IntroducaoAlgebraVetorial.pdf, Notas de aula de Geometria

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Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Vetorial

Francisco Edson da Silva

Simone Batista

Conte´udo

10.7.2 Angulo entre Reta e Plano....................... 214ˆ

• 1 As Grandezas Vetoriais
  • 1.1 Introdu¸c˜ao
  • 1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais
  • 1.3 Segmentos Orientados
  • 1.4 Vetores
  • 1.5 Exerc´ıcios
• 2 Sistema de Coordenadas Cartesianas
  • 2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano
    • 2.1.1 Defini¸c˜ao
    • 2.1.2 Localizando pontos no plano
    • 2.1.3 Divis˜ao do plano em quadrantes
    • 2.1.4 Distˆancia entre dois pontos do plano
  • 2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espa¸co
    • 2.2.1 Defini¸c˜ao
    • 2.2.2 Localizando pontos no espa¸co
    • 2.2.3 Divis˜ao do espa¸co em octantes
    • 2.2.4 Distˆancia entre Dois Pontos do Espa¸co
  • 2.3 Exerc´ıcios
• 3 Vetores no Plano e no Espa¸co
  • 3.1 Vetores no Plano
  • 3.2 Vetores no Espa¸co
  • 3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor
    • 3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano
    • 3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espa¸co
  • 3.4 Vetor Nulo
  • 3.5 Igualdade de Vetores
  • 3.6 Norma de Vetor: Vers˜ao Alg´ebrica
  • 3.7 Coplanariedade
  • 3.8 Exerc´ıcios
• 4 Multiplica¸c˜ao de N´umero Real por Vetor
  • 4.1 Introdu¸c˜ao
  • 4.2 Defini¸c˜ao e Interpreta¸c˜ao Geom´etrica
  • 4.3 Propriedades da Multiplica¸c˜ao de N´umero Real por Vetor
  • 4.4 Vers˜ao Alg´ebrica da Multiplica¸c˜ao de N´umero Real por Vetor
  • 4.5 Paralelismo entre vetores
  • 4.6 Exerc´ıcios
• 5 Adi¸c˜ao de Vetores
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 Adi¸c˜ao de Vetores: Vers˜ao Geom´etrica
    • 5.2.1 Regra do Paralelogramo
    • 5.2.2 Regra do Pol´ıgono ou Regra do “Fim de um no come¸co do outro”
  • 5.3 Propriedades da Adi¸c˜ao de Vetores
  • 5.4 Adi¸c˜ao de Vetores: Vers˜ao Alg´ebrica
  • 5.5 Aplica¸c˜oes da Adi¸c˜ao de Vetores
    • da Adi¸c˜ao de Vetores 5.6 Resumo das Propriedades da Multiplica¸c˜ao de N´umero Real por Vetor e
  • 5.7 Exerc´ıcios
• 6 Adi¸c˜ao de Ponto com Vetor
  • 6.1 Defini¸c˜ao
  • 6.2 Propriedades da Adi¸c˜ao de Ponto com Vetor
  • 6.3 Vers˜ao Alg´ebrica de Adi¸c˜ao de Ponto com Vetor
  • 6.4 Coordenadas do Ponto M´edio
  • 6.5 Exerc´ıcios
• 7 Produto Escalar
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 Produto Escalar: vers˜ao geom´etrica
  • 7.3 Propriedades do Produto Escalar
  • 7.5 Produto Escalar: Vers˜ao Alg´ebrica 7.4 Produto Escalar e Angulo entre Vetores 127ˆ
  • 7.6 Trabalho de uma For¸ca
  • 7.7 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 7.8 Decompondo Vetores
  • 7.9 Exerc´ıcios
• 8 Produto Vetorial
  • 8.1 Introdu¸c˜ao
  • 8.2 Produto Vetorial: Vers˜ao Geom´etrica
  • 8.3 Propriedades do Produto Vetorial
  • 8.4 Produto Vetorial e Area de Pol´´ ıgonos
  • 8.5 Produto Vetorial: Vers˜ao Alg´ebrica
  • 8.6 Torque de uma For¸ca
  • 8.7 Exerc´ıcios
• 9 Retas e Planos
  • 9.1 Introdu¸c˜ao
  • 9.2 Retas
    • 9.2.1 Introdu¸c˜ao
    • 9.2.2 Retas no Plano
    • 9.2.3 Retas no Espa¸co
  • 9.3 Planos
    • 9.3.1 Introdu¸c˜ao
    • 9.3.2 Equa¸c˜oes do Plano
    • 9.3.3 Justificativa da Equa¸c˜ao Geral do Plano
  • 9.4 Exerc´ıcios
• 10 Posi¸c˜ao Relativa: Disposi¸c˜ao, ˆAngulos e Distˆancias
  • 10.1 Introdu¸c˜ao
  • 10.2 Distˆancia de Ponto a Ponto
  • 10.3 Distˆancia de Ponto a Reta
  • 10.4 Distˆancia de Ponto a Plano
  • 10.5 Posi¸c˜ao Relativa entre Retas
    • 10.5.1 Posi¸c˜ao Relativa entre Retas no Plano
    • 10.5.2 Posi¸c˜ao Relativa entre Retas no Espa¸co
  • 10.6 Posi¸c˜ao Relativa entre Planos
    • 10.6.1 Disposi¸c˜ao entre Dois Planos
    • 10.6.2 Angulo entre Dois Planosˆ
    • 10.6.3 Distˆancia entre Dois Planos
  • 10.7 Posi¸c˜ao Relativa entre Reta e Plano
    • 10.7.1 Disposi¸c˜ao entre Reta e Plano

10.7.3 Distˆancia entre Reta e Plano...................... 215 10.8 Exerc´ıcios.................................... 218

v

Como exemplos deste tipo de grandeza podemos citar:

1. o comprimento de um terreno. 20 m;
2. a temperatura da sala: 21o^ C;
3. a dura¸c˜ao de uma aula: 50 min;
4. a altura de uma pessoa;
5. a massa de um objeto;
6. a diferen¸ca de potencial el´etrico.

Assim temos que, por defini¸c˜ao, as grandezas que podem ser completamente definidas por sua magnitude s˜ao chamadas de grandezas escalares. As grandezas escalares, como vimos pelos exemplos, s˜ao onipresentes em nosso dia- a-dia. Trabalhar com grandezas escalares ´e simples e j´a estamos bastante acostumados a trabalhar com elas. Realizar opera¸c˜oes aritm´eticas envolvendo este tipo de grandeza ´e realizar opera¸c˜oes aritm´eticas envolvendo n´umeros reais.

Exemplo:

1. Jo˜ao comprou um terreno retangular para contruir a casa de seu sonhos. Sabendo que o comprimento do terreno ´e de 20,0 m e que a largura do terreno ´e de 18,0 m, calcule a ´area do terrreno. Resolu¸c˜ao: Sabemos que a ´area de um retˆangulo ´e o produto de sua largura por seu comprimento:

A = h · l

Portanto:

A = h · l = 20, 0 × 18 , 0 = 360m^2

Portanto, a ´area do terreno comprado por Jo˜ao para fazer a casa de seus sonhos ´e de 360 m^2.

2. O recorde mundial da maratona ´e de 2 horas 3 minutos e 28 segundos obtido por Patrick Makau na maratona de Berlin em 2011. Sabendo que o percurso total da maratorna ´e de 42.195 metros, determine a velocidade m´edia de Patrick na prova em que ele obteve este recorde. Resolu¸c˜ao: Sabemos que a velocidade m´edia de um m´ovel ´e dada por:

vm = ∆ ∆st onde ∆s ´e a distˆancia percorrida e ∆t ´e o tempo gasto para percorrer essa distˆancia. Assim, como ∆s = 42195 m e ∆t = 7408 s, temos que a velocidade m´edia de Patrick na maratona em bateu o recorde mundial foi de:

vm = ∆s ∆t

=^42195

∼= 5, 70 m/s

Portanto, a velocidade m´edia de Patrick na prova em que conseguiu o recorde mundial da maratona foi vm ∼= 5, 70 m/s

Diversos outros problemas e exemplos envolvendo apenas grandezas escalares aparecem em nosso cotidiano e j´a estamos acostumados a trabalhar com esse tipo de grandeza matem´atica. Por outro lado, na maioria dos problemas de F´ısica, Matem´atica e Engenharia, al´em das grandezas escalares, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais. Por isto pre- cisamos entender o que s˜ao esse tipo de grandeza matem´atica e aprender a trabalhar com elas.

Diferente das grandezas escalares, h´a grandezas que precisam de mais que uma inten- sidade ou magnitude para serem descritas. Estas precisam de uma intensidade (associada a uma unidade), de uma dire¸c˜ao e de um sentido para serem totalmente caracterizadas. Estas grandezas s˜ao chamadas grandezas vetoriais. Para come¸carmos a entender estas grandezas, vamos a um exemplo.

Como pudemos perceber pelo exemplo acima, para especificar completamente uma grandeza vetorial precisamos explicitar:

⋄ a intensidade ou o tamanho ou o comprimento ou a magnitude ou a norma;

⋄ a dire¸c˜ao; e

⋄ o sentido.

Neste livro usamos, indiferentemente, as palavras intensidade, tamanho, comprimento, magnitude e norma para nos referirmos `a mesma grandeza: o tamanho de um vetor. Podemos citar v´arias grandezas vetorias presentes em nosso dia-a-dia. Vejamos alguns exemplos simples.

Exemplos:

1. A for¸ca exercida sobre um corpo ´e uma grandeza vetorial. Sobre uma bola pendurada no teto atua uma for¸ca de 2 N , na dire¸c˜ao vertical, de baixo para cima.
2. O deslocamento de um corpo ´e uma grandeza vetorial. O livro da figura foi deslocado 75 cm sobre a mesa, na dire¸c˜ao horizontal e no sentido da esquerda para direita.

3. A velocidade de um carro ´e uma grandeza vetorial. O carro da figura est´a a 50 quilˆometros por hora, na dire¸c˜ao que forma 30◦^ com a horizontal no sentido de baixo para cima.

Ap´os entendermos, nesta se¸c˜ao, o que s˜ao grandezas vetoriais e observarmos a sua onipresen¸ca em nosso cotidiano, precisamos classificar e estudar os tipos de grandezas vetoriais. Na verdade, vamos estudar e trabalhar com dois tipos de grandezas vetoriais: segmentos orientados; e vetores. Nosso objetivo principal neste livro ´e aprender a trabalhar com os vetores, mas n˜ao vemos sentido em atingir este objetivo sem entendermos, tamb´em, o que s˜ao segmentos orientados e quais as diferen¸cas entre vetores e segmentos orientados. Assim, nas pr´oximas se¸c˜oes deste cap´ıtulos vamos estudar os conceitos de segmentos orientados e de vetores. Explicitamente, vamos definir segmento orientado para, a partir deste conceito, definir vetor.

1.3 Segmentos Orientados

Segmento orientado ´e um segmento de reta ou um peda¸co de reta com um sentido fixado. Um segmento de reta liga dois pontos do plano ou do espa¸co tridimensional.

Observa¸c˜oes:

1. O segmento orientado

AB ´e diferente do segmento orientado

BA. Eles tem a mesma dire¸c˜ao, e o mesmo comprimento, mas tem sentidos diferentes. Dizemos que − AB→ e − BA→ tem sentidos opostos ou que s˜ao vetores opostos.

2. Ser´a ´util considerarmos segmentos que tem ponto inicial igual ao ponto final. Dize- mos que estes segmentos orientados s˜ao ‘degenerados’, pois, na verdade eles n˜ao s˜ao segmentos orientados. Os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final ser˜ao denominados de segmentos orientados nulos. Exemplos: − AA,→ − OO,→ − BB−→.

No conjunto dos segmentos orientados vamos definir uma rela¸c˜ao. Dizemos que dois segmentos orientados se relacionam se eles tem a mesma dire¸c˜ao, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se o segmento orientado − AB→ se relaciona com o segmento orientado − GH−→ escrevemos − AB→ ∼ − GH−→.

Esta rela¸c˜ao tem propriedades bastante interessantes. Dados os segmentos orientados − AB→, − CD−→ e − EF→ , temos as seguintes propriedades:

1. − AB→ ∼ − AB→. Propriedade Reflexiva.
2. Se − AB→ ∼ − CD−→ ent˜ao − CD−→ ∼ − AB→ Propriedade Sim´etrica.
3. Se − AB→ ∼ − CD−→ e − CD−→ ∼ − EF→ , ent˜ao − AB→ ∼ − EF→. Propriedade Transitiva.

Quando uma rela¸c˜ao tem as propriedades reflexiva, sim´etrica e transitiva dizemos que esta rela¸c˜ao ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. A rela¸c˜ao entre segmentos orientados, definida acima ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. Esta rela¸c˜ao de equivalˆencia ‘divide’ ou par- ticiona o conjunto dos segmentos orientados em subconjuntos que s˜ao chamados classes de equivalˆencia ou classes de equipolˆencia. Esta ‘divis˜ao’ ´e uma ‘boa’ divis˜ao pois, cada segmento orientado pertence a uma, e somente uma, classe de equivalˆencia. As rela¸c˜oes de equivalˆencia foram apresentadas aqui apenas como uma curiosidade para maiores detalhes vocˆe pode consultar um livro de mais avan¸cado de Algebra.´

1.4 Vetores

Um vetor ´e o conjunto de todos os segmentos orientados do espa¸co que tem mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo comprimento. Neste caso, cada segmento orientado ´e chamado de representante do vetor. Chamamos de espa¸co vetorial e denotamos por V o conjunto de todos os vetores no plano ou no espa¸co tridimensional. Em geral, usaremos letras min´usculas, do nosso alfabeto, com uma seta em cima para designar um vetor. Por exemplo, as grandezas a seguir s˜ao vetores: −→v , −→u e −→w. Alguns autores usam letras min´usculas, do nosso alfabeto, em negrito para designar vetores. Nesse caso ter´ıamos como exemplo de representa¸c˜ao de vetores v, u e w. Em nosso livro, n˜ao vamos usar nota¸c˜ao de vetores em negrito por entendermos que causa causa confus˜ao e problemas ao estudante tentar representar vetores usando essa nota¸c˜ao ao escrever ‘`a m˜ao’ em cadernos de anota¸c˜oes, testes e provas.

O conceito de vetor ´e, em algum sentido, parecido e algumas vezes at´e confundido com o conceito de segmento orientado. Mas, existem diferen¸cas. As principais diferen¸cas entre segmentos orientados e vetores est˜ao listadas a seguir:

i. Um segmento orientado tem lugar fixo no plano ou no espa¸co. Enquanto um vetor n˜ao tem lugar fixo no plano ou no espa¸co.

ii. Um segmento orientado n˜ao ´e totalmente caracterizado por sua dire¸c˜ao, seu sentido e seu comprimento. J´a um vetor ´e totalmente caracterizado por sua dire¸c˜ao, seu sentido e seu comprimento.

iii. Um segmento orientado est´a totalmente caracterizado por seu ponto inicial e por seu ponto final. E um vetor n˜ao tem ponto inicial fixo ou ponto final fixo no espa¸co.

iv. Um segmento orientado n˜ao ‘anda’ no espa¸co, o segmento orientado est´a fixado no espa¸co, tem um ponto inicial A e um ponto final B fixos no plano ou no espa¸co. E um vetor ‘anda’ no espa¸co, ou seja, fixado um vetor e dado um ponto A existe um representante deste vetor que tem ponto inicial em A, e dado um ponto B existe um representante deste vetor que tem ponto inicial em B.

2. Um segmento orientado com:
   • Dire¸c˜ao: horizontal,
   • Sentido: orientado da esquerda para direita
   • Comprimento: 1cm,
   • Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto A e t´ermino no ponto B.

REPRESENTA O MESMO VETOR

Que um segmento orientado com:

• Dire¸c˜ao: horizontal,
• Sentido: orientado da esquerda para direita
• Comprimento: 1cm,
• Pontos inicial e final: in´ıcio no ponto C e t´ermino no ponto D (A ̸= C e B ̸= D).

Assim:

Do exposto at´e o momento, podemos apresentar o seguinte conceito para vetor. Vetor: ´e o conjunto de todos segmentos orientados de mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo comprimento. E com a rela¸c˜ao de equivalˆencia que definimos no conjunto dos segmentos orientados, na se¸c˜ao anterior, podemos completar a defini¸c˜ao de vetor definindo um vetor como uma classe de equivalˆencia ou classe de equipolˆencia. Esta ´e uma defini¸c˜ao, matematicamente, mais precisa. Com esta defini¸c˜ao, vetor, por ser uma classe de equivalˆencia, j´a tem v´arias propriedades. Mas, para um primeiro curso de gradua¸c˜ao podemos ficar com a defini¸c˜ao de vetor como conjunto de segmentos orientados com mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo comprimento.

Exemplos

1. Na figura abaixo contida no plano (IR^2 ) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura?

Resposta: Destacando com cores diferentes os diferentes vetores (ver figura a seguir) vemos que h´a 5 vetores na figura.

3. Na figura abaixo temos um cubo, onde marcamos 12 segmentos orientados. Quantos vetores temos?

Resposta: Marcando os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir), percebemos que h´a 7 vetores na figura.

Vamos querer fazer opera¸c˜oes com vetores, assim vamos estudar e estruturar melhor o conjunto V de todos os vetores no espa¸co.

1. Se −→v ´e um vetor, ou seja, −→v ∈ V ent˜ao −→v ´e um conjunto de segmentos orientados. Cada elemento de V ´e um conjunto. V ´e um conjunto de conjuntos.
2. Se −→v ´e um vetor, ent˜ao −→v ´e um conjunto de segmentos orientados, todos com mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo tamanho. Cada elemento de −→v ´e denominado representante de −→v. Muitas vezes, inclusive nas opera¸c˜oes entre vetores, usaremos representantes dos ve- tores. Dado um vetor −→v e fixado um ponto A no espa¸co, existe um representante de −→v que tem in´ıcio em A. Fixado outro ponto B, temos outro representante de −→v que tem in´ıcio em B. Por isso, algumas vezes dizemos que vetor ‘anda’ no espa¸co. Dado um vetor, −→v ∈ V definimos: ⋄ Dire¸c˜ao: A dire¸c˜ao do vetor −→v ´e a dire¸c˜ao de um, ou seja, de qualquer representante deste vetor.

⋄ Sentido: O sentido do vetor −→v ´e o sentido de um dos representantes deste vetor.

⋄ Norma: A norma ou m´odulo de −→v ´e o comprimento ou tamanho de um dos representantes deste vetor. A nota¸c˜ao que vamos usar para norma do vetor −→v ´e |−→v |.

Exemplo: Considere o cubo da figura abaixo com v´ertices ABCDEFGH.

i) Os segmentos orientados − AB,→ − DC,−→ − EF ,→ − HG−→ s˜ao alguns dos representantes de um vetor que denotaremos por −→u.

ii) Os segmentos orientados − BA,→ − CD,−→ − F E,→ − GH−→ s˜ao alguns dos representantes de um vetor que denotaremos por −→w.

iii) Os segmentos orientados − AE,→ − CG,→ − DH,−→ − BF−→ s˜ao alguns dos representantes de um vetor que denotaremos por −→ t.

iv) Os segmentos orientados − EC,−→ − GA→ n˜ao s˜ao representantes de um ´unico vetor, eles representam vetores distintos. Tamb´em n˜ao confundir os segmentos orientados − HB−→ e − F D−→. Estes vetores s˜ao destacados nos cubos da figura abaixo.