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5 Limites e Continuidade de Funções Reais de Variável
Real
5.1 Introdução
Muitas da idéias básicas do cálculo podem ser motivadas pelos três problemas seguintes.
Problema da Reta Tangente
Problema da Área
Dada uma função f, ache a área entre o gráfico de f e um intervalo [a , b]no eixo x.
A idéia é de aproximar a área da região por um número de retângulos inseridos de larguras iguais sob a curva, e somar a área desses retângulos. A intuição sugere que se repetirmos este processo de aproximação com cada vez mais retângulos, então eles tenderão à preencher os vazios sob a curva e a aproximação ficará cada vez mais próxima da área exata sob a curva. Isso sugere que podemos definir a área sob a curva como sendo o valor limite dessas aproximações.
Q
P
Dada uma função f e um ponto P( x 0 , y 0 )
no seu gráfico, achar a equação da reta que é tangente ao gráfico em P. Para obter uma definição de reta tangente que se aplique a qualquer curva em um ponto P, vamos usar a idéia a seguir: Seja Q um ponto da curva, distinto de P. A reta que passa por P e Q é chamada de reta secante à curva em P. A intuição sugere que se movermos o ponto Q em direção à P, então a reta secante irá girar em direção à uma posição limite. A reta nesta posição limite é o que consideraremos ser a reta tangente em P.
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Problema de Velocidade Instantânea
Intuitivamente, percebe-se que não deve haver muita diferença entre velocidade instantânea num instante de tempo t = t 0 e a velocidade média num intervalo de tempo de t = t 0 a t = t 1 , desde que o intervalo de tempo seja curto. Isto sugere que podemos aproximar vi como:
1 0
1 0 t t
s s vi vm −
Observa-se que à medida que t 1 se aproxima de t 0 , a inclinação da reta secante irá tender à inclinação da reta tangente à curva no instante t = t 0. Então, pode-se definir a velocidade instantânea da partícula no instante t = t 0 como sendo a inclinação da reta tangente à curva posição versus tempo, naquele ponto.
5.2 Conceito de Limite
Aproximação por valores menores que 2. x 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999 1, 2x+1 3 4 4,6 4,8 4,98 4,998 4,9998 4, Aproximação por valores maiores que 2 x 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001 2, 2x+1 7 6 5,4 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,
Dada a curva posição versus tempo para uma partícula movimentando-se ao longo de um eixo coordenado, acha a velocidade da partícula no instante de tempo especificado. Se uma partícula desloca-se ao longo de um eixo s, então a sua velocidade média vm, no intervalo de tempo t 0 para t 1 , é:
1 0
1 0 t t
s s t
s vm −
Geometricamente vm é a inclinação da reta
secante que une os pontos ( t 0 , s 0 )e (t 1 , s 1 ).
Inclinação vi
Inclinação vm
s 1 – s 0 S (^0) t 1 – t 0
S 1
t 0 t 1
Consideremos uma função f definida pela equação
x
x x f x. Esta função f está
definida para x ≠ 2. Vamos analisar o que acontece com esta função para valores próximos de 2 tanto por valores maiores como por valores menores que 2.
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3
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Na definição de limite, vamos considerar primeiro um intervalo aberto ( 5 − ε , 5 + ε)
e, em seguida, determinar se existe um intervalo aberto ( 2 − δ , 2 + δ)no domínio de f tal
que se 0 < x − 2 < δ então f (x)− 5 < ε.
5.3 Definição de Limite
Seja f uma definida num intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente o próprio a) e seja L um número real. O limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, que pode ser escrito como: f x L x a
→ lim ( )
se, para qualquer ε > 0 , mesmo pequeno, existir δ > 0 , tal que se 0 < x−a< δ então
f ( x)− L< ε.
Obs.: não é necessário que a função seja definida para x = a, a fim de que lim f(x) x→ a exista.
Para provar que f x L x a
→ lim ( ) , podemos fazer:
1. Para ε > 0 arbitrário, considere o intervalo aberto ( L − ε , L+ ε).
2. Mostre que existe um intervalo aberto ( a − δ , a+δ) no domínio de f, tal que se x
está no intervalo aberto ( a − δ , a+ δ), e x ≠ a, então f(x) está no intervalo aberto
( L − ε , L+ ε).
Graficamente, temos:
a
L − ε L L+ ε
a − δ a a+ δ
L − ε L L+ ε x
f(x)
a− δ^ a a+ δ
f(a)− ε
f(a)+ ε L =f(a )
y
0 x
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Exemplos:
- Usando a definição, vamos provar que lim( 2 3 ) 5 1
→ x x
Solução:
De acordo com a definição, devemos mostrar que, para todo ε > 0 , existe um
δ > 0 , tal que se 0 < x − 1 < δ, então ( 2 x + 3 )− 5 < ε.
O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para a escolha de δ. As seguintes desigualdades são equivalentes.
x
x
x
x
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Fazendo 2
δ = , vem que:
Se 0 < x − 1 < δ, então ( 2 x + 3 )− 5 < ε. Portanto,
lim( 2 3 ) 5 1
→ x x
- Usando a definição, vamos provar que lim 2 4 2
→ x x
Solução:
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Caso 1: m≠ 0
( mx +b) −( ma+b) =mx−ma=m.x−a
Queremos encontrar um δ > 0 tal que:
m .x− a< ε sempre que 0 < x−a< δ
m
x a
− < sempre que 0 < x−a< δ (2)
Se tomarmos m
δ = , a afirmação (2) é válida. Então:
( mx + b) −( ma+b)< ε sempre que 0 < x−a< δ, se
m
Caso 2: m = 0
Se m = 0, então ( mx + b) −( ma+b) = 0 , ∀x. Assim, tomamos δ como sendo qualquer
número positivo e a afirmação (1) é válida.
Teorema
Se limf(x) L x a
→ e limg(x) M x a
→ , n ∈ Z*+, então:
lim [ f(x) g(x)] limf(x) limg(x) L M
x a x a x a
→ → →
lim [ f(x).g(x)] limf(x).limg(x) L.M
x a x a x a
→ → →
M
L
limg(x)
limf(x) g(x)
f(x) lim x a
x a x a
→
→ → , com M≠ 0
[ ] [ ]n n
x a
n x a lim f(x) = limf(x) = L → → n^ n x a
n x a lim f(x)= limf(x)= L → →
, se L > 0 quando n é par
Exemplos:
a)
( ) [ ]
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 = − + = − + =
→ → → → → → → → →
..
lim x x lim x lim x lim lim .limx lim .limx lim x x x x x x x x x
b) =
2
3 2 (^1) x x
x x x lim x
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5.5 Limites Laterais
Definição
Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto ( a ,c). Então,
o limite de f(x), quando x se aproximar de a pela direita será L, e escrito como: f x L x a
→ + lim ( )
se para qualquer ε > 0 , embora pequeno, existe um δ > 0 tal que f ( x)− L< ε sempre
que 0 < x−a< δ.
Exemplo:
lim 2 0 2
→ (^) + x x
Definição:
Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto (d,a). Então, o limite de f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda será L, e escrito como: f x L x a
→ − lim ( )
se para qualquer ε > 0 , embora pequeno, existe um δ > 0 tal que f ( x)− L< ε sempre
que − δ <x−a< 0.
Obs.: Os teoremas da seção 5.4 permanecem inalterados quando " x → a"for substituído por " x → a+"ou " x → a−".
Exemplo:
Seja
2
se x
x sex f x. Vamos esboçar seu gráfico e encontrar lim ( ) 0 f x x →− e
lim ( ) 0 f x x →+
Solução:
0
1
2
3
4
5
6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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lim (^2)
2 (^2) −
→ (^) − x
x x x
→−
1
lim 1 x
x
5.6 Limites de Polinômios quando x →a
Teorema:
Para qualquer polinômio P ( x)= c 0 +c 1 x+c 2 x^2 +...+cn xn e qualquer número real a,
temos:
lim c 0 c 1 x c 2 x^2 ... cnxn c 0 c 1 a c 2 a^2 ... cnan P(a ) x a
→
Exemplo:
lim 2 2 3 2
→ x x x
5.7 Limites da Funções Racionais quando x^ →a
Seja ( )
Qx
Px f x = , sendo P( x)e Q( x)polinômios, a ∈ℜe Q( a)≠ 0 , então:
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( ) lim Qa
Pa Qx
P x Qx
Px f x x a
x a x a x a
→
→ → →
Obs.: Indeterminações
Ao calcularmos o limite de uma função em um ponto dado, muitas vezes a função não é determinada nesse ponto, obtendo-se resultados de “formas indeterminadas” como:
∞−∞∞ ∞ ∞
Para sairmos das indeterminações usaremos operações algébricas para substituir as funções por outras de tal forma a determinar o limite no ponto dado.
Exemplos:
3 1
lim (^2)
3 (^1) + −
→ (^) x x
x x
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lim
2 (^3) −
→ (^) x
x x
lim (^5)
3 (^1) − +
→ (^) x x
x x x
5.8 Limites Envolvendo Radicais quando x →a
Exemplos:
2 (^2 )
lim −
→ (^) x
x x
lim (^3) −
→ (^) x
x x
lim (^2) + −
→ (^) x
x x
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5.9 Limites da Funções Racionais que Resultam em ±∞
Seja I um intervalo aberto que contém o real a. Seja f uma função definida em
I − {a }. Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce ilimitadamente e escrevemos
→ lim f(x) x a
se para qualquer número M > 0 , existir δ > 0 tal que se 0 < x−a< δ, então f ( x)>M.
se para qualquer ε > 0 , embora pequeno, existe um tal que f ( x)− L< ε sempre que
− δ <x−a< 0.
Exemplo:
Vamos calcular
1 ( 1 )^2
lim x→ (^) x−
Definição
Seja I um intervalo aberto que contém a. Seja f uma função definida em I − {a }.
Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) decresce ilimitadamente e escrevemos = −∞ → lim f(x) x a
se para qualquer número M < 0 , existir δ > 0 tal que se 0 < x−a< δ, então f ( x)<M.
a-δ^ a^ a+δ
M
y
(^01) x
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Exemplo:
Vamos calcular
1 ( 1 )^2
lim −
x x
Definição:
Em símbolos, temos:
f x ( M x a f x M)
x a
→ +
lim ( ) 0 , δ 0 / 0 δ ( )
f x ( M x a f x M)
x a
→ +
lim ( ) 0 , δ 0 / 0 δ ( )
f x ( M x a f x M)
x a
→ −
lim ( ) 0 , δ 0 / δ 0 ( )
f x ( M x a f x M)
x a
→ −
lim ( ) 0 , δ 0 / δ 0 ( )
Exemplo:
Dada 1
x
f (x ) , vamos encontrar lim ( ) 1 f x x →− e lim ( ) 1 f x x →+
y
x
M
a- δ a a+ δ
1 - δ 1 1+δ
M 1
M 2
y
x
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- = ⇔(∀ ε > ∃ < < ⇒ − < ε) → −∞ lim f(x) L , N /x N f(x) L x
Exemplo:
1
→ −∞ x
x lim x
3) lim f(x) ( M , N /x N f(x) M)
x
→ +∞
Exemplo:
= +∞ → +∞ lim x^2 x
4) lim f(x) ( M , N /x N f(x) M)
x
→ +∞
Exemplo:
− = −∞ → +∞ lim x^2 x
x
y
x
y
x
y
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5) lim f(x) ( M , N /x N f(x) M)
x
→ −∞
Exemplo:
= +∞ → −∞ lim x^2 x
6) lim f(x) ( M , N /x N f(x) M)
x
→ −∞
Exemplo:
− = −∞ → −∞ lim x^2 x
Teorema:
Se c ∈ℜ, então lim c limc c x x
→+∞ →−∞
Teorema:
Se n é número inteiro e positivo, então:
I) =+∞ → +∞
n x
lim x
II)
→ −∞ (^) ,senéímpar
,senépar lim xn x
Teorema:
Se n é número inteiro e positivo, então:
I) 0
x→ +∞ (^) xn lim
II) 0
x → −∞xn lim
Teorema:
Se f (x)= a 0 +a 1 x+a 2 x^2 +...+an xn,an≠ 0 é uma função polinomial, então: ( (^) n n) x x lim f(x) lim a x →+∞ →+∞ = e ( (^) n n) x x lim f(x) lim a x →−∞ →−∞
x
y
x
y
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f) 4
→ +∞ (^) x
x x lim x
g) 6 3
5 2
2
→ −∞ (^) x x
x x lim x
h) 2 4
→ +∞ (^) x
x x lim x
i) 2 4
→ −∞ x
x x lim x
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5.10.1 Propriedades dos Limites no Infinito
A partir de teoremas, podemos usar o resumo, lembrando que as proposições continuam verdadeiras se trocarmos o símbolo “ x →+∞” por “ x →−∞”.
Dados Conclusão
= +∞ → +∞ lim f(x ) x e =+∞ → +∞ limg(x ) x
→ +∞ lim(f g)(x ) x = −∞ → +∞ lim f(x ) x e =−∞ → +∞ limg(x ) x
→ +∞ lim(f g)(x ) x
= +∞ → +∞ lim f(x ) x e = ≠ 0 → +∞ limg(x) b x
,se b
,seb lim(f.g)(x) x
= −∞ → +∞ lim f(x ) x e = ≠ 0 → +∞ limg(x) b x
,se b
,seb lim(f.g)(x) x
= +∞ → +∞
lim f(x ) x
e =+∞ → +∞
limg(x ) x
→ +∞
lim(f.g)(x ) x = +∞ → +∞
lim f(x ) x
e =−∞ → +∞
limg(x ) x
→ +∞
lim(f.g)(x ) x
= −∞ → +∞ lim f(x ) x e =−∞ → +∞ limg(x ) x
→ +∞ lim(f.g)(x ) x
= +∞ → +∞
lim f(x ) x 0
→ +∞ (^) f(x) lim x
= −∞ → +∞ lim f(x ) x 0
→ +∞ (^) f(x)
lim x
= 0 → +∞ lim f(x ) x (^) xlim→ +∞ (^) f(x)=+∞
Exemplos:
a) lim x x x x
→ +∞
b) lim x x x x
→ −∞
