Limite de uma função, Notas de estudo de Informática

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Nice Maria Americano costa Pinto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INTRODUÇÃO

Um pouco de história

Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. interesses de cálculos (diferenciação integração) O Cálculo Diferencial Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção Século XVII, as órbitas dos planetas. Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco, Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras. O Cálculo Integral área subtendida por curva limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva. Limite de uma função Século XIX; Bolzano (1817), técnica do “epsilon” ,“” e “delta”, “”; Cauchy (1821),a essência da idéia; Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa.

Limite de uma variável a- a a+ x x 1 x 2 x 3 Se  x-a  <  valer para todo  >0 , arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, x  a , lim x  a

Os valores x 1 , x 2 e x 3 da variável x , estão na vizinha  de x=a. Isto é, os valores xi

estão no intervalo a-  < xi <a+  (i=1,2,3)

Exemplos

1. x é a variável de valores

n x x x xn 1 ,..... 1 3 1 , 1 2 1 1 ^1 ,^2 ^13  

Essa variável tem um limite que é 1.

 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular , para provar

que a inequação |x-1 < . O ponto de partida será portanto a expressão

xi.ecalcular quanto ela vale;

  

   ^ 

x

ou n

n

para

n n

xn

2. x é a variável de valores

n n x x x x n 2 1 ,..... 1 ( 1 ) 2 1 , 1 2 1 , 1 2 1 1 (^1 )         

Essa variável tem um limite que é 1.

 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular .

    ^ 

log 2

log

log 2 log

x

n n

x para ou ou ainda

n n n n n n

8 0,5 0,75 1 1,25 1, 1o.termo 2o.termo 3o.termo 4o.termo 5o.termo 6o.termo (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x 1 =1, x 2 =1,25, x 3 =0,875, x 4 =1,0625, x 5 =96875, x 6 =1, >1/2^6 =0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 0,5 0,75 1 1,25 1, 1o.termo 2o.termo (n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x 1 =1, x 2 =1,25, >1/2^2 =0,25. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 0,5 0,75 1 1,25 1, 1o.termo 2o.termo 3o.termo (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x 1 =1, x 2 =1,25, x 3 =0,875, >1/2^3 =0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, n xn termos 1 1 1o.termo 2 1,25 2o.termo n xn termos 1 1 1o.termo 2 1,25 2o.termo 3 0,875 3o.termo n xn termos 1 1 1o.termo 2 1,25 2o.termo 3 0,875 3o.termo 4 1,0625 4o.termo 5 0,96875 5o.termo 6 1,015625 6o.termo

a (^) b x (b-a)/   (^)  

Observações

1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b.

2 lim lim b a impossível para x a e x b se x a e x b           

2. Não se imagine que toda variável tem um limite.

a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam : x  M

VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE

Seja a variável x o { x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ....xn}, mostrado na figura abaixo. x (^1) x 6 Xn-1 x x (^3) x 4 x 2 x 5 A partir de x 4 , todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente; para M=x 4 , |xi|>M, p/ i=5,6,7....n

Exemplos ( 4 2 ) 14 lim 3    x x ( 3 1 ) 7 lim 2    x x ? 0 0 4 4 2 3 2 lim     x x x (^2) x 3 1 4 1 lim 2    x x ? 0 0 5 5 2 5 lim     x x x x

Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo

do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o

qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites

  4 4 4 3 3 4 2 14 4 12 3 4 4 3 4 2 14 ( 4 2 ) 14 lim 3                          x x x x x x x x x Cálculo pela definição Se 14 é o lim f(X), quando x  3, temos que ter:

     4 2 2 4 4 1 2 4 1 ( 2 ) 4 1 2 1 4 1 2 3 1 4 1 2 3 1 4 1 1 3 / 2 4 1 lim 2                     x x x x x x x x x

                    2 2 2 4 ( 4 ) 2 4 4 2 4 4 2 2 2 3 2 3 2 lim x x x x x x x x x x x x