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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
I. PROBABILIDADE
- Abordagem clássica Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes em um número total de n maneiras possíveis do espaço amostral E, igualmente prováveis, então a probabilidade do evento A é m/n e escrevemos P(A) = Portanto P(A) é um número real tal que 0 P(A) 1. - Definição axiomática Probabilidade é uma função P que associa a cada evento A de um espaço amostral E, um número P(A) (chamado de probabilidade do evento A), que satisfaz as seguintes condições:
I) P(A) 0
II) P(E) = 1
III) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então P(AB) = P(A) + P(B)
PROPRIEDADES
1. P(Φ) = 0
2. P() = 1 – P(A)
- Se A B então P(A) P(B)
4. 0 P(A) 1
Teorema: P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
Prova: A-B e AB são mutuamente exclusivos e (A-B) (AB) = A. Logo P(A-B) + P(AB) = P(A) ou
P(A-B) = P(A) - P(AB) (I)
A-B e B são mutuamente exclusivos e ainda AB = (A-B) B Logo P(AB) = P(A-B) + P(B) ou P(A-B) = P(AB) – P(B) (II)
De (I) e (II) concluimos que P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB).
II. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Em um espaço amostral E finito, com n elementos, dado por E = {a 1 , a 2 , ... , an }, seja p (^) i a probabilidade associada a cada evento unitário {a (^) i } , i = 1,2,...,n.
Como os eventos {a (^) i } , i = 1,2,...,n , são dois a dois mutuamente exclusivos, temos p 1 + p 2 + ... + pn = P(E) = 1.
Assumindo probabilidades iguais para todos os eventos {ai }, então p 1 = p 2 = p 3 = ... = p (^) n = 1/n , onde n(E) = n.
Assim a probabilidade de um evento A, A E, é dada por:
P(A) = n(A) • = , isto é,
P(A) =
Exemplo Consideremos o experimento aleatório: "lançar um dado e observar o número de pontos da face voltada para cima", cujo espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}.
Seja o evento A : ocorrer face par, isto é, A = {2,4,6}. Então P(A) = n(A)/n(E) = 3/6 = 1/2.
Exemplo No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de obtermos o evento: a) ocorrer face com número maior que 4. b) ocorrer face com número primo. c) ocorrer face com número divisível por 3.
Solução
Suponhamos que o espaço amostral E = {1,2,3,4,5,6} é equiprovável, e observemos que n(E) = 6.
a) Sendo A: ocorrer face com número maior que 4 então A = 5,6 e n(A) = 2
Portanto P(A) = = 2/6 = 1/3.
b) Sendo B: ocorrer face com número primo então B = 2,3,5 e n(B) = 3
Portanto P(B) = = 3/6 = 1/2.
c) Sendo C: ocorrer face com número divisível por 3 então C = 3,6 e n(C) = 2
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Solução: Para simplificar, vamos usar C, E, O, P para indicar copas, espada, ouros e paus respectivamente; e 1, 2, 3, 4, ..., 10, 11, 12, 13 para 1, 2, 3, ...., 10, valete, dama e rei.
Então 3C significará 3 de copas, enquanto 3C significará 3 ou copas.
O espaço amostral será constituído de 52 pontos amostrais
a. (^) P(1) = P(1C ou 1E ou 1O ou 1P)
= P(1C) + P(1E) + P(1O) + P(1P)
b. (^) P(11C) =
c. P(3P ou 6O) = P(3P) + P(6O) = + = =
d. P(C) = P(1C ou 2C ou ... 13P) = + + ... + = =
e. Observe que P() significa a probabilidade de ser o complementar de C, isto é, qualquer naipe exceto copas (C).
P() = 1 – P(C) = 1 - =
f. Como 10 e E não são mutuamente exclusivos, temos
P(10E) = P(10) + P(E) – P(10E) = + - =
g. (^) A probabilidade de ocorrer nem 4 nem paus pode ser representada por P().
Como = , temos
P() = P() = 1 – P(4P) =
= 1 – [ P(4) + P(P) – P(4P) ] =
= 1 – [ + - ] =
Exemplo : Uma bola é extraída de uma caixa contendo 6 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis. Determine a probabilidade de que ela seja a. (^) vermelha b. branca c. (^) azul d. não-vermelha e. (^) vermelha ou branca
Solução: a. Sejam V, B e A os eventos consistindo em extrair uma bola vermelh, uma bola branca e uma bola azul. Então
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P(V) = = = =
b. P(B) = =
c) P(A) = = =
d. P(não-vermelha) = P() = 1- P(V) = 1 - =
e) P(vermelha ou branca) = P(VB) = P() = 1 – P(A) = 1 - =
