Desvio Padrão e Incerteza: Sistemáticos vs. Aleatórios, Manuais, Projetos, Pesquisas de Física

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Introdução à Prática

Experimental

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Capítulo 4. Análise estatística de incertezas aleatórias

4.1 Erros sistemáticos e aleatórios

4.2 Média e desvio padrão

4.3 O desvio padrão como a incerteza em uma única medida

4.4 Desvio padrão da média

4.5 Erros sistemáticos

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Tal como nestes dois exemplos, quase todas as medidas estão sujeitas a incertezas aleatórias e sistemáticas. Você não deve ter nenhuma dificuldade em encontrar mais exemplos. Em particular, observe que são fontes comuns de incertezas aleatórias

Figura 4.1. Erros aleatórios e sistemáticos na prática de tiro ao alvo, (a) porque todos os tiros chegaram perto um do outro, nós podemos dizer os erros aleatórios são pequenos. Porque a distribuição de tiros é no centro do alvo, os erros sistemáticos também são pequenos, (b) erros aleatórios são ainda pequenos, mas os sistemáticos são muito maiores — os tiros são "sistematicamente" fora do centro para direita, (c) aqui, os erros aleatórios são grandes, mas os sistemáticos são pequenos — os tiros estão amplamente espalhados, mas não sistematicamente fora do centro, (d) aqui, ambos aleatório e erros de sistemáticos são grandes.

pequenos erros de julgamento pelo observador (como quando interpolação), pequenas perturbações do aparelho (por exemplo, vibrações mecânicas), problemas de definição e vários outros. Talvez a causa mais óbvia de erro sistemático é a descalibração dos instrumentos, tais como o cronometro que mede lento, a régua que foi esticada ou um contador que é zerado incorretamente.

Para se ter uma idéia melhor na diferença entre erros aleatórios e sistemáticos, considere a analogia mostrada na Figura 4. 1. Aqui o "experimento" é uma série de tiros disparados em um alvo. "medidas precisas" são tiros que chegam próximo ao centro. Erros aleatórios são causados por alguma coisa que faz com que os tiros cheguem em pontos diferentes aleatoriamente. Por exemplo, o atirador pode ter uma mão instável, ou condições atmosféricas flutuantes entre o atirador e o destino podem distorcer a visualização do destino de forma aleatória. Erros sistemáticos surgirem se nada faz os tiros chegar fora do centro em uma direção "sistemática", por exemplo, se a mira da arma está desalinhada. Observe na

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Figura 4.1 como os resultados mudam de acordo com as combinações de vários pequenos ou grandes erros aleatórios ou sistemáticos.

Embora a Figura 4.1 seja uma excelente ilustração dos efeitos dos erros aleatórios e sistemáticos, é, no entanto, enganosa num aspecto importante.

Figura 4.2. A mesma experiência como na Figura 4.1 redesenhado sem mostrar a posição do destino. Esta situação corresponde de perto a experiências mais reais, em que não conhecemos o verdadeiro valor da quantidade a ser medido. Aqui, pode ainda avaliar o facilmente o erro aleatório, mas não se pode dizer nada sobre os sistemáticos.

Porque cada uma das quatro imagens mostra a posição do destino, que nós podemos saber rapidamente se um tiro especial foi preciso ou não. Em particular, a diferença entre as duas imagens superiores é imediatamente evidente. Os tiros na imagem à esquerda do conjunto em torno do centro do destino, considerando que aqueles na imagem a direita do conjunto em torno de um ponto bem fora do centro; claramente, portanto, o responsável pela imagem da esquerda tinha pouco erro sistemático, mas o da imagem da direita tinha muito mais. Saber que a posição do destino na Figura 4.1 corresponde, em um laboratório a medida, para conhecer o verdadeiro valor da quantidade medida, na maioria das medidas reais, não se sabe este valor verdadeiro. (Se soubéssemos o verdadeiro valor, não nos incomodaria medi-la.)

Para melhorar a analogia da Figura 4.1 com experiências mais reais, precisamos redesenhá-lo sem os anéis que mostram a posição do destino, como na Figura 4. 2. Nessas fotos, identificar os erros aleatórios é ainda fácil. (As imagens de dois primeiros ainda, obviamente, têm erros aleatórios menores do que os dois piores). Para determinar que marcas tenham erros sistemáticos maiores, no entanto, é impossível baseado apenas na Figura 4.2. Esta situação é exatamente o que prevalece em experiências mais reais. Examinando a distribuição dos valores medidos, podemos facilmente avaliar os erros aleatórios, mas não obter nenhuma orientação sobre os erros sistemáticos.

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x 1 , x 2 , ..., xN (4.3)

Uma vez mais o melhor valor estimado para x, é a média dos x 1 , ..., xN. Isto é,

xmelhor = (4.4)

sendo

Na ultima linha foi introduzido a notação de somatória

O conceito de média ou média é quase certamente familiar para a maioria dos leitores. Nosso próximo conceito, desvio-padrão, é provavelmente menos conhecido. O desvio-padrão das medidas x 1 ..., xN é uma estimativa da incerteza média da medidas х 1 ,..., xN e é determinada do seguinte modo.

Dado que a média é nossa melhor estimativa da quantidade x, é natural que se considere a diferença xi - = di. Esta diferença, muitas vezes chamada de desvio (ou residual) do xi de , nos diz quanto o x-enésimo da medida difere da média. Se os desvios di = xi — são todos muito pequenos, nossas medidas estão todas próximas uns dos outros e presumivelmente muito precisas. Se alguns dos desvios são grandes, nossas medidas, obviamente, não estão precisas.

Certificar-se que você entendeu a idéia do desvio, vamos calcular os desvios para o conjunto de cinco medidas na tabela (4.1). Observe que os desvios não são (é claro) do mesmo tamanho; di é pequeno se o xi da enésima medida passa a ser perto de x, mas di é grande se xi é longe de x. Percebe-se também que alguns dos di são positivos e alguns negativos porque algumas do xi são mais elevados do que a média , e alguns são obrigados a ser menor.

Para estimar a confiabilidade média das medidas x 1 ,...,x 5 naturalmente tente a média os desvios di. Infelizmente, o quadro 4.1 mostra, a média dos desvios é zero. Na verdade, esta média será zero para qualquer conjunto de medidas xi..., xN porque a definição da média x garante que di = xi — , as vezes, é positivo e as vezes negativo, desta forma d é zero.

= (x 1 + x 2 + ... xN)/N

=  xi/N

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Tabela 4.1. Cálculo dos desvios

Obviamente, então, a média dos desvios não é uma maneira útil de caracterizar a confiabilidade das medidas x 1 , ...,xN.

A melhor maneira de evitar esse incomodo é conciliar todos os desvios, que criará um conjunto de números positivos, e a média, destes números. Se, em seguida, tomamos a raiz quadrada do resultado, obtemos uma quantidade com as mesmas unidades de x propriamente. Esse número é chamado o desvio-padrão de x 1 ,..., xN e é denotado por x:

Com esta definição, o desvio padrão pode ser descrito como raiz média quadrática ‘root mean square’ (ou RMS) desvio das medidas de x 1 ,...,xN. Ele revela-se uma maneira útil de caracterizar a confiabilidade das medidas. [Como discutiremos em breve, a definição (4.6), às vezes, é modificado, substituindo o denominador N por (N — 1).]

Tabela 4.2. Cálculo do desvio padrão

Somando os números di^2 na quarta coluna da tabela 4.2 e dividindo por 5, obtemos a quantidade x^2 (muitas vezes chamado a variância das medidas),

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Em outras palavras, se você fizer uma única medida (usando o mesmo Método), a probabilidade é de que 68% do seu resultado terá o valor x correto. Assim, podemos aprovar x para dizer exatamente o que chamamos de "incerteza". Se você fizer uma medida de x, a incerteza associada a esta medida pode ser tomada como

com esta opção, você pode estar 68% confiante de que a medida está dentro de x da resposta correta.

Para ilustrar a aplicação dessas idéias, suponha que temos uma caixa de molas semelhantes e medimos a constante k. Medimos as constantes das molas pendurando uma massa e observando a extensão resultante ou, talvez melhor, suspendendo uma massa de cada mola e medindo o tempo de oscilação. Qualquer método que escolhermos, precisa-se saber k e a incerteza de k para cada mola, mas seria irremediavelmente demorado repetir nossas medidas muitas vezes para cada mola. Em vez disso podemos raciocinar da seguinte maneira: se medirmos к pela na primeira várias vezes (digamos, 5 ou 10), então a média dessas medidas deve dar uma boa estimativa de k da primeira mola. Mais importante agora, o desvio-padrão que x dessas medidas de 5 ou 10 proporcionam uma estimativa da incerteza em nosso método de medição k. Nossas molas são razoavelmente semelhantes e podemos usar o mesmo método para medir cada uma, podemos razoavelmente esperar a mesma incerteza em cada medida. Assim, para cada mola subseqüente, precisamos fazer apenas uma medida e imediatamente podemos afirmar que a incerteza k é o desvio padrão k medido da primeira mola, com uma confiança de 68% que nossa resposta está dentro do k do valor correto.

Para ilustrar essas idéias numericamente, podemos imaginar fazendo 10 medidas na primeira mola e obter os seguintes valores medidos de k (em Newtons/metro):

(4.10)

Deste resultado obtemos usando a definição (4.9)

(4.11)

(4.12)

A incerteza em qualquer medida de к, portanto, é aproximadamente 2 N/m. Se agora medimos a segunda mola uma vez e obtermos a resposta k = 71 N/m, pode sem mais delongas tomar k = k = 2 N/m e declarar com 68% de confiança que k situa-se no intervalo

(k para segunda mola)= 71 ± 2 N/m (4.13)

4.4 Desvio padrão da média

Se x 1 ,..., xN, são os resultados das N medidas da mesma quantidade x, então, como vimos, nossa melhor estimativa da quantidade x é a média. Também vimos que o desvio-padrão x

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caracteriza a incerteza média das medidas em separado x 1 ,..., xN. Nossa resposta xmelhor = no entanto, representa uma combinação criteriosa de todas as medidas de N, e temos todos os motivos para pensar que é mais confiável do que qualquer uma das medidas efetuadas por si só. No capítulo 5, vamos provar que a incerteza da resposta final em xmelhor = é dada pelo x desvio padrão dividido por N1/2. Esta quantidade é chamada o desvio-padrão da média, ou SDOM (em inglês) e é indicada por

(Outros nomes comuns são erro padrão e erro padrão da média). Assim, com base nos N valores medidos x 1 ,..., xN, podemos afirmar a nossa resposta final para o valor de x como

(4.15)

Como exemplo, podemos considerar as 10 medidas relatadas em (4.10) da constante k de uma mola. Como vimos, a média desses valores é 85,7 N/m, e o desvio-padrão é k = 2.2 N/m. Portanto, é o desvio-padrão da média

(4.16)

e nossa resposta final, com base nas 10 medidas, seria que a mola tem

k = 85.7 ± 0.7 N/m (4.17)

Quando você dá uma resposta como esta, você deve dizer claramente o que os números são — ou seja, a média e o desvio-padrão da média — para que seus leitores possam julgar seu significado por si mesmo.

Uma característica importante do desvio padrão da média, , é o fator N1/2^ no denominador. O x desvio padrão representa a incerteza média nas medidas individuais x 1 ,..., xN. Assim, se fizer algumas medidas a mais (usando a mesma técnica), desvio padrão x não alteraria sensivelmente. Por outro lado, o desvio-padrão da média, x/N1/2^ iria diminuir lentamente com o aumento de N. Esta diminuição é apenas o que seria de esperar. Se fizermos medidas mais antes de computar uma média, naturalmente seria de esperar que o resultado final é mais confiável e esta melhor confiabilidade é apenas o que o denominador N1/2^ (4.15) garante. Esta conclusão mostra de maneira óbvia a melhora da precisão das medidas.

Infelizmente, o fator N1/2^ cresce muito lentamente com o aumento de N. Por exemplo, se quisermos melhorar nossa precisão por um fator de 10 simplesmente aumentando o número de medidas N, teremos de aumentar N por um fator de 100 — um crescimento assustador, para dizer o mínimo! Além disso, no momento estão negligenciados erros sistemáticos, e estas não são reduzidas pelo aumento do número de medidas. Assim, na prática, se você quer aumentar sua precisão sensivelmente, você provavelmente fará melhor para melhorar sua técnica do que ao confiar apenas no aumento do número de medições.

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Substituindo o obtido em (4.20)

(valor medido de k) = kmelhor ± k

= 13.16 ± 0.19 N/m

Ou melhor, 13.2 ± 0.2 N/m.

A expressão (4.21) para k realmente não pode ser justificada com rigor. Nem o significado da resposta é claro, por exemplo, provavelmente não pode reivindicar 68% de confiança que a verdadeira resposta se encontra no intervalo k±k. Entretanto, a expressão, pelo menos, oferece uma estimativa razoável de nossa incerteza total, dado que nossos equipamentos têm incertezas sistemáticas que não se pode eliminar. Em particular, há um aspecto importante na qual a resposta (4.21) é realista e instrutivo. Vimos na seção 4.4 que o desvio-padrão da média

aproxima-se de zero com o aumento do número de medidas N. Este resultado sugere que, se você tiver paciência para fazer um enorme número de medidas, você pode reduzir a incerteza indefinidamente sem a necessidade de melhorar o seu equipamento ou técnica. Agora podemos ver que esta sugestão está incorreta. Incrementar N pode reduzir a kaleat=

indefinidamente. Mas qualquer equipamento tem alguma incerteza sistemática, que não seja reduzido como podemos aumentar N (4.21), vemos claramente que pouco é adquirido com uma maior redução dos kaleat, uma vez que kaleat é menor que ksis. Em particular, k total nunca pode ser menor que ksis. Este fato simplesmente confirma o que já foi mencionado, que, na prática, uma grande redução da incerteza requer melhorias técnicas ou equipamentos para reduzir os erros aleatórios e sistemáticos em cada medida.

Conforme discutido no capítulo 2, uma característica peculiar do laboratório de ensino é que você provavelmente será solicitado para medir quantidades, tais como a aceleração da gravidade, cujo aceite valor já é conhecido. Este tipo de experiência, na lógica da análise do erro é um pouco confusa. Provavelmente o procedimento mais correto é ignorar o valor aceito e conhecido até que você faça todos os cálculos de seu valor medido, gmelhor e a incerteza. Então, naturalmente, você deve perguntar se o valor aceito está dentro (ou pelo menos fechar para) o intervalo gmelhor ± g. Em caso afirmativo, você pode simplesmente escrever este resultado em seu relatório. Se o valor aceito está bem fora da faixa gmelhor ± g, no entanto, você tem que analisar as possíveis causas de discrepância excessiva. Por exemplo, você pode medir g, aceleração da gravidade e obter os resultados (todos em m/s^2 ),

gmelhor = 9.97 (4.22)

com incertezas

galeat = 0.02 e gsis = 0.03,

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e a incerteza total

Claramente o valor aceito para gravidade

encontra-se agora fora do intervalo medido, 9.97 ± 0,04. (Mais especificamente, a discrepância é 0.17, que é quatro vezes a incerteza). Este resultado definitivamente não é satisfatório e é necessária uma análise mais aprofundada.

A primeira coisa a verificar é a possibilidade que você cometeu um erro de cálculo gmelhor ou uma das incertezas galeat e gsis. Se você pode convencer que todos os seus cálculos estavam corretos, a próxima possibilidade é que o valor aceito está errado. No caso de g = 9,80 m/s^2 esta possibilidade é bastante improvável, mas é perfeitamente possível para a abundância de outros casos. Por exemplo, suponha que você estava medindo a densidade do ar; porque isto é fortemente dependente da temperatura e pressão, você poderia facilmente ter pesquisado o valor aceito errado para este parâmetro.

Depois de eliminar estas suspeições, resta apenas uma possibilidade: você deve ter esquecido algum erro sistemático para que seu valor de gsis é muito pequeno. Idealmente, você deve tentar encontrar o culpado, mas essa pesquisa pode ser difícil por causa das inúmeras possibilidades:

(1) talvez um de seus metros tinha erros sistemáticos maiores do que você tinha imaginado para calcular gsis. Você pode investigar esta possibilidade, determinando quão grande um erro sistemático no seu cronometro(ou voltímetro ou qualquer outro) seria necessária para levar em conta a discrepância. Se o erro necessário não é excessivamente grande, você tem uma possível explicação de sua dificuldade.

(2) outra possível causa do erro sistemático é que você usou um valor incorreto para algum parâmetro necessário em seus cálculos. Um exemplo célebre disso foi medida famosa de Millikan da carga do elétron. Millikan dependia da viscosidade do ar, para o qual ele usou um valor 0,4% que foi muito pequeno. Esta discrepância causou a todos os seus valores da carga do elétron 0,6% menor, um erro que não foi notado por quase 20 anos. Este tipo de erro, por vezes, surge em um laboratório de ensino quando um aluno usa um valor que tem muito poucos algarismos significativos. Por exemplo, suponha que você faz um experimento com prótons e você espera ter uma precisão melhor do que 1%. Se você tomar a massa do próton para 1.7 X 10-27^ kg (em vez do mais exato 1,67 X 10-27^ kg), você vai introduzir um erro sistemático de 2%, que quase certamente irá frustrar sua esperança para resultados de 1%.

(3) muito mais difícil para analisar é a possibilidade de uma falha no projeto do experimento. Por exemplo, se você tinha medido g, soltando um objeto de uma grande altura, a resistência do ar poderia introduzir um erro sistemático apreciável. [Nota, como sempre, que esse erro não representaria o grande valor de g em (4.22) porque a resistência do ar poderia causar uma