lgebra

Prof. Lenimar Nunes de Andrade

e-mail: [email protected] vers˜ao 1.0 – 22/fevereiro/ 2010

• 1 Operac¸ ˜oes bin´arias
  • 1.1 Introduc¸ ˜ao
  • 1.2 Definic¸ ˜oes
  • 1.3 Exemplos de operac¸ ˜oes
  • 1.4 Propriedades das operac¸ ˜oes
  • 1.5 Exerc´ıcios propostos
• 2 Grupos
  • 2.1 Introduc¸ ˜ao
  • 2.2 Definic¸ ˜oes
  • 2.3 Exemplos
  • 2.4 Grupos de classes de restos
  • 2.5 Grupos de permutac¸ ˜oes
  • 2.6 Propriedades
  • 2.7 Subgrupos
  • 2.8 Homomorfismos de grupos
  • 2.9 N´ucleo de um homomorfismo
  • 2.10 Isomorfismos de grupos
  • 2.11 Potˆencias e m´ultiplos
  • 2.12 Grupos c´ıclicos
  • 2.13 Classes laterais
  • 2.14 Subgrupos normais
  • 2.15 Grupos quocientes
  • 2.16 Grupos diedrais
    • 2.16.1 Rotac¸ ˜oes e reflex˜oes
    • 2.16.2 Simetrias de um quadrado
    • 2.16.3 Simetrias de um triˆangulo equil´atero
    • 2.16.4 Grupos diedrais e isomorfismos
  • 2.17 Exerc´ıcios propostos
• 3 An´eis
  • 3.1 Introduc¸ ˜ao
  • 3.2 Definic¸ ˜ao e exemplos
  • 3.3 Propriedades
  • 3.4 Suban´eis
  • 3.5 An´eis comutativos
  • 3.6 An´eis com unidade
  • 3.7 An´eis de integridade e corpos
  • 3.8 Homomorfismo de an´eis
  • 3.9 Isomorfismo
  • 3.10 Ideais
  • 3.11 An´eis-quocientes
  • 3.12 Exerc´ıcios propostos
• 4 Polinˆomios
  • 4.1 Introduc¸ ˜ao
  • 4.2 Sequˆencias e polinˆomios sobre um anel
  • 4.3 Proposic¸ ˜oes b´asicas
  • 4.4 Grau de um polinˆomio
  • 4.5 Imers˜ao de A em A[x]
  • 4.6 Notac¸ ˜ao usual
  • 4.7 Divis˜ao em A[x]
  • 4.8 Ra´ızes de polinˆomios
  • 4.9 Polinˆomios sobre um corpo
  • 4.10 Polinˆomios irredut´ıveis
  • 4.11 Func¸ ˜oes polinomiais
  • 4.12 Exerc´ıcios propostos

Cap´ıtulo 1

Operac¸ ˜oes bin´arias

1.1 Introduc¸ ˜ao

O conceito de operac¸ ˜ao ´e dos mais b´asicos em Matem´atica. Desde os primeiros anos de escola que ouvimos falar de operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao, multiplicac¸ ˜ao, divis˜ao, etc. A formalizac¸ ˜ao desse conceito est´a nas sec¸ ˜oes a seguir. Uma operac¸ ˜ao bin´aria ´e uma regra que permite associar dois elementos de um conjunto com um terceiro elemento. Pode ter v´arias propriedades tais como comu- tatividade, associatividade, elemento neutro, entre outras. Dado um conjunto e uma operac¸ ˜ao definida nele:

• A ordem dos elementos ´e importante para a operac¸ ˜ao?
• Se a operac¸ ˜ao for usada mais de uma vez em determinada express˜ao, ent˜ao sempre devemos comec¸ar a operar com os primeiros elementos ou podemos comec¸ar tamb´em pelos ´ultimos elementos?
• Dada uma operac¸ ˜ao em um conjunto, existe algum elemento que tenha propri- edades especiais?
• E poss´´ ıvel inverter todos os elementos do conjunto de acordo com a operac¸ ˜ao definida nele?

1.2 Definic¸ ˜oes

Definic¸ ˜ao 1.1. Consideremos A um conjunto n˜ao vazio. Uma opera¸c˜ao bin´aria sobre A e uma func´ ¸ ˜ao f : A × A −→ A. ´E comum denotar-se o valor gen´erico f (x, y) de uma operac¸ ˜ao por x ∗ y (lˆe-se: “x estrela y”).

Dessa forma, uma operac¸ ˜ao bin´aria sobre um conjunto A ´e uma lei que associa a cada par (x, y) um ´unico elemento x ∗ y ∈ A. O elemento x ∗ y chama-se composto de x e y, x e denominado´ primeiro termo ou termo da esquerda e y e o´ segundo termo ou termo da direita.

Definic¸ ˜ao 1.2 (Propriedade associativa). Dizemos que ∗ e uma operac´ ¸ ˜ao associativa quando x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z para quaisquer x, y, z ∈ A.

Exemplo 1.7. A adic¸ ˜ao ´e uma operac¸ ˜ao associativa sobre é porque x + (y + z) = (x + y) + z para quaisquer x, y, z ∈ é. A adic¸ ˜ao tamb´em ´e associativa sobre os conjuntos ö, ë, í e É.

Exemplo 1.8. A multiplicac¸ ˜ao ´e associativa sobre é porque x · (y · z) = (x · y) · z para quaisquer x, y, z ∈ é. A multiplicac¸ ˜ao tamb´em ´e associativa sobre os conjuntos ö, ë, í e É.

Exemplo 1.9. A adic¸ ˜ao e a multiplicac¸ ˜ao de matrizes de Mn×n(í) tamb´em s˜ao asso- ciativas.

Exemplo 1.10. A composic¸ ˜ao de func¸ ˜oes de í em í e associativa porque´ f ◦(g◦h) = ( f ◦ g) ◦ h para quaisquer f, g, h ∈ íí.

Exemplo 1.11. A potenciac¸ ˜ao sobre é∗^ = { 1 , 2 , 3 , · · · } n˜ao ´e associativa porque, por exemplo, 4(3^2 )^ , (4^3 )^2. Note que 4(3^2 )^ = 49 e (4^3 )^2 = 46.

Exemplo 1.12. A operac¸ ˜ao de divis˜ao sobre ë+^ = {x ∈ ë|x > 0 } n˜ao ´e associativa porque, por exemplo, 4 = 8 : (4 : 2) , (8 : 4) : 2 = 1.

Exemplo 1.13. Denotando por í^3 o espac¸o tridimensional, a operac¸ ˜ao de produto vetorial em í^3 n˜ao ´e associativa porque, por exemplo,

~i × (~i × ~j ︸︷︷︸ ~k

−~j

, ( (^) ︸︷︷︸~i ×~i ~ 0

) × ~j ︸ ︷︷ ︸ ~ 0

Observac¸ ˜ao. Quando uma operac¸ ˜ao ´e associativa, n˜ao h´a necessidade de parˆenteses ao escrevermos o composto de mais de dois elementos. Por exemplo, faz sentido escrevermos 2 + 3 + 5 porque tanto faz calcularmos (2 + 3) + 5 ou 2 + (3 + 5) que d˜ao o mesmo resultado. No entanto, n˜ao faz sentido escrever algo como 25 : 5 : 5, porque, dependendo da ordem com que as divis˜oes s˜ao feitas, o resultado pode ser 25 ou 1.

Definic¸ ˜ao 1.3 (Propriedade comutativa). Dizemos que ∗ ´e uma operac¸ ˜ao comutativa quando x ∗ y = y ∗ x para quaisquer x, y ∈ A.

Exemplo 1.14. A adic¸ ˜ao em é e uma operac´ ¸ ˜ao comutativa porque x + y = y + x para quaisquer x, y ∈ é. A adic¸ ˜ao tamb´em ´e comutativa em outros conjuntos tais como ö, ë, í, É e Mm×n(í).

Exemplo 1.15. A multiplicac¸ ˜ao em é e comutativa porque´ x·y = y· x para quaisquer x, y ∈ é. A multiplicac¸ ˜ao tamb´em ´e comutativa em outros conjuntos num´ericos como ö, ë, í e É.

Exemplo 1.16. A potenciac¸ ˜ao em é∗^ n˜ao ´e comutativa porque, por exemplo, 2^5 = 32 e 5^2 = 25 o que implica 2^5 , 52.

Exemplo 1.17. A multiplicac¸ ˜ao em M 2 × 2 (í) n˜ao ´e comutativa porque [ 1 1 1 0

] [

]

[

]

[

] [

]

[

]

Exemplo 1.18. A composic¸ ˜ao de func¸ ˜oes de í em í n˜ao ´e comutativa, porque se f (x) = x^2 e g(x) = 3 x + 1, ent˜ao ( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 1) = (3x + 1)^2 e (g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x^2 ) = 3 x^2 + 1. Portanto, f ◦ g , g ◦ f.

Definic¸ ˜ao 1.4 (Elemento neutro). Dizemos que e ∈ A e um´ elemento neutro a es- querda para a operac¸ ˜ao ∗ definida em um conjunto A quando e ∗ x = x para todo x ∈ A. De modo an´alogo, dizemos que e ∈ A e um´ elemento neutroa direita para ∗ quando x ∗ e = x para todo x ∈ A. Se e e simultaneamente elemento neutro ´ a esquerda ea direita, ent˜ao dizemos simplesmente que e e´ elemento neutro para essa operac¸ ˜ao.

Observac¸ ˜ao. Se a operac¸ ˜ao for comutativa, ent˜ao o elemento neutro a esquerda tamb´em ´e elemento neutroa direita e vice-versa.

Exemplo 1.19. O n´umero 0 (zero) ´e o elemento neutro da adic¸ ˜ao em é porque x + 0 = x = 0 + x para todo x ∈ é. O zero tamb´em ´e o elemento neutro das adic¸ ˜oes em ö, ë, í e É.

Exemplo 1.20. O elemento neutro das multiplicac¸ ˜oes em é, ö, ë, í e É e o n´´ umero 1 (um) porque x · 1 = x = 1 · x para todo x nesses conjuntos.

Exemplo 1.21. O elemento neutro da multiplicac¸ ˜ao em M 2 × 2 (í) ´e a matriz identi-

dade

[

]

porque [ 1 0 0 1

] [

x y z w

]

[

x y z w

]

[

x y z w

] [

]

para quaisquer x, y, z, w ∈ í.

Exemplo 1.22. O elemento neutro da composic¸ ˜ao de func¸ ˜oes em íí^ e a func´ ¸ ˜ao identidade Ií definida por Ií(x) = x, porque Ií ◦ f = f = f ◦ Ií para toda f ∈ íí

Exemplo 1.23. A divis˜ao em ë∗^ admite 1 como elemento neutro a direita porque x : 1 = x para todo x ∈ ë. No entanto, a divis˜ao n˜ao possui elemento neutroa esquerda porque n˜ao existe e ∈ ë que seja fixo (independente de x) e que e : x = x para todo x ∈ ë.

Proposic¸ ˜ao 1.2. Se a opera¸c˜ao ∗ em A tem elemento neutro e, ´e associativa e um elemento x ´e invert´ıvel, ent˜ao o inverso de x ´e ´unico.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos x′^ e x′′^ elementos inversos de x. Como x ∗ x′^ = e, temos que x′′^ ∗ (x ∗ x′) = x′′^ ∗ e, ou seja, (︸︷︷︸x′′^ ∗ x e

) ∗ x′^ = x′′^ o que implica x′^ = x′′.

Logo, o inverso ´e ´unico. 

Proposic¸ ˜ao 1.3. Consideremos ∗ uma opera¸c˜ao com elemento neutro sobre A. Se x ´e invert´ıvel, ent˜ao o inverso x′^ tamb´em ´e invert´ıvel e (x′)′^ = x (ou seja, o inverso do inverso de x ´e igual ao pr´oprio x).

Demonstra¸c˜ao. Como x′^ ´e o inverso de x, temos x ∗ x′^ = e = x′^ ∗ x. Isso mostra que x′^ tamb´em ´e invert´ıvel e seu inverso ´e x. 

Proposic¸ ˜ao 1.4. Se ∗ e uma opera¸´ c˜ao em A que ´e associativa, tem elemento neutro e, x e y s˜ao dois elementos invert´ıveis, ent˜ao x ∗ y ´e invert´ıvel e (x ∗ y)′^ = y′^ ∗ x′.

Demonstra¸c˜ao. Devemos mostrar que (x ∗ y) ∗ (y′^ ∗ x′) = e e que (y′^ ∗ x′) ∗ (x ∗ y) = e:

• Usando duas vezes a propriedade associativa, temos: (x ∗ y) ∗ (y ︸︷︷︸′^ ∗ x′ z

) = x ∗ (y ∗

(y ︸︷︷︸′^ ∗ x′ z

)) = x ∗ (( ︸︷︷︸y ∗ y′ e

) ∗ x′) = x ∗ (e ∗ x′) = x ∗ x′^ = e.

• De modo an´alogo: (y′^ ∗ x′) ∗ (x ∗ y) = y′^ ∗ ((x′^ ∗ (x ∗ y)) = y′^ ∗ ((x′^ ∗ x) ∗ y) = y′^ ∗ (e ∗ y) = y′^ ∗ y = e.

Logo, y′^ ∗ x′^ e o inverso de´ x ∗ y. 

Definic¸ ˜ao 1.6 (Elementos regulares). Dizemos que um elemento a ∈ A ´e regular a esquerda com relac¸ ˜ao a uma operac¸ ˜ao ∗ sobre A quando para quaisquer x, y ∈ A temos que a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y. De modo an´alogo, dizemos que a ∈ A e´ regulara direita com relac¸ ˜ao a ∗ quando para quaisquer x, y ∈ A tivermos

x ∗ a = y ∗ a ⇒ x = y.

Se a for regular a esquerda ea direita, simultaneamente, ent˜ao dizemos simples- mente que a e regular.´

Exemplo 1.28. 2 ´e regular para a adic¸ ˜ao em ö porque

2 + x = 2 + y ⇒ x = y

para quaisquer x, y ∈ ö. Esse elemento tamb´em ´e regular com relac¸ ˜ao `a adic¸ ˜ao em outros conjuntos num´ericos como é, ë, í e É.

Exemplo 1.29. Considerando a operac¸ ˜ao de multiplicac¸ ˜ao em ö, temos que 2 ´e regular com relac¸ ˜ao a essa operac¸ ˜ao porque

2 · x = 2 · y ⇒ x = y

para quaisquer x, y ∈ ö. Note que 0 n˜ao ´e regular para essa operac¸ ˜ao porque 0 · 4 = 0 · 5, mas 4 , 5.

Definic¸ ˜ao 1.7 (Propriedade distributiva). Consideremos um conjunto A no qual est˜ao definidas duas operac¸ ˜oes ∗ e ∆.

• Dizemos que ∗ e´ distributiva `a esquerda com rela¸c˜ao a ∆ quando

x ∗ (y∆z) = (x ∗ y)∆(x ∗ z)

para quaisquer x, y, z ∈ A.

• Dizemos que ∗ e´ distributiva `a direita com rela¸c˜ao a ∆ quando

(y∆z) ∗ x = (y ∗ x)∆(z ∗ x)

para quaisquer x, y, z ∈ A. Quando ∗ for distributiva a esquerda ea direita com relac¸ ˜ao a ∆, ent˜ao diremos simplesmente que ∗ e distributiva com rela¸´ c˜ao a ∆.

Observac¸ ˜ao. Se ∗ for uma operac¸ ˜ao comutativa, ent˜ao a distributividade a esquerda ea direita, se ocorrerem, ocorrem simultaneamente.

Exemplo 1.30. Em í a multiplicac¸ ˜ao ´e distributiva com relac¸ ˜ao `a adic¸ ˜ao porque

x · (y + z) = x · y + x · z

e, como a multiplicac¸ ˜ao em í e comutativa, deduzimos a partir da igualdade anterior´ que (y + z) · x = y · x + z · x

para quaisquer x, y, z ∈ í.

Exemplo 1.31. Se E for um conjunto n˜ao vazio qualquer e A = ℘(E), ent˜ao a intersec¸ ˜ao de conjuntos em A e distributiva com relac´ ¸ ˜ao `a uni˜ao porque

X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z)

e (Y ∪ Z) ∩ X = (Y ∩ X) ∪ (Z ∩ X)

para quaisquer X, Y, Z ∈ A.

Se A = {{ 1 }, { 1 , 2 }, { 1 , 2 , 3 }, { 1 , 2 , 3 , 4 }}, ent˜ao a t´abua da operac¸ ˜ao de uni˜ao sobre A e:´

∪ { 1 } { 1 , 2 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 } { 1 } { 1 , 2 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 , 3 , 4 } { 1 , 2 , 3 , 4 }

Exemplo 1.35. Se A = { 1 , 2 , 3 , 6 }, ent˜ao a t´abua da operac¸ ˜ao mmc(x, y), o m´ınimo m´ultiplo comum de x e y, ´e:

mmc 1 2 3 6 1 1 2 3 6 2 2 2 6 6 3 3 6 3 6 6 6 6 6 6

1.5 Exerc´ıcios propostos

1)) Mostre que a operac¸ ˜ao usual de subtrac¸ ˜ao, definida sobre o conjunto dos n´umeros inteiros, n˜ao ´e comutativa, n˜ao ´e associativa e n˜ao tem elemento neutro.

2)) Consideremos a operac¸ ˜ao bin´aria ∗ definida em E = {a, b, c, d, e} de acordo com a seguinte t´abua:

• a b c d e a a b c b d b b c a e c c c a b b a d b e b e d e d b a d c a) Calcule a ∗ b, d ∗ d e [(c ∗ a) ∗ e] ∗ a a partir da t´abua; b) Calcule (a ∗ b) ∗ c e a ∗ (b ∗ c) a partir da t´abua. A partir desses resultados, ´e poss´ıvel concluir se a operac¸ ˜ao ´e associativa? c) Calcule (b ∗ d) ∗ c e b ∗ (d ∗ c) a partir da t´abua. A partir desses resultados, ´e poss´ıvel concluir se a operac¸ ˜ao ´e associativa?

3)) Consideremos dois inteiros dados a e b e a operac¸ ˜ao ∗ sobre ö definida por x ∗ y = ax + by para quaisquer x, y ∈ ö. Determine condic¸ ˜oes sobre a e b para que essa operac¸ ˜ao tenha a propriedade citada em cada um dos itens:

a) comutativa;

b) associativa;

c) comutativa e associativa; d) tenha elemento neutro.

4)) Verifique, em cada caso a seguir, se ∗ definida sobre í e comutativa, associativa´ ou se tem elemento neutro:

a) x ∗ y = x + y + x^2 y

b) x ∗ y = x + y − 3

c) x ∗ y = 3

x^3 + y^3

d) x ∗ y = |x||y|

e) x ∗ y = max(x, y)

5)) Verifique, em cada caso a seguir, se ∗, definida sobre í, o conjunto dos n´umeros reais positivos, ´e comutativa, associativa ou se tem elemento neutro:

a) x ∗ y = (^1) +xyxy

b) x ∗ y = 1 x++xyy

c) x ∗ y =

x^2 + y^2

2.2 Definic¸ ˜oes

Definic¸ ˜ao 2.1. Suponhamos que G seja um conjunto n˜ao vazio e ∗ uma operac¸ ˜ao sobre G. Dizemos que G e um´ grupo com relac¸ ˜ao `a operac¸ ˜ao ∗ quando forem verifi- cadas simultaneamente as seguintes propriedades:

• ∗ for associativa, ou seja, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z para quaisquer x, y, z ∈ G;
• ∗ possuir elemento neutro, ou seja, existir e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x para todo x ∈ G;
• todo elemento de G for invert´ıvel (simetriz´avel) com relac¸ ˜ao a ∗, ou seja, para todo x ∈ G, existe x−^1 ∈ G tal que x ∗ x−^1 = x−^1 ∗ x = e.

Se, al´em das trˆes propriedades acima, a operac¸ ˜ao ∗ for comutativa, ou seja, se x ∗ y = y∗ x para quaisquer x, y ∈ G, ent˜ao dizemos que G e um´ grupo abeliano ou um grupo comutativo com relac¸ ˜ao `a operac¸ ˜ao ∗.

Observac¸ ˜ao. Quando a operac¸ ˜ao ∗ puder ficar subentendida, podemos dizer sim- plesmente que “G ´e um grupo” no lugar de “(G, ∗) e um grupo”´ ou no lugar de “G ´e um grupo com a opera¸c˜ao ∗”.

Observac¸ ˜ao. Se G for um grupo com relac¸ ˜ao `a operac¸ ˜ao ∗, ent˜ao ele deve ser fe- chado com relac¸ ˜ao a essa operac¸ ˜ao, ou seja, para quaisquer x, y ∈ G, devemos ter tamb´em que x ∗ y ∈ G.

Observac¸ ˜ao. Quando a operac¸ ˜ao ∗ for uma adi¸c˜ao, ent˜ao diremos que G e um´ grupo aditivo; quando for uma multiplica¸c˜ao, diremos que ´e um grupo multiplicativo.

2.3 Exemplos

Exemplo 2.1. Consideremos o conjunto dos n´umeros inteiros ö com a operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao de inteiros. Temos as seguintes propriedades:

• x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ ö, ou seja, a operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao de inteiros ´e associativa;
• x + 0 = x e 0 + x = x, ∀x ∈ ö, ou seja, o 0 (zero) ´e o elemento neutro da adic¸ ˜ao de inteiros;
• x + (−x) = 0 e (−x) + x = 0, ∀x ∈ ö, ou seja, todo elemento x de ö possui um sim´etrico (inverso aditivo) que ´e o −x.

Devido as trˆes propriedades anteriores, dizemos que ö ´e um grupo com relac¸ ˜aoa adic¸ ˜ao de inteiros que ´e o mesmo que afirmar que (ö, +) ´e um grupo. Al´em das trˆes propriedades anteriores, temos tamb´em uma quarta propriedade que ´e a seguinte:

• x + y = y + x, ∀x, y ∈ ö, ou seja, a adic¸ ˜ao ´e comutativa.

Por causa dessas quatro propriedades anteriores, dizemos que (ö, +) ´e um grupo abeliano ou um grupo comutativo.

Exemplo 2.2. Obtemos resultados an´alogos se trocarmos no exemplo anterior ö por ë, í ou É. Ou seja, (ë, +), (í, +) e (É, +) tamb´em s˜ao grupos abelianos com relac¸ ˜ao a adic¸ ˜ao definidas nesses conjuntos. Note que o conjunto dos n´umeros naturais, é, n˜ao ´e um grupo com relac¸ ˜aoa adic¸ ˜ao porque um natural positivo x n˜ao possui sim´etrico −x que tamb´em pertenc¸a a esse conjunto.

Exemplo 2.3. Consideremos o conjunto dos racionais n˜ao nulos, ë∗, com a operac¸ ˜ao de multiplicac¸ ˜ao. As seguintes propriedades s˜ao verificadas:

• (x · y) · z = x · (y · z), ∀x, y, z ∈ ë∗;
• x · 1 = x · 1, ∀x ∈ ë∗;
• x · x−^1 = x−^1 · x = 1, ∀x ∈ ë∗, onde x−^1 = (^1) x.

Devido a essas propriedades, podemos afirmar que (ë∗, ·) ´e um grupo. Como a seguinte propriedade

• x · y = y · x, ∀x, y ∈ ë∗

tamb´em ´e v´alida, temos que (ë∗, ·) ´e um grupo abeliano. Note que ´e preciso que o 0 (zero) seja retirado do conjunto para poder ser v´alida a segunda propriedade anterior porque o 0 n˜ao tem inverso multiplicativo. Assim, (ë, ·) n˜ao ´e um grupo multiplicativo.

Exemplo 2.4. De modo semelhante ao exemplo anterior, temos que (í∗, ·) e (É∗, ·) tamb´em s˜ao grupos abelianos multiplicativos. Note que (ö∗, ·) n˜ao ´e um grupo multiplicativo porque os ´unicos elementos in- vert´ıveis de ö∗^ s˜ao 1 e −1.

Exemplo 2.5. Vamos denotar por Mm×n(í) o conjunto de todas as matrizes de or- dem m × n com elementos inteiros. Consideremos a operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao de matrizes definida por:     

a 11... a 1 n ...... ... am 1... amn

b 11... b 1 n ...... ... bm 1... bmn

a 11 + b 11... a 1 n + b 1 n ...... ... am 1 + bm 1... amn + bmn

A operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao assim definida ´e associativa (ou seja,(A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer A, B, C ∈ Mm×n(í)), possui elemento neutro que ´e a matriz nula

O =

Definic¸ ˜ao: Se (G, ∗) for um grupo em que G e um conjunto finito com´ n elementos, ent˜ao a ordem de G e definida como sendo o n´´ umero de elementos distintos de G e ´e denotada por |G| ou por o(G). Se o conjunto G for infinito, ent˜ao dizemos que, neste caso, a ordem de G ´e infinita.

Exemplo 2.7. Consideremos A = { 1 , − 1 } e a operac¸ ˜ao de multiplicac¸ ˜ao definida nesse conjunto. A t´abua de (A, ·) ´e a t´abua da sua multiplicac¸ ˜ao:

· 1 − 1 1 1 − 1 − 1 − 1 1

Neste caso, (A, ·) ´e um grupo abeliano de ordem 2, ou seja, |A| = 2.

Exemplo 2.8. Se V for um espac¸o vetorial, ent˜ao (V, +) ´e um grupo. Assim, todo exemplo de espac¸o vetorial tamb´em ´e um exemplo de grupo aditivo.

2.4 Grupos de classes de restos

Exemplo 2.9. Sendo n > 1 um inteiro, consideremos ön = { 0 ¯, 1 ¯,... , n − 1 } o con- junto das classes de restos m´odulo n em que

a¯ = {x ∈ ö | x − a e m´´ ultiplo de n} = {a + kn | k ∈ ö}.

Definimos em ön a seguinte operac¸ ˜ao de adic¸ ˜ao: ∀ x¯, y¯ ∈ ön, ¯x + y¯ = x + y. Essa operac¸ ˜ao assim definida possui as seguintes propriedades:

• ( ¯x + y¯) + z¯ = x + y + z¯ = (x + y) + z = x + (y + z) = x¯ + y + z = x¯ + (¯y + z¯) para quaisquer ¯x, y¯, ¯z ∈ ön; logo, a adic¸ ˜ao em ön e associativa.´
• x¯ + 0 ¯ = x + 0 = x¯ e ¯ 0 + x¯ = 0 + x = x¯, para todo ¯x ∈ ön; logo, a adic¸ ˜ao possui elemento neutro ¯0.
• x¯ + n − x = x + (n − x) = n¯ = 0 e¯ n − x + x¯ = (n − x) + x = n¯ = 0 para todo¯ x¯ ∈ ön; logo, todo elemento ¯x ∈ ön possui inverso aditivo n − x.
• x¯ + y¯ = x + y = y + x = y¯ + x¯ para quaisquer ¯x, y¯ ∈ ön; logo, a adic¸ ˜ao ´e comutativa.

Dessa forma, conclu´ımos que ön e um grupo abeliano aditivo de ordem´ n que ´e denominado grupo aditivo das classes de restos m´odulo n. Por exemplo, quando n = 5 temos ö 5 = { 0 ¯, 1 ¯, 2 ¯, 3 ¯, 4 ¯} onde

• 0 ¯ = { 5 k | k ∈ ö} = {... , − 15 , − 10 , − 5 , 0 , 5 , 10 , 15 ,... }
• 1 ¯ = { 1 + 5 k | k ∈ ö} = {... , − 14 , − 9 , − 4 , 1 , 6 , 11 , 16 ,... }

• 2 ¯ = { 2 + 5 k | k ∈ ö} = {... , − 13 , − 8 , − 3 , 2 , 7 , 12 , 17 ,... }
• 3 ¯ = { 3 + 5 k | k ∈ ö} = {... , − 12 , − 7 , − 2 , 3 , 8 , 13 , 18 ,... }
• 4 ¯ = { 4 + 5 k | k ∈ ö} = {... , − 11 , − 6 , − 1 , 4 , 9 , 14 , 19 ,... }

Observe que, neste caso,

5 ¯ = { 5 + 5 k | k ∈ ö} = {5 (k + 1) ︸ ︷︷ ︸ j

| k ∈ ö} = { 5 j | j ∈ ö} = 0 ¯

e tamb´em que ¯ 6 = 1, ¯¯ 7 = 2, ¯¯ 8 = 3, etc.¯ A t´abua de operac¸ ˜ao do grupo aditivo (ö 5 , +) ´e:

• 0 ¯ 1 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 0 ¯ 0 ¯ 1 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 1 ¯ 1 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 0 ¯ 2 ¯ 2 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 0 ¯ 1 ¯ 3 ¯ 3 ¯ 4 ¯ 0 ¯ 1 ¯ 2 ¯ 4 ¯ 4 ¯ 0 ¯ 1 ¯ 2 ¯ 3 ¯

Exemplo 2.10. Seja p um n´umero primo e ö∗ p = { 1 ¯, 2 ¯,... , p − 1 }. Consideremos nesse conjunto a seguinte multiplicac¸ ˜ao definida por ¯x · y¯ = x · y, ∀ x¯, y¯ ∈ ö∗ p. Essa operac¸ ˜ao possui as seguintes propriedades:

• ( ¯x · y¯) · ¯z = x · y · z¯ = (x · y) · z = x · (y · z) = x¯ · y · z = x¯ · (¯y · z¯) para quaisquer x¯, y¯, z¯ ∈ ö∗ p; logo, a multiplicac¸ ˜ao em ö∗ p ´e associativa.
• x¯ · 1 ¯ = x · 1 = x¯ e ¯ 1 · x¯ = 1 · x = x¯, para todo ¯x ∈ ö∗ p; logo, a multiplicac¸ ˜ao possui elemento neutro ¯1.
• x¯ · y¯ = x · y = y · x = y¯ · x¯ para quaisquer ¯x, y¯ ∈ ö∗ p; logo, a multiplicac¸ ˜ao ´e comutativa.
• Para todo ¯x ∈ ö∗ p, como p e primo, mdc(´ x, p) = 1 e da´ı existem inteiros a e b tais que a· x+b· p = 1 o que implica em a · x + b · p = a · x+b · p = a¯· x¯+ (^) ︸︷︷︸b¯ · p¯ = 0 ¯

Como, em öp, ¯p = 0, temos que ¯¯ a · x¯ = 1 ¯ = x¯ · a¯; logo, todo elemento ¯x ∈ ö∗ p possui inverso multiplicativo.

Dessa forma, fica mostrado que ö∗ p e um grupo multiplicativo abeliano de ordem´ p − 1, se p for primo. Por exemplo, se p = 7, a t´abua de operac¸ ˜ao do grupo multiplicativo (ö 7 , ·) ´e: