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Disciplina: Introdução à Álgebra Linear
Prof. Dra. Shirley Maria Santos e Souza Curso de Licenciatura em Matemática – UFPB VIRTUAL [email protected]
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Carga horária: 60 horas Créditos: 04
Ementa
Espaços Vetoriais e Subespaços. Aplicações Lineares e Matrizes. Vetores Próprios e Valores
Próprios. Diagonalização de Operadores. Produto Interno.
Descrição
Esta disciplina é parte indispensável da formação básica, não só de matemáticos, mas de
quantos necessitem aplicar Matemática, mesmo em suas formas mais rudimentares. Os pré-requisitos
para a leitura deste texto são os tópicos de Matemática, normalmente vistos até o curso nível médio e
o curso de Geometria Analítica, do semestre anterior. O estudante deve desenvolver sua capacidade
de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando
como ferramenta a plataforma Moodle.
Objetivos
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:
Compreender o conceito de espaços e subespaços vetoriais.
Compreender o conceito de espaços isomorfos.
Encaminhar os conceitos para a solução de problemas nos quais os alunos já tenham
sentido dificuldades.
Ser capaz de modelar problemas e provas envolvendo combinações lineares, aplicações
e matrizes, diagonalizações de operadores lineares.
Unidades Temáticas Integradas
Unidade I Espaços Vetoriais
- Espaços Vetoriais
- Subespaços
- Combinação Linear
- Dependência e Independência Linear
- Bases, dimensão e mudança de base
Unidade II Aplicações Lineares e Matrizes
- Aplicações Lineares
- Núcleo e imagem de uma aplicação linear
- Aplicação inversa. Isomorfismo
- Matriz de uma Transformação Linear
Unidade III Vetores Próprios e Valores Próprios
- Vetores e Valores Próprios
- Polinômios Característico e Minimal
- Diagonalização de Operadores
Unidade IV Produto Interno
- Produto Interno
- Espaços com Produto Interno
Trabalhamos nesses espaços de maneira idêntica àquela vista em ℝ
2 e ℝ
3
. Por exemplo, se,
u = ( x 1 , x 2 ,…, xn )e v = ( y 1 , y 2 ,…, yn )são vetores no ℝ
n e α um escalar, definimos:
a) u = vse , esomente , sexi = yi , i = 1 , 2 ,…, n ,
b) u + v =( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,…, xn + yn ),
c) α u =( α x 1 , α x 2 ,…, α xn ),
d) u. v = x 1 y 1 + x 2 y 2 +…+ xn yn ,
e). ....
2 2 2
2 u = uu = x 1 + x + + xn
Consideremos, agora, o conjunto ℝ
n e o conjunto das matrizes reais de ordem m × n ,
representado por (^) M ( m , n ). Com relação a estes conjuntos estão definidas as operações de adição e
multiplicação por escalar, que tem em comum as seguintes propriedades:
Se u,v,w∈ ℝ
n , α , β∈ℝ (escalares) e A,B,C ∈ M ( m , n ), podemos verificar que:
Em relação à adição temos as propriedades:
(u+v)+w=u+(v+w) e (A+B)+C=A+(B+C) (associatividade)
u+v=v+u e A+B=B+A (comutatividade)
Existe um único elemento(neutro) em ℝ
n e em M ( m , n ), representado por 0 tal que:
u+0=u, onde 0 = ( 0 , 0 ,…, 0 )e
A+0=A, onde ( , ).
0 ∈ Mmn
- Para cada vetor u∈ ℝ
n e para cada matriz A ∈ M ( m , n )existe um único vetor e uma única matriz,
representados por –u e –A, tais que:
u+(-u)=0 e A+(-A)=0, onde − u =( − x 1 , − x 2 ,…, − xn ), se u = ( x 1 , x 2 ,…, xn ) e
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
, quando
m m mn
n
n
a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1
. Neste caso, -u e –A são
chamados de elementos simétricos.
Com relação à multiplicação por escalar valem as seguintes propriedades:
( αβ ) u = α( β u ) e ( αβ A )= α( β A ),
( α + β) u = α u + β u e ( α+ β) A = α A + β A ,
α ( u + v )= α u + α v e α( A + B )= α A + α B ,
1 u = u e 1 A = A.
De acordo com o exposto, os conjuntos ℝ
n e M ( m , n ), munidos desse par de operações
apresentam uma “estrutura” comum em relação a essas operações. Tal fato vale também para outros
conjuntos munidos com duas operações, como veremos mais tarde, os quais são chamados de
espaços vetoriais.
3.1.2. - Espaços Vetoriais
Consideremos V um conjunto não vazio, no qual introduziremos as operações adição e
multiplicação por escalar, ou seja,
∀ u , v ∈ V , temos ( u + v )∈ V ,
∀α ∈ℝ , ∀ u ∈ V , então α u ∈ V.
O conjunto V munido destas duas operações, é denominado espaço vetorial real , ou espaço
vetorial sobre ℝ, se forem satisfeitas as seguintes propriedades:
( u + v )+ w = u +( v + w ),∀ u , v , w ∈ V ,
(^) u + v = v + u , ∀ u , v ∈ V ,
(^) Existe 0 ∈ V , talqueu + 0 = u ,∀ u ∈ V ,
Existe ( − u )∈ V , talqueu +(− u )= 0 ,∀ u ∈ V ,
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
u x y x y x y x y u u
u x y x y x x y y
α β α α β β α β α β
α β α β α β α β α β α β
( ) ( , ) ( , ) ,
1 1 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
u v x y x y u v
u v x x y y x y x y
u v x y x y x x y y x x y y
α α α α α
α α α α α α α α α
α α α α α
1.8 1 u = 1 ( x 1 , y 1 )=( 1 x 1 , 1 y 1 )=( x 1 , y 1 )= u ,∀ u ∈ℝ
2 .
- O conjunto ℝ, em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é também um
espaço vetorial. Os vetores, nesse caso, são números reais.
- Seja V o conjunto de todas as funções V = { f : X → ℝ}, munido das operações
( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x ) e α ( f ( x ))=( α f )( x )), é um espaço vetorial, pois tais operações satisfazem as
oito propriedades da definição 3.1.2.
- O conjunto de todos os polinômios, = = + + + i ∈
n V { f ( t ) an t … a 1 t a 0 ; a ℝ}, é um espaço vetorial
sobre ℝ em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar.
- Um conjunto pode ser um espaço vetorial com relação a um par de operações e não ser com
relação a outro par de operações. De fato. Podemos considerar o conjunto ℝ
2 = {( x , y ); x , y ∈ ℝ },
agora munido das seguintes operações:
( 5. 1 ) ( x 1 , y 1 )+( x 2 , y 2 )=( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) e α ( x 1 , y 1 )=( α x 1 , y 1 ).
Observemos que a operação adição é a usual, portanto do exemplo 1 as quatro primeiras
propriedades da definição 3.1.2. Entretanto, com relação multiplicação por um escalar temos:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
u u u
u u x y x y x y x y x x y istoé
u x y x y x x y porém
α β α β
α β α β α β α β
α β α β α β α β
Ou seja, a propriedade 6, da definição de espaço vetorial não é satisfeita, portanto, ℝ
2 munido das
operações definidas em (5.1), não é um espaço vetorial.
3.1.4. - Subespaços Vetoriais
Sejam V um espaço vetorial sobre ℝ e W um subconjunto não vazio de V. O subconjunto W é
um subespaço vetorial de V se as seguintes condições são satisfeitas:
u + v ∈ W , ∀ u , v ∈ W ,
α u ∈ W , ∀ u ∈ W , α ∈ℝ.
Dialogando e construindo o seu conhecimento
3.1.5. - Exemplos
- Sejam V= ℝ^4 e W = {( x 1 (^) , x 2 , x 3 , x 4 ); x 2 = 0 }={( x 1 , 0 , x 3 , x 4 ); x 1 , x 3 , x 4 ∈ℝ} , Então W é um
subespaço vetorial de V. De fato.
a. 0=(0,0,0,0)∈W, isto é, W ≠ Ø.
b. Dados u,v∈W e α ∈ℝ, então u = u = ( x 1 , 0 , x 3 , x 4 ) e v =( y 1 , 0 , y 3 , y 4 ). Logo,
1 3 4 1 3 4 1 3 4
1 3 4 1 3 4 1 1 3 3 4 4
u x x x x x x x x x W
u v x x x y y y x y x y x y W e
= = = ∈
α α α α α α α α α
De onde concluímos que W é um subespaço vetorial de V= ℝ
4 .
- Sejam (^) ⎥ ∈ ⎦
= = abcd c d
a b V M ( 2 , 2 ) { ; , , , ℝ} e (^) ⎥ ∈ ⎦
= bc c
b W ; , 0
{ ℝ}, com V munido das
operações soma de matrizes e multiplicação por escalar, ou seja, as operações usuais.
Notemos que (^) ⎥∈ ≠ ⎦
= W , istoé , W 0 0
0 Ø.
Dados (^) ⎥∈ ⎦
2
2
1
1
c
b v c
b u W então W c c
b b
c
b
c
b u v ⎥∈ ⎦
1 2
1 2
2
2
1
1 e
1
1
1
1 W c
b
c
b u (^) ⎥∈ ⎦
α
α α α
Portanto, W é um subespaço vetorial de V.
- Sejam V= ℝ^2 munido das operações usuais de adição e multiplicação por escalar
e (^) W = {( x , y ); y = 4 x }={( x , 4 x ); x ∈ℝ}. W representa geometricamente uma reta que passa pela
origem.
- Todo subespaço vetorial W de V contém pelo menos o vetor nulo 0, pois quando
α = 0 ,temos 0 = 0 u ∈ W.
- Um subespaço vetorial W de V é também um espaço vetorial com todas as oito
propriedades herdadas de V.
- Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0},
chamado subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Os demais subespaços são
denominados subespaços não triviais ou próprios. Por exemplo, o conjunto unitário
{(0,0,0)} é um subespaço vetorial do V= ℝ
3 , assim como o conjunto W= ℝ
3 .
Portanto, W 1 ∩W (^2)
b b R
.
- Seja V= ℝ^3 = {( x , y , z ); x , y , z ∈ℝ} e W 1 (^) = {( x , y , 0 ); x , y ∈ℝ} e W (^) 2 = {( 0 , 0 , z ); z ∈ℝ} subespaços
vetoriais de V. Se u = ( x , y , z )∈W 1 ∩W 2 , então pela definição de W 1 e W 2 , x = y = z = 0, ou seja,
W 1 ∩W 2 = {(0,0,0)}.
3.1.8. - Soma de dois Subespaços Vetoriais
Sejam W 1 e W 2 dois subespaços vetoriais de V. A soma de W 1 e W 2 , denotada por W =
W 1 +W 2 , é o conjunto de todos os vetores u+v de V tais que u ∈ W 1 ev ∈ W 2.
3.1.8.1. - Teorema
Se W 1 e W 2 são subespaços vetoriais de V então W 1 +W 2 também é um subespaço vetorial de
V.
Demonstração: (i) Sejam u (^) 1, u 2 ∈ W 1 e v (^) 1, v 2 ∈W 2 então u 1 +u 2 ∈W 1 , pois W 1 é um espaço vetorial.
Analogamente, v 1 +v 2 ∈W 2.
Por outro lado, u 1 +v 1 ∈W 1 +W2, como também u 2 +v 2 ∈W 1 +W 2 , logo
(u 1 +v 1 )+(u 2 +v 2 ) = (u 1 +u 2 ) + (v 1 +v 2 ) ∈W 1 +W 2.
(ii) Para qualquer α∈ℝ, sendo u 1 ∈W 1 , v 1 ∈W 2 , então αu 1 ∈W 1 e αv 1 ∈W 2.
Por outro lado, u 1 +v 1 ∈W 1 +W 2 , logo α(u 1 +v 1 ) = αu 1 + αv 1 ∈W 1 +W 2.
3.1.9. - Exemplos
Observando os exemplos 3.1.7, temos que:
- O conjunto W 1 +W 2
a b b a b c R c
⎩⎣ ⎦^ ⎣^ ⎦ ⎭
a b a b c R c
⎩ ⎣^ ⎦ ⎭
é um subespaço
vetorial de V, pelo Teorema 3.1.8.1.
- A soma de W 1 (^) = {( x , y , 0 ); x , y ∈ℝ} com W (^) 2 = {( 0 , 0 , z ); z ∈ ℝ} é o subespaço vetorial W 1 +W 2
= {( x , y , z ); x , y , z ∈ℝ}, que é o próprio ℝ
3 .
3.1.10 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais
Sejam W 1 e W 2 dois subespaços vetoriais de V. Diremos que V é a soma direta de W 1 e W2, denotada
por V=W 1 ⊕W 2 , se
V=W 1 +W 2 e W 1 ∩W 2 ={0}.
3.1.11 Observação
Se V = W 1 ⊕W 2 , todo v ∈ V se escreve, de modo único, na forma:
v = u + w, onde u∈W 1 e w∈W (^) 2.
De fato. Suponhamos que v = u+w, com u∈W 1 e w∈W 2 e também v = u’+w’, onde u’∈W 1 e w’∈W 2.
Daí,
u + w = v = u’+w’ ou u – u’ = w’ – w.
Como u – u’ ∈W 1 e w’ - w∈W (^) 2, então u – u’ = w – w’∈ W 1 ∩W 2.
Mas, W 1 ∩W 2 = {0}, então u – u’ = w’ – w = 0, ou seja, u = u’ e w = w’.
3.1.12. - Exemplo
- O espaço vetorial ℝ
3 é a soma direta dos subespaços vetoriais W 1 = {(x,y,0) ; x,y∈ℝ} e W 1 =
{(0,0,z) ; z∈ℝ}, pois qualquer vetor (x,y,z) ∈ℝ
3 pode ser escrito como soma de um vetor de W 1 e
um vetor de W 2 de maneira única
(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z),
além disso, W 1 ∩W 2 = {(0,0,0)}. Portanto, ℝ
3 = W 1 ⊕W 2.
3.2. - Combinação Linear
Seja V um espaço vetorial sobre ℝ. Um vetor v em V é combinação linear dos vetores
v 1 ,v 2 ,...,v (^) n em V se existirem escalares x 1 ,x 2 ,...,xn ∈ℝ tais que
u = x 1 v 1 + x 2 v 2 + ... + xn v (^) n.
3.2.1. - Exemplos
- Escreveremos o vetor v = (2,5,3) do ℝ
3 como combinação linear dos vetores v 1 = (1,2,1) e v 2 =
(0,1,1).
Para isto, devemos encontrar x,y ∈ℝ tais que
v = (2,5,3) = x(1,2,1) + y(0,1,1) = (x,2x + y,x + y)
ou seja, resolveremos o seguinte sistema
x
x y
x y
⎧^ =
⎨ +^ =
daí, x = 2 e y =1.
Segue de (i) e (ii), que W é um subespaço vetorial de V.
Este subespaço é denominado subespaço gerado pelos vetores v 1 ,v 2 ,...,vn , o qual se denota
W = [v 1 ,v 2 ,...,v (^) n].
3.2.3.1. - Exemplos
- Os vetores i = (1,0,0) e j = (0,1,0) geram o conjunto W = {(x,y,0) ; x,y ∈ℝ}, pois qualquer vetor v de
W pode ser escrito como combinação linear dos vetores i e j, ou seja,
v = (x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0).
Neste caso, W é gerado pelos vetores i e j, ou seja, W = [i,j].
- No caso dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1), estes geram o ℝ
3 , já que todo vetor (x,y,z)
do ℝ
3 é escrito como combinação linear dos vetores, i, j e k,
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1).
ℝ
3 = [i,j,k].
3.O subespaço gerado pelos vetores v 1 = (1,-2,-1) e v 2 = (2,1,1) será:
[v 1 ,v 2 ] = {(x,y,z) ; (x,y,z) = a(1,-2,1) + b(2,1,1), a,b∈ℝ}.
Da igualdade acima temos:
a b x
a b y
a b z
⎧^ +^ =
⎨−^ +^ =
⎩−^ +^ =
e, resolvendo o sistema, usando as 2 primeiras equações b = 2/5x + 1/5y e a = 1/5x -2/5y.
Substituindo na terceira equação, teremos x + 3y – 5z = 0.
Portanto, [v 1 ,v 2 ] = {(x,y,z) / x + 3y – 5z = 0}, isto é, o subespaço gerado pelos vetores v 1 e v 2 é um
plano que passa pela origem.
- Sejam V = M(2,2), v 1 = (^) ⎥
⎦
e v 2 = (^) ⎥ ⎦
. O subespaço gerado pelos vetores v 1 e v 2 , será:
[ 1 , 2 ]
x y v v z t
⎩⎣^ ⎦
= a (^) ⎥ ⎦
a b R
⎢ ⎥ ∈^ ⎬
e, daí o sistema:
a b x
a b y
a b z
a b t
⎧^ −^ +^ =
⎪ −^ =
⎪−^ +^ =
e teremos z = -y e x = -2y + t. Logo, o subespaço gerado pelas matrizes v 1 e v 2 ,
1 2
[ , ] ,
y t y v v y t R y t
⎩⎣ − ⎦^ ⎪
.
3.3. - Dependência e Independência Linear
Seja V um espaço vetorial sobre ℝ. Os vetores v 1 ,v 2 ,...,v (^) n de V são ditos linearmente
independentes (LI) se a equação vetorial
x 1 v 1 + x 2 v 2 + ... + x (^) nv (^) n = 0
admite apenas a solução trivial nula x 1 = x 2 = ... = xn = 0. Caso contrário, se a equação admite pelo
menos uma solução não nula, os vetores são denominados linearmente dependentes (LD).
3.3.1. - Exemplos
- Mostraremos que os vetores v 1 = (6,2,3,4), v 2 = (0,5,-3,1), v 3 = (0,0,7,-2) do ℝ
4 são LI. De fato,
suponhamos que existem x 1 ,x 2 e x 3 tais que
x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 = (0,0,0,0),
x 1 (6,2,3,4) + x 2 (,0,5,-3,1) + x 3 (0,0,7,-2) = (0,0,0,0)
logo,
1
1 2
1 2 3
1 2 3
x
x x
x x x
x x x
⎪ +^ =
⎪ −^ +^ =
e teremos, da primeira equação x 1 = 0, da segunda x 2 = 0, e, da terceira, x 3 = 0. Portanto, a
combinação linear acima admite apenas a solução nula. Daí, os vetores são LI.
- No espaço V = ℝ
3 , os vetores v 1 = (2,-1,3), v 2 = (-1,0,-2) e v 3 = (2,-3,1) são LD. Pois, dada a
combinação linear x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 = (0,0,0), temos
x 1 (2,-1,3) + x 2 (-1,0,-2) + x 3 (2,-3,1) = (0,0,0) ,isto é,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
⎧^ −^ +^ =
⎨−^ −^ −^ =
e, das primeiras equações x 1 = -3x 3 e x 2 = - 4x (^) 3, os quais substituindo na terceira equação 0x 3 = 0.
Isto é válido para qualquer valor de x 3. Daí, escolhendo, por exemplo, x 3 = -1, teremos x 1 = 3 e x 2 =
fazendo, a (^) j = - (x (^) j /xi), com j ≠ i, teremos
v (^) i = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... +a (^) i-1 v (^) i-1 + ai+1 v (^) i+1 + ... + anv (^) n,
Reciprocamente, se
v (^) i = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... +a (^) i-1 v (^) i-1 + ai+1 v (^) i+1 + ... + anv (^) n,
temos
a 1 v 1 + a 2 v (^) 2 + ... + ai-1v (^) i-1 + (-1)vi + ai+1v (^) i+1 + ... + anv (^) n = 0,
observando que o escalar de v (^) i da última combinação é não nulo. Portanto, {v (^) 1, v 2 ,...,v (^) i,...,vn } é LD.
3.3.3 Observações
- O Teorema 3.3.2 é equivalente a: “O conjunto {v (^) 1, v 2 ,...,vi,...,v (^) n} é LI, se, e somente se, nenhum
desses vetores for escrito como combinação linear dos outros”.
- Dois vetores v 1 e v 2 são LD se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do outro. Por exemplo, v 1
= (1,-2,3) e v 2 = (-2,4,-6) são LD, pois v 2 = -2v 1.
- Se v ≠ 0, o conjunto unitário {v} é LI. De fato. av = 0 se, e somente se, a = 0.
- Note que, se um conjunto {v (^) 1, v 2 ,...,0,...,vn} contém o vetor nulo, então é LD. Pois,
0v 1 +0v 2 + ... + a0 + ... + 0v (^) n = 0,
é verdadeira para todo a ≠ 0. Logo, {v (^) 1, v 2 ,...,0,...,vn } é LD.
3.4. - Base e Dimensão
Um subconjunto β = {v1, v 2 ,...,v (^) n} de um espaço vetorial V é uma base do espaço vetorial V se;
(i) β é LI;
(ii) β gera V.
3.4.1. - Exemplos
- O conjunto β = {(1,1),(-1,0)} é uma base do ℝ
2
. Pois:
(i) Dados x,y escalares tais que x(1,1) + y(-1,0) = 0 = (0,0), então
x y
x y
ou seja, x = y = 0. Logo, W é LI;
(ii) Para todo vetor (x,y) do ℝ
2 verificaremos se existem escalares a e b tais que
(x,y) = a(1,1) + b (-1,0)
a 0 b y ,
a b x
− =
logo, a = y e b = y – x. Ou seja, todo vetor (x,y) do ℝ
2 pode ser escrito como combinação linear dos
vetores de β, isto é, β gera o conjunto ℝ
2 .
- O conjunto W = {i,j} é uma base do ℝ
2 , denominada base canônica do ℝ
2 , onde i = (1,0) e j = (0,1).
A base canônica do ℝ
n é dada pelos vetores {e 1 , e 2 ,..., en }, onde e 1 = (1,0,...0), e 2 = (0,1,...0),... ,
e (^) n = (0,0,...,1).
Ampliando o seu conhecimento...
3.4.2. - Teorema
Se β = {v 1 ,v 2 ,...,v (^) n} for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais de n
vetores será LD.
Demonstração: Sem perda de generalidade, consideremos n=2, e W = {w 1 ,w 2 ,w 3 }. Mostraremos que
W é LD, isto é, que se existirem escalares x 1 ,x 2 ,x 3 não todos nulos tais que
x 1 w 1 +x 2 w 2 + x 3 w 3 = 0. (*)
Como β = {v 1 ,v 2 } é uma base de V, para cada w (^) i ∈W, w (^) i é uma combinação linear dos vetores de β,
ou seja, existem escalares a 11 , a 12 , a 21 , a 22 , a11, a 31 , a 32 tais que:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
3 31 1 32 2 ,
w a v a v
w a v a v
w a v a v
⎧^ =^ +
⎨ =^ +
⎩ =^ +
Substituindo as relações acima na combinação linear (*), temos:
x 1 ( a 11 (^) v 1 + a 12 v 2 ) + x 2 ( a 21 (^) v 1 + a 22 v 2 ) + x 3 ( a 31 (^) v 1 + a 32 v 2 ) = 0
e, ordenando os termos de maneira conveniente,
( x 1 a 11 + x 2 a 12 + x 3 a 31 ) v 1 +( x 1 a 12 + x 2 a 22 + x 3 a 32 ) v 2 = 0
Sendo β = {v 1 ,v 2 } uma base de V, β é LI, logo os escalares da última combinação são nulos,
x 1 a 11 + x 2 a 12 + x 3 a 31 = 0
x 1 a 12 + x 2 a 22 + x 3 a 32 = 0
e este sistema homogêneo possui 3 variáveis x 1 ,x 2 ,x 3 e 2 equações, logo existem soluções não
triviais. Portanto, W ={w 1 ,w 2 ,w 3 } é LD.
Em V = M(2,2), a base canônica é {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }, onde v 1 = (^) ⎥ ⎦
v 2 =
v 3 = (^) ⎥ ⎦
e v 4 = (^) ⎥ ⎦
.
Não demonstraremos, apenas daremos um exemplo.
3.5.3. - Exemplo
- Consideremos os vetores v 1 = (1,1,0) e v 2 = (0,1,2). Observe que {v 1 ,v 2 } é LI.
Como dimℝ
3 =3, pela observação 3.5.1 (4), uma base terá 3 vetores LI. Encontraremos um vetor v 3 ∈
ℝ
3 tal que {v 1 ,v 2 ,v 3 } seja LI.
Ou seja, v 3 não pode como combinação linear de v 1 e v 2 , isto é, v 3 ≠av 1 +bv 2 , a,b∈ℝ,
v 3 =(x,y,z) ≠ a(1,1,0) + b(0,1,2) = (a,a+b,2b).
Escolhendo v 3 = (1,0,2), o conjunto {v 1 ,v 2 ,v 3 } seja LI.
3.5.3. - Componentes de um Vetor
Sejam β = {v 1 ,v 2 ,...,v (^) n} base de V e v∈V. v pode ser escrito como combinação linear dos
vetores de β, isto é, existem a 1 ,a 2 ,...,an escalares tais que
v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + an vn.
Os escalares a 1 ,a 2 ,...,a (^) n são chamados de coordenadas de v em relação à base β, as quais
denotamos por
[ ].
2
1
a n
a
a
v
β
3.5.3.1 Exemplo
- Consideremos V = ℝ
2 e β = {i,j} base canônica do ℝ
2 , β = {(1,0),(0,1)}.
Dado v = (2,-5) um vetor do ℝ
2 ,
v = (2,-5) = 2(1,0) - 5(0,1),
isto é, 2 e -5 são as coordenadas de v em relação à base β, denotadas por
[( 2 , 5 )] ⎥
− β=
Considerando, agora, a base β’ = {(1,1),(0,1)}. O vetor v = (2,-5) pode ser escrito como
combinação dos vetores da base β’, existem escalares a e b tais que
(2,-5) = a(1,1) + b(0,1),
isto é, a = 2 e b = -7. Logo, 2 e -7 são as coordenadas do vetor v em relação à base β’, ou seja,
[( 2 , 5 )]' ⎥
− β =
3.5.3.2. - Observação
Notem que a ordem dos vetores de uma base também influi na matriz das coordenadas de um
vetor em relação a esta base. Se β = {(1,0),(0,1)} e β 1 = {(0,1),(1,0)} então
[( 2 , 5 )]
[( 2 , 5 )]
− β = e β
Por isso, ao considerarmos uma base subentendemos que seja ordenada.
3.6. - Exercícios Resolvidos
- Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial W = {(x,y,z)∈ℝ
3 / 2x + y + z = 0}.
Solução : Com a condição, 2x + y + z = 0, temos z = -2x - y. Se (x,y,z) ∈ℝ
3 , este tem a forma:
(x,y,z) = (x,y,-2x-y) = (x,0,-2x) + (0,y,-y),
ou ainda,
(x,y,z) = x(1,0,-2) + y(0,1,-1).
Vejam que todo vetor de W é combinação linear dos vetores (1,0,-2) e (0,1,-1). Como esses dois
vetores geradores de W são LI, estes formam uma base de W e, por definição, dimW = 2.
Observem que, como a cada variável livre corresponde um vetor da base na última igualdade,
conclui-se que o número de variáveis livres é a dimensão do espaço.
- Dados os vetores v 1 = (1,2,3), v 2 = (0,2,4) e v 3 = (0,0,-3), mostrar que o conjunto β = {v 1 ,v 2 ,v 3 } é
uma base do ℝ
3 .
- Solução: (a) Consideremos a seguinte combinação linear
av 1 + bv 2 + cv 3 = 0 = (0,0,0),
isto é,
(a,2a,3a) + (0,2b,4b) + (0,0,-3c) = (0,0,0),
ou, equivalentemente,
a b c
a b
a
de onde, a = b = c = 0. Logo, β é LI. Como β tem 3 vetores, então β é base do ℝ
3 .
3.5. - Mudança de Base
Considerando um determinado problema em que um corpo se move no plano xy, cuja
trajetória é uma elipse de equação x
2
2
- 3 = 0, a descrição do movimento se torna muito
simplificada se, ao invés de trabalharmos com os eixos x e y (ou seja, o referencial determinado pela
base canônica do ℝ
2 ), utilizarmos um referencial que se apóia nos eixos principais da elipse.
