1
Conceito
Função densidade de probabilidade e função de
distribuição
Valor esperado e variância
Variáveis aleatórias contínuas
Uniforme
Exponencial
Normal
Distribuições de probabilidade
χ2
t
F
Profª Lisiane Selau
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Isostática material de estudos, Notas de estudo de Engenharia Civil
Isostática material de estudo para prova do primeiro período
Tipologia: Notas de estudo
2023
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Conceito
Função
densidade
de
probabilidade
e
função
de
distribuição
Valor esperado e variância
Variáveis aleatórias contínuas
Uniforme
Exponencial
Normal
Distribuições de probabilidade
2
t
F
Profª Lisiane Selau
Variáveis aleatórias contínuas
Definição:
São contínuas todas as
variáveis cujo espaço
amostral
S
X
é
não enumerável
Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir
qualquer valor num intervalo
[a; b]
ou no intervalo
O espaço
S
X
será sempre definido como um intervalo do
conjunto dos
reais
, sendo, portanto, um conjunto infinito.
Exemplos:
tempo de reação de uma mistura
vida útil de um componente eletrônico
peso de uma pessoa
produção de leite de uma vaca
quantidade de chuva que ocorre numa região
Profª Lisiane Selau
área = 1
área = 1
S
X
x
f
(x)
0
S
X
f
(x)
x
0
Profª Lisiane Selau
Exemplo: Seja a função
f (x) = 2x
, no intervalo
S
X
= [0,1]
. Verifique se f (x)
é uma função densidade de probabilidade.
Primeira condição:
f (x)
≥≥≥≥
0,
∀∀∀∀
x
∈ ∈
∈ ∈
S
X
f (x=0) = 2
×
×
×
×
f (x) = 2x
f (x=1) = 2
××××
x
0
1
2
1
f
(x)
Todos os valores da função f (x) são não
negativos no intervalo de 0 a 1.
S
X
Como a função é linear, são necessáriosdois pontos para traçar a reta.Por conveniência esses pontos são oslimites do intervalo S
X
.
Profª Lisiane Selau
Seja
A=[0, 1/2].
Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A?
Área:
h
b
×
×
A
Probabilidade = área
P(
X
Profª Lisiane Selau
8
Importante!!!
No caso de variáveis contínuas, as representações
a
x
b
a
x
b
a
x
b
e
a
x
b
são todas equivalentes, pois a
probabilidade num ponto, por definição, é nula.
∫
∫
=
−
=
=
=
A
a a
0
F(a)
F(a)
x
f(x)d
f(x)dx
P(A)
Seja o evento
A={x; x=a}
. Então,
A
Profª Lisiane Selau
x
F(x)
f(t) dt
−∞
=
∫
Exemplo:
f (x) = 2x, S
X
=[0,1]
2
x
F(x)
=
x 0
2t dt
=
∫
x
2
0
t
2
2
=
Profª Lisiane Selau
2
x
F(x)
=
A=[0, 1/2] B=[1/2, 1]
1
1
P(X
F(1)
2
=
=
≤
=
1/
1/
1/
X
P
1/
F
2
=
=
≤
=
P(A)
= F(1/2)=1/
P(B)
= F(1)
F(1/2) =1-1/4=3/
Exemplo:
f (x) = 2x, S
X
=[0,1]
0
0
P(X
F(0)
2
=
=
≤
=
Profª Lisiane Selau
13
∫
−
=
−
=
=
X
S
2
2
2
f(x)dx
μ
)
(x
μ
)
E(X
σ
V(X)
Medidas descritivas
(Fórmula de definição)
Definição:
Seja X uma variável aleatória contínua e S
X
o seu espaço
amostral. A variância de X, denotada por
V(X)
ou
σ σ
σ σ
2
, será dada por
2
S
2
2
2
2
μ
f(x)dx
x
μ
)
E(X
σ
V(X)
X
−
=
−
=
=
∫
(Fórmula prática)
Variância
Exemplo:
f (x) = 2x, S
X
=[0,1]
= σ
=
− μ
2
2
2
V(X)
E(X )
=
− μ
1
2
2
0
x 2x dx
=
−
1
3
0
2
2x
dx
3
=
−
1
4
0
x
4
2
4
9
=
−
1
4
2
9
−
=
=
9
8
1
18
18
Profª Lisiane Selau
Exercício: Determinar a média e a variância da vac cuja fdp é dadapor:f(x) = 3x
2
se
x
Solução: μ
= E(X)
σ
2
= V(X)
0
1
x f(x) dx
−
0
2
1
x (3x ) dx
−
0
3
1
(3x ) dx
−
0
4
1
x
−
0
2
2
1
x f(x) dx
−
2
0
2
2
1
3
x (3x ) dx
4
−
=
− −
0
4
1
9
3x
dx
16
−
=
−
0
5
1
x
9
3
16
5
−
=
−
μ
= -3/
e
σ
2
= 3/
3
9
5
16
=
−
3
80
=
Profª Lisiane Selau
- Distribuição Uniforme
Definição:
Seja X uma variável aleatória contínua que
assume valores no intervalo [
α
β
]. Se a probabilidade de
X assumir valores num subintervalo é a
mesma
que para
qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento,então, esta variável tem distribuição uniforme.
Profª Lisiane Selau
Função densidade de probabilidadeFunção de probabilidade acumulada
para
x
f(x)
em caso contrário
α
β
β
α
∫
∞
−
x
dx
f(x)
0,
se x
x
,
se
x
1,
se x
<
−
≤
≤
−
α
α
α
β
β
α
β
F(x) = P(X
≤
x) =
=
x
Profª Lisiane Selau
x
Descrição
probabilística
de
uma
variável
aleatória
contínua
que
assume valores no intervalo
[
α
,
β
], cuja probabilidade de assumir
valores
num
subintervalo
é
a
mesma
que
para
qualquer
outro
subintervalo de mesmo comprimento.
RESUMO - Distribuição Uniforme
Função dens. probabilidade
Parâmetros
Medidas descritivas
(
)
E(X)
2
=
=
β
α
μ
2
2
(
)
V(X)
− 12
=
=
β
α
σ
α
: menor valor para o qual a variável X está definida
β
: maior valor para o qual a variável X está definida
1
,
para
x
f(x)
0,
em caso contrário
≤
≤
−
=
α
β
β
α
Profª Lisiane Selau
Exemplo:
Seja
X
uma
variável
aleatória
contínua
com
distribuição
uniforme
no
intervalo
[5,
10].
Determinar
as
probabilidades:a) P(X < 7)b) P(X > 8,5)c) P(8 < x < 9)
Utilizando a função de distribuição acumulada:a) b) c)
20
x
α
β
α
−
−
=
=
<
x x F x X P
)
(
)
(
0,
2 5
5
10
5
7
P(X
= = − − = −
−
=
<
α
β
α
x
0,
5
1,
5
10
8,
10
8,5)
P(X
= = − − = −
−
=
α
β
β
x
0,
5
1
5
10
5
8
5
10
5
9
P(X
P(X
X
P(
= = − − − −
−
=
−
−
−
−
− = < < = < <
α
β
α
α
β
α
1
2
x
x
Profª Lisiane Selau