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Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa
Apontamentos Cálculo II
Lista 3.2 – Limite de uma Função
f: Df Թ ك
n
m
lim x՜a
f
x
b ֞
δ 0, ε 0:
x א Df ר 0 ൏ ԡx െ a
ԡ ൏ ε ֜
ԡ f
x
b
ԡ ൏ δ
f: D
f
n
lim
x՜a
ሾfሺxሻሿ ൌ b ֞ ሾ δ 0, ε 0: ሺx א Df ר 0 ൏ ԡx െ aԡ ൏ ε ֜ |fሺxሻ െ b| ൏ δሻሿ
f: D
f
2
lim ሺ x,y
ሻ՜ሺ a 1
,a 2
ሻ
ሾfሺx,yሻሿ ൌ b֞
ቂ δ 0, ε 0: ൬ሺ
x,yא ሻ D
f
ר 0 ൏ ඥሺx െ a
1
2
ሺy െ a
2
2
Limite de uma função de Թ
n
em Թ
m
num ponto de acumulação a do seu
domínio:
Valor ou vector do qual as imagens dos pontos do domínio da função que se encontram
junto a a estão muito próximas. Formalmente, b é o limite de uma função quando os seus
objectos se aproximam de a se, qualquer que seja a vizinhança definida à volta de b , for
possível definir uma segunda vizinhança à volta de a tal que todos os objectos que lhe
pertencem tenham imagens contidas na primeira vizinhança, com a possível excepção da
imagem de a (que pode não existir).
Limite de uma função escalar num ponto de acumulação a do seu domínio:
Limite de uma função de Թ
2
em Թ num ponto de acumulação ሺ a
1
,a
2
ሻ do seu
domínio:
൏ ε ֜ |fሺx,yሻ െ b| ൏ δ ൰ቃ
D
f
2
ሺ x,y
ሻ՜ሺ a 1
,a 2
ሻ
ሾfሺx,yሻሿ
x՜a
1
൛lim
y՜a
2
f
x,y
y՜a
2
൛lim
x՜a
1
ሾfሺx,yሻሿൟ
Ex.: f: D
f
2
Limite sucessivo de uma função de Թ
n
em Թ
m
num ponto de acumulação a do
seu domínio:
Limite de uma função quando as coordenadas dos seus objectos tendem sucessivamente
para as coordenadas homólogas de a , por qualquer ordem.
Ex.: f:
Limites sucessivos relativos a lim :
1º limite sucessivo: lim
2º limite sucessivo: lim
Limite segundo uma trajectória específica de uma função de Թ
n
em Թ
m
num
ponto de acumulação a do seu domínio:
Limite de uma função quando os seus objectos tendem para a ao longo de uma trajectória
específica que passa por a.
Lista 3.2 – Limite de uma Função
Limite segundo a parábola y ൌ x
2
relativo a lim
ሺx,yሻ՜ሺ0,0ሻ
f
x,y
yୀx
2
0
ሾfሺx,
Limite direccional de uma função de Թ
n
em Թ
m
num ponto de acumulação a do
co dos limites segundo uma trajectória específica de uma função
a l d
es direccionais a lim
ሺx,yሻ՜ሺa
1
,a
2
ሻ
f
x,y
yሻ՜ሺa
1
,a
2
ሻ
xୀa 1
ሾfሺx,yሻሿ ൌ l
y՜a 2
ሾfሺa
1
,yሻሿ
lim ሺ x,y
ሻ՜ሺ a
1
,a
2
ሻ
yୀa 2
ାm.
ሺ xି a 1
ሻ
f
x,y
lim x՜a
1
f൫x, a
2
m.
x െ a
1
. Limite de uma função num ponto e limites sucessivos e segundo trajectórias
específicas:
tem limite num ponto se todos os limites sucessivos e segundo trajectórias
destes
. Limite de uma função vectorial num ponto:
O istir, corresponde ao vector cujas
f
x
f
1
x
, … ,f
x
lim
x՜a
ሾfሺxሻሿ ൌ ሺlim
x՜a
ሺxሻሿ, … ,lim
x՜a
ሾfmሺxሻሿሻ
. Propriedades de limites de funções (se existem lim
x ՜ a
f
x
e lim
x ՜ a
g
x
lim ሺx,yሻ՜ሺ0,0ሻ
ሾfሺx,yሻሿ ൌ lim
x՜
x
2
seu domínio:
Caso específi
correspondente ao limite quando os objectos d função tendem para a ao ongo e uma
recta que passa por a.
Ex.: f: D f
2
Limit relativos
Limite direccional vertical: lim ሺx,
im
Limites direccionais não verticais:
Uma função
específicas relativos a esse limite existirem e forem iguais. Se dois limites forem
diferentes, ou um não for finito, a função não tem limite no ponto.
limite de uma função vectorial num ponto, se ex
coordenadas são os limites de cada uma das suas funções componentes nesse ponto.
f: D f
n
m
m
ሾf
1
Constante: lim
x՜a
b
b
Soma : lim
x՜
x
a
f
x g lim
x՜a
f
x
lim
x՜a
g
x
Produto : lim
x՜a
ሾfሺxሻ.gሺxሻሿ ൌ lim
x՜a
ሾfሺxሻሿ. lim
x՜a
ሾgሺxሻሿ
Quociente: lim
x՜a
f
ሺ x
ሻ
g
ሺ x
ሻ
lim x՜a
ሾ f
ሺ x
ሻሿ
lim x՜a
ሾ g
ሺ x
ሻሿ
, se g é escalar e lim
՜a
g
x
x
Norma: lim
x՜a
ሾԡ f
x
ሻԡሿ ൌ ԡ lim
x՜a
f
x
ሻሿԡ
Compost
gሺ
a: lim
x՜a
f
g
x
lim
x՜lim
x՜a
ሾ xሻሿ
f
x
se f e g são compatíveis para
composição
Lista 3.2 – Limite de uma Função
a
ൣlim ൫
x՜a
൫fሺxሻ൯ ൌ lim
x՜
0 ൣש൧ lim
x՜a
൫fሺxሻ൯ ൌ േ∞ ר lim
x՜a
gሺxሻ൯ ൌ ൫gሺxሻ൯ ൌ േ ∞൧
lim
x՜a
f
ᇲ
ሺxሻ
g
ᇲ
ሺxሻ
n ão:
fሺxሻ
gሺxሻ
E t
lim
x՜a
ቀ ቁ ൌ lim
x՜a
f
ᇲ
ሺxሻ
g
ᇲ
ሺxሻ
1 4. Majoração de expressões não negativas:
Módulo da soma:
a b
a
b
Módulo da diferen ça: |a െ b| |a| |b|
Módulo do produto: |a.b| ൌ |a|. |b|
Módulo do quociente: ቚ
a
b
|a|
|b|
Módulo do módulo: ห|a |ห ൌ |a|
Raíz quadrada da som a: b √
a √a √b, se a b 0 , a 0 e b 0
Raíz quadrada da diferença: √a െ b √a √b, se a െ b 0 , a 0 e b 0
Módulo e raíz quadrada: |a| ൌ √a
ଶ
Argumento do módulo do Seno:
sen
f
x
f
x
Seno:
sen
f
x
Coseno: |cosሾfሺxሻሿ| 1
Argumen to de umafunção crecente: Se f crescente, a b ֜ f
b
f
a
Argumento de uma função decrecente: Se f decrescente, a b ֜ f
a
f
b
Numerador: a b ֜
b
c
a
c
Denominador: a b ֜
c
a
c
b
Produto por um escalar entre 0 e 1: a 0 ר b ሾ א0,
b.a a
Produto por um escalar maior ou igu al a 1: a 0 ר b 1 ֜ a b.a
