CÁLCULO II
HELENA ALMEIDA, JOÃO FARINHA
PATRÍCIA XUFRE, PEDRO CHAVES
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Introducao às primitivas, Exercícios de Análise Matemática
breve introducao as primitivas com pequenos exercicios
Tipologia: Exercícios
2023
1 / 26
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HELENA ALMEIDA, JOÃO FARINHA
PATRÍCIA XUFRE, PEDRO CHAVES
1. Definição de Primitiva
2. Primitivação Imediata
3. Primitivação por Partes
4. Primitivação por Substituição
1. Definição de Primitiva
Seja 𝑓: 𝐷
𝑓
⊂ ℝ → ℝ. Diz-se que 𝑓 é primitivável em 𝑎, 𝑏 se e só se existir uma função
diferenciável 𝑔: 𝐷
𝑔
⊂ ℝ → ℝ tal que 𝑔
′
= 𝑓 para todos os pontos deste intervalo.
Qualquer função 𝑔 que verifique a seguinte condição é designada de primitiva de 𝑓.
′
𝑥 = 𝑓(𝑥) , com 𝐶 ∈ ℝ
EXEMPLOS:
′
𝑥
′
Confirmação
2
′
2
𝑥
′
Confirmação
𝒙
𝑥
𝑥
′
𝑥
𝑥
′
𝑥
Confirmação
2
𝑥
𝑥
3
𝑥
EXEMPLOS:
𝒙
2
𝑥
2
1
2
2. Primitivação Imediata
EXEMPLOS:
𝑎− 1
𝑎
REGRA PRIMITIVAÇÃO DE POTÊNCIAS:
4
4
𝑢
𝑎
3
2
𝑎
𝑢
𝑎− 1
𝑢′
𝑢
𝑎
𝑎
𝑢
𝑎− 1
𝑢
𝑎− 1
5
4
𝑢′
1
2
1
2
𝑢
𝑎− 1
6
3
4
− 1
EXEMPLOS:
𝑎− 1
𝑎
REGRA PRIMITIVAÇÃO DE POTÊNCIAS:
− 2
𝑎
𝑢
𝑎− 1
𝑢′
5
4
6
𝑎
𝑢
𝑎− 1
𝑢′
𝑢
𝑎
𝑢
𝑎− 1
𝑢
𝑎− 1
− 2
− 2
𝑢
𝑎
6
−
1
4
5
6
−
1
4
5
REGRA DE DERIVAÇÃO:
𝑢 ′
′
𝑢
ln 𝑎 , 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1
′
𝑢
ln 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑢
REGRA DE PRIMITIVAÇÃO:
EXPONENCIAIS
𝑥
𝑢′ 𝑎
𝑢
ln 𝑎
𝑎
𝑢
2𝑥+ 1
𝑢′
𝑎
𝑢
ln 𝑎
𝑎
𝑢
EXEMPLOS:
𝑎
𝑢
𝑎
𝑢
𝑥
𝑥
. ln 𝑒 𝑑𝑥
2 ln 4
2𝑥+ 1
ln 4
2 𝑥+ 1
. ln 4 𝑑𝑥
MAIS EXEMPLOS:
′
𝑢
ln 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑢
𝑥
2
𝑢′
𝑎
𝑢
ln 𝑎
𝑎
𝑢
ln 𝑥
𝑢′
𝑎
𝑢
ln 𝑎
𝑎
𝑢
𝑢′
𝑎
𝑢
?
=
1
2 ln 5
5
𝑥
2
- 𝐶
𝑎
𝑢
=
1
2 ln 5
න 2 𝑥. 5
𝑥
2
. ln 5 𝑑𝑥
ln 8
ln 𝑥
ln 𝑥
ln 8
ln 𝑥
ln 8 𝑑𝑥
REGRA PRIMITIVAÇÃO DE EXPONENCIAIS:
REGRA DE DERIVAÇÃO:
ln 𝑢
′
𝑢
′
𝑢
𝑢
′
𝑢
𝑑𝑥 = ln 𝑢 + 𝐶
REGRA DE PRIMITIVAÇÃO:
LOGARITMOS NEPERIANOS
ln 𝑢 +𝐶 = ቊ
ln 𝑢 + 𝐶 , 𝑢 > 0
ln −𝑢 + 𝐶 , 𝑢 < 0
ln 𝑢 + 𝐶
𝑥
′
= ൞
𝑢
′
𝑢
, 𝑢 > 0
𝑢
′
𝑢
, 𝑢 < 0
CÁLCULO II
− 1
𝑢
′
𝑢
EXEMPLOS:
= ln 𝑥 + 𝐶
ln 𝑢
2
ln 𝑥
2
2
𝑢
′
𝑢
ln 𝑢
4𝑥
4𝑥
ln 𝑒
4𝑥
4𝑥
4𝑥
𝑢
′
𝑢
ln 𝑢
ln 𝑒
4𝑥
𝑢
′
𝑢
𝑑𝑥 = ln 𝑢 + 𝐶
REGRA PRIMITIVAÇÃO DE LOGARITMOS:
3. Método de Primitivação
por Partes
3. Primitivação por Partes
′
′
Prova:
𝑢𝑣
′
= 𝑢
′
𝑣 + 𝑢𝑣
′
⇔ න 𝑢
′
𝑣 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − න 𝑢𝑣
′
𝑑𝑥
⇔ 𝑢𝑣 = න 𝑢
′
𝑣 𝑑𝑥 + න 𝑢𝑣
′
𝑑𝑥
⇔ න 𝑢𝑣
′
𝑑𝑥 = න 𝑢
′
𝑣 𝑑𝑥 + න 𝑢𝑣
′
𝑑𝑥