Laboratório de Engenharia de Controlo (2021/22)
Trabalho 5a (adenda)
Adenda ao “Controlo digital de instalação de 3ª ordem (passa-baixo RC de 3ª ordem) com um
microcontrolador Arduino”
José Soares Augusto, Maio de 2022 (versão 0.99)
Nesta adenda inclui-se informação adicional que poderá ajudar na realização dos controladores do tipo PID, e
do controlador com feedback de variáveis de estado (SVF - “State Variable Feedback”).
SVF
Na implementação de SVF no Arduino o tempo Tnão interessa ao controlador. É no entanto parte integrante da
definição do período da onda quadrada r(t)usada como referência, e eventualmente controlará o intervalo entre
os comandos
Serial.println()
que servem para observar variáveis no
loop()
. Ou seja, ao calcular SVF num
sistema de ordem n
u=r−
n
∑
i=1
kixi(1)
os xisão os valores directamente lidos nos comandos
x1=analogRead(A1)
, etc... sem interferência de T.
Note que (1) é a única equação que implementa o controlador! Terá ainda que ter em conta a passagem de 10
bits para 8 bits nos conversores ADC (entrada) e DAC (saída) e prevenir a saturação do DAC PWM do Arduino
(limita-se uao intervalo 0...255).
Para calcular o vector Kque agrupa os kiuse o Scilab. Obtenha a FdT G(s)e as matrizes AeBdo MVE com os
seus valores de R e de C. Com a instrução
ppol()
calcule aquele vector K.
O vector Kdependerá da posição pretendida para os pólos do sistema com SVF, e como o sistema é controlável,
“em teoria” podemos escolher quaisquer pontos do plano spara os colocar. No entanto, devido às limitaçôes dos
actuadores (no nosso caso são as gamas dinâmicas do ADC e do DAC do Arduino, que só funcionam entre 0 V e 5
V) não convém ser muito agressivo (e.g. puxar os pólos muito para a esquerda no plano s) na tentativa de tornar
o sistema muito rápido. É também uma boa ideia implementar algum “overshoot” (que o RC3 em open-loop não
tem, visto ter três pólos reais). Outra opção será escolher um dos polinómios “óptimos” obtidos com o critério
ITAE (ver slides das aulas).
Uma sugestão razoável para escolher os novos pólos, tendo em atenção que:
1. lidamos com um sistema de 3ª ordem, com pólos [p1, p2, p3], onde p3 é o que tem a parte real mais negativa
2. é o pólo mais à direita no eixo real, p1, que limita a velocidade do sistema
3. o circuito RC3 em malha aberta (“open loop”) tem 3 pólos reais negativos,
é a seguinte:
1. manter o pólo mais negativo, p3, inalterado
2. juntar a p3 dois pólos complexos conjugados, com valor β|p1|(−1±j), onde βterá tipicamente um valor
entre 5 e 10
3. os 3 pólos para o projecto com SVF serão então [β|p1|(−1+j),β|p1|(−1−j),p3]. Use-os no
ppol()
para
calcular K.
O valor de βsugerido não deverá causar a excessiva saturação do DAC do Arduino.
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