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Controle Automático de Processos (Ogata, terceira edição) IFSP - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo Campus Cubatão
Tipologia: Notas de estudo
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Sistemas de controle são parte integral da sociedade moderna. Inúmeras aplicações estão presentes no nosso dia a dia: controle de temperatura, controle de níveis de iluminação, controle de níveis de líquidos, controle de velocidades, controle de fluxo de fluidos nas mais diversas aplicações, controle de posição de satélites, direcionamento de navios e aeronaves, direcionamento automático de mísseis e sistemas de rastreamento de alvos, controle de processos na indústria química, siderúrgica, eletrônica, famaceutica, etc.. A própria natureza nos mostra muitas formas de controle natural, como por exemplo, o equilíbrio da vida em ecosistemas. Os animais, incluindo o homem executam diversas funções de controle como por exemplo atuar para manter a temperatura do corpo constante, reagir em situações que colocam o corpo sob risco, etc. Sistemas de controle não se caracterizam somente para sistemas físicos. É possível estabelecer modelos para o controle automático dos mais variados aspectos do comportamento humano, como por exemplo desempenho de estudantes, onde a variável de entrada é representada pelo tempo disponível para dedicar aos estudos e a variável de saída, ou variável controlada são as notas obtidas. O modelo pode ser usado para prever o tempo necessário de estudo para se alcançar determinada melhoria nas notas, se um determinado aumento no tempo de estudo for possível. Usando o modelo, pode-se determinar se vale a pena ou não o esforço de aumentar o tempo de estudo na última semana do semestre para se alcançar determinado nível de desempenho.
Definição do sistema de controle
Um sistema de controle consiste de subsistemas e processos (ou plantas) reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos. Por exemplo, um forno produz calor como resultado do fluxo de combustível. Neste processo, subsistemas chamados de válvulas de combustíveis e atuadores de válvulas de combustíveis são usados para regular a temperatuda de um ambiente, controlando a produção de calor do forno. Outros subsistemas tais como termostatos, que agem como sensores, medem a temperatura do ambiente. Na sua forma mais simples, o sistema de controle leva a uma saída ou reposta para um dado estímulo ou entrada. Isto pode ser esquematizado na Fig. 1
Sistema de controle
Entrada; Referência Estímulo; Resposta desejada
Saída; Resposta
Fig. 1 – Descrição simplificada de um sistema de controle
Controle de nível de líquidos
Os gregos inciaram os sistemas de engenharia de realimentação em torno de 300 anos antes de Cristo. O relógio de água, inventado por Ktesibios tinha como princípio de operação o enchimento de um container com vazão constante. Para que a água tenha vazão constante, o nível de água do tanque de suprimento deve ser mantido constante. Para atingir este objetivo uma válvula flutuante semelhante aos controles de nível de água em sistemas de descarga atuais era utilizada.
Logo em seguida ao relógio de água de Ktesibios, a idéia de controle de nível de líquidos foi aplicada a uma lâmpada de óleo por “Philon de Byzantium”. A lâmpada consistia de dois containers de óleo posicionados verticalmente. O container inferior era aberto no topo e servia de suprimento de combustível para a chama. O container superior, fechado, era o reservatório de combustível para o container inferior. Os containers eram interconectados por dois tubos capilares e um outro tubo, chamado de elevador vertical , que era mergulhado no óleo do container inferior, com a ponta ligeiramente abaixo da superfície do óleo. A medida que o óleo queimava, a ponta do elevador vertical ficava exposta ao ar, que forçava o óleo do reservatório superior a fluir para o inferior através dos tubos capilares. A transferência do óleo do reservatório superior para o inferior cessava quando o nível de óleo atingia o nível anterior, portanto bloqueando a entrada de ar no elevador vertical. Portanto, o sistema mantinha constante o nível do líquido no reservatório inferior.
Outro nome histórico é o de Heron de Alexandria, que viveu no primeiro século depois de Cristo. Êle publicou um livro com título Pneumática , que delineou diversos mechanismos de controle n[ivel de líquidos utilizando reguladores flutuantes.
Controle de pressão de vapor e de temperatura.
Controle de pressão de vapor iniciou-se em torno de 1681 com a invenção da válvula de segurança por Denis Papin. O conceito foi elaborado pela utilização de válvulas com peso instaladas na parte superior da cápsula de vapor. Se a pressão da cápsula excedesse o peso da válvula, vapor era liberado com a consequente redução da pressão interna. Enquanto a pressão interna não atingisse valor suficiente para levantar o peso a válvula permaneceria fechada e a pressão da cápsula (caldeira) aumentaria. Dessa forma o peso da válvula determinava a pressão interna. Este é o princípio de operação das panelas de pressão ainda utilizadas em cozinhas domésticas. Também no século dezessete, “Cornelis Drebbel” na Holanda inventou um sistema de controle de temperatura puramente mecânico para chocadeira de ovos. O dispositivo tinha um “vial” de alcool e mercúrio com um flutuador. O flutuador era conectado em um “damper” que controlava a chama. Uma porção do “vial” era inserida no incubador e atuava como sensor do calor gerado pela chama. A medida que o calor aumentava, o álcool e o mercúrio se expandiam, elevando o flutuador, fechando o “damper”, e reduzindo a chama. Temperatura mais baixa causava o abaixamento do flutuador, portanto abrindo o “damper” e aumentando a chama.
Controle de velocidade
O primeiro controlador com sistema de realimentação utilizado em processos industriais é normalmente atribuído a James Watt, que utilizou o sistema de esferas girantes (flyball governor) para controlar a velocidade de uma máquina a vapor. No dispositivo, completamente mecânico, duas esferas giram proporcionalmente à velocidade do eixo. Na medida em que a velocidade aumenta, o raio de giração das esferas aumenta de forma que a sua altura é proporcional à velocidade do eixo. Um mecanismo acoplado às esferas controla uma válvula de fluxo de vapor, de forma que se a velocidade aumenta a válvula começa a se fechar reduzindo o fluxo de vapor. Se a velocidade diminui o mecanismo abre a válvula permitindo que o fluxo de vapor aumente, controlando desta forma a velocidade do eixo.
Estabilidade, estabilização e controle de direção.
A teoria de sistemas de controle conhecida atualmente começou a cristalizar-se na última metade do século dezenove. Em 1868 James Clerk Maxwell publicou os critérios de estabilidade para o sistema de terceira ordem baseado nos coeficientes da equação diferencial. Em 1874 Edward John Routh, por sugestão de William Kingdon Clifford, que foi ignorado por Maxwell, foi capaz de extender o critério de estabilidade para sistemas de quinta ordem. Em 1877 o tópico para o prêmio Adams foi “The Criterion of Dynamical Stability”. Em resposta, Routh submeteu o artigo “A Treatise on the Stability of a Given State of Motion”, e ganhou o prêmio. Este artigo contém o que hoje é conhecido como critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Alexandr Michailovich Lyapunov também contribuiu para o desenvolvimento e formulação da teoria e prática de estabilidade de sistemas de controle conforme conhecemos atualmente. Estudante sob orientação de P.L. Chebyshev na Universidade de São Petersburgo na Rússia, Lyapunov extendeu o trabalho de Routh para sistemas não lineares na sua tese de doutorado cujo título é “The General Problem of Stability of Motion”. Durante a segunda metade do século dezenove o desenvolvimento de sistemas de controle deu-se em aplicações de controle de direção e estabilização de navios. Outros esforços foram direcionados à estabilização de plataformas de canhões, bem como estabilização de navios como um todo, utilizando pêndulos como sensores de movimento.
Desenvolvimentos no Século XX
Até 1922 – direcionamento automático de navios utilizando esquemas de compensação e técnicas de controle adaptativo para melhorar desempenho; 1920-1930 – H.W. Bode e H. Nyquist da Bell Telephone Laboratories desenvolveram a análise de amplificadores com realimentação, utilizados para propiciar conexões em cascata e permitir conversações a distancias de milhares de quilômetros; 1948 – Walter R. Evnas, trabalhando na indústria aeronautica, desenvolveu uma técnica gráfica de determinar as raízes da equação característica do sistema de realimentação, que possui parâmetros variáveis. Esta técnica conhecida como lugar das raízes , juntamente com o trabalho de Bode e Nyquist formam a base da teoria de análise e projeto de sistemas de controle lineares.
Entrada e Saída
A função básica de um sistema de controle é de proporcionar uma saída (ou resposta) a um dado estímulo (ou entrada ou ainda referência). A referência representa a resposta desejada; e a saída do sistema é a resposta propriamente dita. Por exemplo, no caso do elevador, quando alguém está no andar térreo e aperta o botão para ir até o quarto andar, o elevador se movimenta com determinadas aceleração e velocidade, e nivela o seu piso com o do andar desejado com precisão projetada para o conforto do passageiro. A Fig. 2 mostra referência e a resposta do sistema. Observe que para o interesse de conforto do passageiro, para não mencionar a limitação de potência disponível, não se deseja que o elevador reproduza perfeitamente o sinal de entrada, que indica bruscamente a mudança de nível. O sinal de entrada representa a saída desejada depois que o elevador tenha parado; o elevador propriamente dito segue o deslocamento descrito pela curva marcada como resposta do elevador. Dois fatores tornam a resposta diferente da referência. Primeiro, compare a mudança instantânea da entrada, com a mudança gradual da saída. Grandezas físicas não podem mudar o seu estado (posição, velocidade,...) instantaneamente. O estado muda seguindo uma trajetória que é relacionada com o dispositivo e a forma pela qual o mesmo adquire ou dissipa energia. Então, o elevador passa por mudanças gradativas a medida que sobe do andar térreo para o quarto andar. Essa parte da resposta é conhecida como resposta transitória.
êrro de regime permanente comando de referência
resposta transitória
resposta de regime permanente
resposta do elevador
tempo (s)
andar
Fig. 2 – Resposta típica de um elevador a um comando de mudança de posição.
Após a resposta transitória, o sistema físico atinge a sua resposta de regime permanente , que é a sua aproximação à referência ou resposta desejada. Para o caso do elevador, esta resposta ocorre quando o elevador alcança o quarto andar. A precisão de nivelamento do piso do elevador com o do andar é o segundo fator que poderia fazer a resposta ser diferente da referência. Essa diferença, mostrada na Fig. 2, é chamada de erro de regime permanente. O erro de regime permanente não precisa existir somente em um sistema defeituoso. Frequentemente, o erro de regime permanente é inerente ao sistema projetado, e o engenheiro de controle determina o quanto este erro leva a uma degradação significante das funções do sistema. Por exemplo, em um sistema de rastreamento de satélite, um pequeno erro de regime permanente pode ser tolerado, desde que seja pequeno o suficiente para manter o satélite próximo da região central do feixe de rastreamento do radar. Entretanto, para um robô inserindo chips de memória nos soquetes de uma placa de circuito impresso, o erro de regime permanente deve ser zero.
Sistemas em malha aberta.
O diagrama genérico de um sistema em malha aberta é mostrado na Fig. 3. Êle consiste de um subsistema chamado de transdutor de entrada que converte a forma da entrada para aquela usada pelo controlador. O controlador aciona o processo ou planta. A entrada é também chamada de referência enquanto a saída pode ser chamada de variável controlada. Outros sinais, tais como distúrbios, inseridos no sistema via somadores são também mostrados. Por exemplo, a planta pode ser um forno ou sistema de ar condicionado, onde a variável de saída é a temperatura. O controlador em um sistema de aquecimento consiste de válvulas de combustível e o sistema elétrico que oepra estas válvulas.
A característica que distingue os sistemas de malha aberta é a sua inabilidade de compensar qualquer distúrbio que eventualmente se some ao sinal de acionamento do controlador (distúrbio 1 na Fig. 3). Por exemplo, se o controlador é um amplificador eletrônico e o distúrbio 1 é um ruído, então qualquer ruído que apareça antes do amplificador e se some ao sinal de comando também vai acionar o processo, corrompendo o sinal de saída. A saída de um sistema de malha aberta é corrompida não somente por sinais que deturpam o sinal de comando do controlador, mas também por distúrbios na saída (distúrbio 2 na figura). O sistema em malha aberta da mesma forma não é capaz de compensar estes distúrbios.
Processo + ou planta
Saída ou variável controlada
Entradaou + Referência
Transdutor de entrada Controlador
Distúrbio 1 Distúrbio 2
somador somador
Fig. 3- Esquema de um sistema de controle em malha aberta.
O primeiro somador soma algebricamente o sinal de da referência com o sinal proveniente do transdutor de saída, que é disponibilizado por meio do caminho de realimentação, ou seja o caminho de retorno entre a saída e o somador da entrada. Na Fig. 4, o sinal de saída (realimentação) é subtraído do sinal de entrada, resultando no sinal que normalmente recebe o nome de sinal atuador. Entretanto, em sistemas onde tanto o transdutor de entrada como de saída possuem ganhos unitários, isto é, o transdutor amplifica a sua saída por 1, o sinal atuante é de fato a diferença entre a entrada e a saída. Neste caso o sinal atuante é normalmente conhecido por erro.
O sistema em malha fechada promove a compesação de distúrbios, por meio da medida da resposta de saída que é comparada com a entrada por meio do caminho de realimentação. Se existe qualquer diferença entre as duas respostas, o sistema aciona a planta por meio do sinal atuante para propiciar a correção. Se não existe diferença o sistema não toma qualquer ação, uma vez que a resposta da planta já corresponde à resposta desejada. Sistemas em malha fechada portanto possuem a vantagem óbvia de permitir uma precisão maior que sistemas de malha aberta. Êles são menos sensíveis a ruídos, distúrbios e mudanças no ambiente. A resposta transitória e o erro de regime permanente podem ser controlados mais convenientemente e com maior flexibilidade em sistemas de malha fechada, frequentemente por um simples ajuste de ganho (amplificação) na malha, e as vezes reprojetando o controlador. Redesenhar o sistema é chamado de compensação e o hardware resultante de compensador. Por outro lado sistemas em malha fechada são mais complexos e mais caros que sistemas em malha aberta, e o engenheiro de controle deve ser capaz de considerar todos os aspectos envolvidos entre a simplicidade e baixo custo de um sistema em malha aberta com a maior precisão e custo mais elevado do sistema em malha fechada a fim de alcançar uma decisão técnico-econômica.
Sistemas controlados por computadores
Na maioria dos sitemas modernos de controle, o controlador (ou compensador) é um computador digital. A vantagem de usar computadores é que muitas malhas podem ser controladas ou compensadas pelo mesmo computador por meio de “time-sharing”. Ainda, qualquer ajuste nos parâmetros do compensador podem ser efetuados por mudanças no software, ao invés de hardware. O computador também realiza tarefas de supervisão, tais como agendar e priorizar aplicações.
Sistemas de controle são dinâmicos: êles respondem a um estímulo de entrada passando por uma resposta transitória até alcançar a resposta de regime permanente, que geralmente assemelha-se a referência. Este sistema foi identificado no exemplo de controle de posição do elevador. Nesta sessão, os três objetivos principais da análise e projeto de sistemas de controle: produzir uma resposta transitória desejada, reduzir o erro de regime permanente e alcançar a estabilidade do controle são discutidos. Outras questões inerentes ao projeto de um sistema de controle, tais como
custo, sensibilidade de desempenho do sistema e variações de parâmetros são também levantadas.
Resposta transitória.
A resposta transitória é muito importante. No caso do elevador, uma resposta transitória muito lenta torna os passageiros impacientes, enquanto uma resposta muito rápida é desconfortável. Se o elevador oscila ao chegar ao piso desejado por mais de um segundo o passageiro sente um desconforto muito grande. A resposta transitória também é importante por questões estruturais: Uma resposta muito rápida pode causar danos físicos permanentes. Então, a resposta transitória desejada é o primeiro objetivo a ser alcançado.
Resposta de regime permanente.
Outro objetivo da análise e projeto está focado na reposta de regime permanente. A resposta do sistema deve retratar a referência, portanto a precisão da resposta de regime permanente é uma preocupação. Um elevador deve parar com o seu piso bem nivelado com o do andar desejado para facilitar a saída dos passageiros. A cabeça de leitura/gravação de um disco rígido de computador deve ser posicionada corretamente sobre a pista para que não ocorra erros de leitura ou gravação. De forma que a capacidade de identificar quantitativamente o erro de regime permanente, bem como de impor ações corretivas para a sua redução são aspectos importantes em análise e projeto de sistemas de controle.
Estabilidade
A discussão de resposta transitória e erro de regime permanente é inócua se o sistema não tem estabilidade. De forma a explicar estabilidade, lembramos que a resposta total de um sistema é a soma de sua resposta natural com sua resposta forçada (Solução homogênea e particular de equações diferenciais). A resposta natural descreve como o sistema adquire ou dissipa energia. A forma ou natureza dessa resposta depende somente dos parâmetros do sistema, não da entrada. Por outro lado, a forma ou natureza da resposta forçada é dependente da entrada. Então, para um sistema linear pode-se escrever
Resposta total = Resposta natural + Resposta forçada.
Para que um sistema de controle seja útil, a resposta natural deve (1) eventualmente cair a zero, deixando portanto somente a resposta forçada, ou (2) oscilar. Em alguns casos entretanto, a resposta natural cresce sem limites ao invés de cair a zero ou oscilar. Pode ocorrer que a resposta natural seja tão maior que a resposta forçada que torna incontrolável o sistema. Essa condição, conhecida como instabilidade , pode levar a auto destruição do dispositivo físico, se limitadores não fizerem parte do projeto. Uma curva da resposta em função do tempo de um sistema instável, vai mostrar uma resposta transitória que cresce sem limites e sem qualquer evidência de uma resposta de regime permanente.
então é promover a redução do diagrama de blocos, onde o sistema como um todo passa a ser representado por um número reduzido de blocos.
Projeto Assistido por computador.
O computador desempenha uma função muito importante no projeto de sistemas modernos de controle. Existem atualmente softwares disponíveis que desempenham as mais variadas tarefas, permitindo a análise de desempnho, otimização de projeto com grande facilidade. Simulações digitais são realizadas rapidamente, e pode-se facilmente introduzir não linearidades e outros efeitos, antes muito difíceis ou impossível de serm incorporados na fase de análise do projeto. Um dos softwares muito utilizados em projeto de sistemas de controle é o MATLAB, que inclui facilidades tais como o ambiente de simulação SIMULINK, e o control tool-box, que contém um conjunto de programas específicos para funções de controle. Durante este curso, o programa MATLAB deverá ser usado para a solução de diversos problemas.
Tabela 1.1 – Formas de onda de teste utilizadas em sistemas de controle
Entrada Função Descrição Curva Utilidade
qualqueroutro t
t t 0
δ =∞ −< < +
∫ ( )
0 0 δ tdt 1
f(t)
t
δ ( t )
Resposta transitória Modelagem
0 0
1 0 = <
= > para t
u t parat f(t)
t
Resposta transitória Erro de regime permanente
qualqueroutro t
tut tparat 0
= ≥ f(t)
t
Erro de regime permanente
2
0 0
0 2
1 2
(^1 )
= <
= ≥ t
tut t parat
f(t)
t
Erro de regime permanente
Senóide sin(^ ω t )
t
f(t) Resposta transitória Modelagem Erro de regime permanente
Questões de revisão.
