Introdução à isostática , Teses (TCC) de Engenharia Mecânica

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zação, por escrito, da EESC.

1 a edição; tiragem: 1.000 exemplares.

Projeto gráfico: Gerson Luiz Carbonero, Luciana Lopez Martini, Reginaldo Peronti

Capa: Luciana Lopez Martini; foto: João Batista de Paiva

Serviços de revisão, produção e coordenação de produção gráfica: A. MelloPiscis Editora

Suporte técnico: Claudinei FabrícioIServiço de apoio a publicações

Ficha catalogrllica preparada pela Seçáo de Tratamento da Informaçáo do Serviço de Biblioteca - EESC-USP

Machado Junior; Eloy F e r r a ~

M 149i Introdução à isostática I Eloy FerrazMachado Junior. -- São Carlos : EESC-USP, 1999.

[260] p. : il. Inclui referências bibliográficas e índice. Projeto REENGE. ISBN 85-85205-28-

1. Teoria das estruturas. 2. Estática das estruturas. 3. Estática. 4. Isostática. I. Título.

A Lilia Maria, Eloy Neto, Carlos Gustavo, João Guilherme e Maria Augusta

Princípios Elementares da Estática

 - INTRODUÇAO 

• CONCEITO DE FORÇA
• CLASSESDEFORÇA
  • PONTO MATERIAL E CORPO R~GIDO..........................
    • MATERIAL FORÇAS DE DIREÇOES QUAISQUER APLICADAS NO MESMO PONTO
  • COMPONENTES CARTESIANAS DA RESULTANTE
  • FORÇAS COPLANARES APLICADAS NO MESMO PONTO MATERIAL
  • FORÇAS APLICADAS NO MESMO CORPO R~GIDO.................
  • MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO
  • MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO
  • BINÁRIO
    • R~GIDOA UMA FORÇA MAIS UM BINÁRIO REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS APLICADAS EM UM CORPO
  • FORÇAS COPLANARES APLICADAS NA MESMA "CHAPA" R~GIDA......
• 2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 2 Elementos e Formas Fundamentais das Estruturas
• 2.2 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS
• 3.1 GENERALIDADES 3 Vincuiação dos Sistemas Planos
• 3.2 REPRESENTAÇÁO DOS DIFERENTES TIPOS DE V~NCULOSPLANOS
• 3.3 DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS PLANAS
• 3.4 CASOS EXCEPCIONAIS

3.5 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTLIRAS QUANTO A SUA DETERMINAÇAO

GEOMETRICA. .- - - - - - - -..- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41

Equilíbrio dos Sistemas Planos

5 Esforços Solicitantes em Estruturas Planas Estaticamente Determinadas

5.1 GENERAI-IDADES. - --.- -. - - - -- - .- .-..- .. ..-- - - - - - - - - - - - - - 79 5.2 DEFINIÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS OU ESFORÇOS SOLICITANTES 80

5.3 SIMPLIFICAÇÃO PARA OS SISTEMAS PLANOS.^ -^ -^ .-^ -^ .-^ -^ -^ -^ -^ -^ -^ -^ -^ .-^.^84

Esta publicação foi baseada em notas de aula, preparadas para as discipli- nas de Resistência dos Materiais e Isostática, ministradas, pelo autor, na Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, e na revisão bibli- ográfica efetuada durante a elaboração do texto. As matérias abordadas em cada capítulo são apresentadas em linguagem simples e didática e pretendem representar, para os estudantes de engenhariae ar- quitetura, o papel de guia durante os primeiros caminhos trilhados na área de en- genharia de estruturas. Os assuntos abordados nesta publicação estão reunidos em oito capítulos. No capítulo 1 são tratados os princípios gerais, elementares, da Estática Clássica, quando são introduzidos os conceitos de força, ponto material e corpo rígido. As forças aplicadas, tanto no ponto material quanto no corpo rígido, são analisadas, vetorialmente, inicialmente no espaço e particularizadas para o plano. Para o es- tudo do corpo rígido são introduzidos os conceitos de momento, binário e redução de forças, em relação a um ponto. No capítulo 2, o leitor tem seu primeiro contato com os elementos e formas estruturais e sua classificação a partir da geometria de seus componentes. O foco 6 dirigido, em particular, para as estruturas lineares planas, quando então os ele- mentos lineares são diferenciados pelo papel que desempenham no conjunto da estrutura. No capítulo 3 são apresentados os vínculos entre os elementos componen- tes das estruturas planas e destas com a terra. São indicados os graus de detemi- nação das estruturas planas convencionais em função das restrições ao deslocamento impostas pelos vínculos. Uma breve abordagem cinemática é feita com o intuito de apresentar ao leitor os casos excepcionais, cuja exclusão dos ar- ranjos estruturais lineares confere a condição "suficiente" para a deteminacáo geométrica das estruturas planas.

O capítulo 4 trata do equilíbrio dos sistemas planos, onde são relacionados os diversos tipos de cargas aplicadas e sua classificação. As equações de equilí- brio, tratadas no capítulo 1, são utilizadas no cálculo das reações externas e inter- nas, despertadas pelas cargas e impostas pelos vínculos. Os exemplos resolvidos foram selecionados para proporcionar ao leitor uma visão bastante abrangente das diversas formas estruturais planas submetidas às mais variadas combinações de carregamentos estáticos. No capítulo 5 são definidos os esforços solicitantes no caso geral e a par- ticularização para os sistemas planos, bem como o significado das convenções de sinais. Através de exemplos simples, os esforços solicitantes são calculados por equilíbrio, pelo método das seções ou diretamente. No capítulo 6 são tratados os diagramas de estado, representação gráfica dos esforços internos, mostrando o traçado dos diagramas obtidos analiticamente e através de relações diferenciais entre cargas, força cortante e momento fletor. O capítulo 7 é inteiramente dedicado a exemplos de aplicação resolvidos pelo método direto. Inicialmente, por motivos puramente didáticos, são aborda- das as vigas simples, inclusive as inclinadas e as curvas, passando pelas vigas Gerber, pelos pórticos, arcos e grelhas, de barras retas e barras curvas, mais co- nhecidas como vigas balcão. Finalmente, no capítulo 8 são tratados os esforços internos nas estruturas em treliça, simples e complexas, calculadas analiticamente pelo método dos nós e método das seções. O cálculo gráfico, pelo método de Cremona, é objeto de uma seção exclusiva, motivada pela sua genialidade e importância histórica. Encerrando a publicação, vêm as referências utilizadas na revisão biblio- gráfica, que de modo algum esgotam a bibliografia referente ao tema. Por fim, quero expressar meus agradecimentos ao professor João Carlos Antunes de Oliveira e Souza, pelas sugestões. Ao Rui Roberto Casale, pela digi- tação; ao Francisco Carlos Guete de Brito e à Sylvia Helena Morette Villani, pela elaboração dos desenhos do texto embrião desta publicação.

. -15- que tem precisão suficiente na grande maioria dos casos. A força^^6 portanto^ re- presentada por um vetor e necessita, para sua definição, da sua intensidade, direção, sentido e do seu ponto de aplicação. A unidade de força no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o newton (N), definido como a forca que imprime à massa de I kg uma aceleração de I d s ' , Fig. 1. Figura 1.

1N = (Ikg) x ( l m / s 2 ) = l k g. m / s 2

1.3 - CLASSES DE FORÇAS

As forças que atuam num corpo ou sistema de corpos podem ser classifi- cadas como forças externas e internas. As externas são aquelas devidas a ações externas ao conjunto que se analisa. As internas são as originadas pela interaçáo entre os pontos ou corpos que constituem o conjunto analisado. As forças externas podem ainda ser classificadas em ativas e reativas. As ativas são geralmente dadas ou facilmente determináveis e atuam diretamente sobre o corpo ou sistema de corpos. As reativas são forças localizadas e surgem devido aos vínculos ou ligações que impedem movimentos. Só aparecem quando atuam forças ativas. Como exemplo observemos o bloco A apoiado sobre os blocos B e C, Fig. 1.2.a, todos submetidos à açáo dos seus pesos próprios. Considerando, para 3 aná- lise. somente o bloco A, Fig. 1.2.b, seu peso próprio P, é a força ativa a ser con- siderada. As pressões p,^3 e p,,^3 que os blocos B e C exercem sobre A, são as forças reativas. P,,^ +^ p,+^ e p,^3 são forças externas. As mesmas pressões p,^3 e +p,, com sentido contrário, são forças ativas atuando sobre B e C, Fig. 1.2.b. Analisando o conjunto formado pelo sistemade blocos ARC, Fig. 1.2.c, as

+ S -t (^) + + + forças P,, P, e P, são as ativas e as pressóes p', e p', serão as reativas. P,, i + + +

P, , P,, p', e p', são forças externas.

As pressaes +p,^ e +p, , entre os blocos B,C e o bloco A, não são consideradas

na análise do sistema ABC, pois são agora forças internas. No estudo das partes estas

forças aparecem sempre aos pares, com o mesmo valor mas com sentido contrário.

Figura 1.

1.4 - PONTO MATERIAL E CORPO R~GIDO

A força é a aqão de um corpo sobre outro. Em uma grande quantidade de

casos esta ação pode ser tratada, com boa precisão, como concentrada em um

único ponto. Quando o tamanho e a forma do corpo submetido à ação de forças

não afetam significativamente a análise do problema fisico, podemos considerar

estas forças aplicadas em uma única partícula ou ponto material.

O ponto material, portanto, s6 pode ser submetido a forças concorrentes e

tendo-se em vista que todas elas têm o mesmo ponto de aplicação, para a

definição de cada força basta sua intensidade, direção e sentido.

Quando a ação de várias forças se dá em pontos distintos de um corpo, há

que considerar sua forma e tamanho. O corpo, neste caso, pode ser tratado como

Figura 1.

Esta regra para a obtenção da resultante 6 conhecida como lei do paralelo-

gramo para adição de duas forças.

Usando o mesmo raciocínio, podemos utilizar a lei do paralelogramo, su-

cessivamente, para encontrar a resultante de várias forças aplicadas no mesmo

ponto, Fig. 1.5. A resultante +R pode ser expressa, portanto, como a soma veto-

ria1 das forças P,^ $^ , P,, $^ P, $ e 6 ,

Uma derivação desta lei é a regra do triângulo. Como o lado do paralelo- gramo oposto à força 6, representa P,^ $ em intensidade e direção, pode-se dese- nhar metade do paralelogramo. A regra consiste, portanto, em posicionar a origem de uma força à extremi- dade da outra, ligando a origem da primeira à extremidade da segunda, Fig. 1.6. Se as forças aplicadas em A, Fig. 1.7.a, estiverem contidas no mesmo plano (^) Figura 1.

Figura 1.

Figura 1.

• forças coplanares - é mais prático a aplicação sucessiva da regra do triângulo. Fig. 1.7.b. Omitindo-se as passagens intermediárias, temos a constmção conhecida como polígono das forças para a determinação da resultante, Fig. 1.7.c. Analogamente, a resultante pode ser expressa como a $ 9 3 3 soma vetorial das

forqas P , , P2, Pi e Pl ,conforme a equação (1.2).

Complementando, podemos enunciar o princípio da transmissibilidade ou

teorema da transposição de uma força ou, ainda, teorema da deslocabilidade do

ponto de aplicação da força: "A ação de uma força, sobre um corpo ngido, não se altera se se deslocar o ponto de apliça~iÍodesta força sobrc sua linha de ação", Fig. 1.8. Um resultado imediato deste enunciado é que uma força aplicada em um corpo rígido pode ser representada por um vetor deslizante.

Figura 1.

1.6 - COMPONENTES CARTESIANAS DA RESULTANTE

3 3 3

Seja o sistema de forças P , , ..., P , , ..., P. aplicadas no mesmo ponto.

Supondo o ponto de aplicação das forças, a origem O de um sistema de eixos 3

coordenados, triortogonais, x, y e z, uma força genérica P, terá, segundo os eixos

coordenados, três componentes, conforme a Fig. 1.9.a. As componentes esca- lares são as projeções de P, sobre os eixos e valeiii

Graficamente, a resultante também poderia ser obtida pela construção do

polígono das forças. N o caso espacial, no entanto, sua construção não é prática,

tomando-se mais cômodo o cálculo algébrico. Finalmente, podemos estabelecer as condições de equilíbrio de u m ponto

material submetido i ação de forças quaisquer.

De acordo com a primeira lei de Newton, um ponto material encontra-se

em equilíbrio - repouso ou movimento retilíneo e uniforme - se a resultante

das forças que agem sobre ele for nula. Então podemos escrever, vetorialmente,

algebricamente, através da nulidade das componentes,

graficamente, o equilíbrio do ponto material pode ser expresso pelo fechamento

do polígono das forças.

1.7 - FORÇAS COPLANARES APLICADAS NO MESMO PONTO MATERIAL

Supondo o ponto material na origem o de u m sistema de coordenadas car- tesianas 0, x, y, coplanares com as forças aplicadas no ponto, Fig. 1.10, e tendo

em vista a Seção anterior podemos escrever:

Componentes cartesianas da força genérica^3 P,

Xi = P, cose, ; Y, = P seno,

e, é o ângulo que a força P,^ + forma com o eixo x

Figura 1.

Módulo ou intensidade de +P;

Introduzindo os vetores unitários^ f i^ c fj , segundo os cixos x e y, podemos

expressar P,^3 como

P, = X , i i-Yi j (i. i 4)

As componentes da resultante do sistema de forças são

e sua intensidade será

A direção da resultante poderá ser obtida através de relações à semelhança

da eqoaçáo ( I. 12).

Graficamente, a determinação da resultante, no caso de forças coplanares,