Baixe Exercícios de Matemática Financeira: Juros Simples e Compostos e outras Teses (TCC) em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!
Referências
ABNT. NBR 6022 : informação e documentação: artigo em publicação periódica científica impressa: apresentação. Rio de Janeiro, 2003. 5 p. ABNT. NBR 6023 : informação e documentação: elaboração: referências. Rio de Janeiro,
- 24 p. ABNT. NBR 14724 : informação e documentação: trabalhos acadêmicos: apresentação. Rio de Janeiro, 2002. 6 p. COMARELLA, Rafaela Lunardi. Educação superior a distância : evasão discente. Florianópolis, 2009. 125 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia e Gestão do Conhecimento) – Centro Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis,
DAL MOLIN, Beatriz Helena et al. Mapa referencial para construção de material didático para o Programa e-Tec Brasil. Florianópolis: UFSC, 2008. 73 p. SOBRENOME, Nome. Título do livro. Cidade: Editora, ano. SOBRENOME, Nome. Título do artigo : complemento. Nome da Revista, Cidade, v. X, n. X, p. XX-XX, mês ano. SOBRENOME, Nome. Título do trabalho publicado. In: NOME DO CONGRESSO. Número, ano, cidade onde se realizou o Congresso. Anais ou Proceedings ou Resumos ... Local de publicação: Editora: data de publicação. Volume, se houver. Páginas inicial e final do trabalho. AUTOR. Título. Informações complementares (Coordenação, desenvolvida por, apresenta..., quando houver etc...). Disponível em: . Acesso em: dia mês ano.
Matemática Financeira
Roberto José Medeiros Junior
Curitiba-PR
PARANÁ
- Palavra do professor-autor Sumário
- Aula 1 - O contexto das finanças na história da matemática
- 1.1 Dinheiro e Temporalidade
- Aula 2 - Relações algébricas: razões e proporções
- Aula 3 - Revendo o conceito de potencialização
- Aula 4 - Porcentagem
- Aula 5 - Taxas e coeficientes
- Aula 6 - Juros e aplicações financeiras
- 6.1 Juros? E os juros?
- 6.2 Algumas definições usuais
- “regra de três” 6.3 Relação entre razão e proporcionalidade:
- 6.4 Proporcionalidade
- Aula 7 - Juros simples
- 7.1 Progressão Aritmética versus Juros simples
- Aula 8 - Os juros simples e a função afim
- Aula 9 - Juros compostos
- Aula 10 - Progressão Geométrica
- 10.1 Exemplos de Progressões Geométricas:
- Aula 11 - Juros Compostos versus Função Exponencial
- Aula 12 - Juros Compostos, exercícios resolvidos e revisão
- Aula 13 - Taxas equivalentes: nominal e efetiva
- Aula 14 - Outros tipos de taxas para operações financeiras
- Aula 15 - Operações de fluxo de caixa
- 15.1 Diagrama de fluxo de caixa
- 15.2 Valor presente
- 15.3 Séries de pagamentos
- Aula 16 - Valor futuro
- 16.1 Operações antecipadas
- 16.2 Operações com carência postecipada
- Aula 17 - Descontos
- 17.1 Descontos - composto Aula 18 - Desconto racional ou por dentro e desconto
- 18.1 Desconto Racional
- 18.2 Desconto composto
- Aula 19 - Amortizações
- 19.1 - O que é amortização?
- mento imobiliário 19.2 Sistemas de Amortização (pagamento) do seu financia-
- 19.2 Sistemas de Amortização Constante - SAC
- 19.3 Sistema de Amortização Crescente - SACRE
- (SFA) 19.4 A Tabela Price (TP) ou Sistema Francês de Amortização
- Aula 20 - Sistemas de amortização - formulário
- 20.1 Sistema de amortização PRICE
- 20.2 Sistema de amortização constante - SAC
- Referências
- Atividades autoinstrutivas
- Currículo do professor-autor
Palavra do professor-autor 133 e-Tec Brasil
Palavra do professor-autor Prezado Estudante, O presente material tem como objetivo enriquecer o estudo acerca das ati- vidades e práticas relativas à disciplina de Matemática Financeira, na mo- dalidade de Educação a Distância, do Instituto Federal do Paraná (IFPR). O método de Ensino contempla, também, atividades autoinstrutivas e as supervisionadas, abrangendo conteúdos relevantes a área do Secretariado, apresentação diferenciada das propostas de atividades práticas aliadas ao caráter teórico-reflexivo das atividades. Cada capítulo foi estruturado pensando em retomar conceitos elementares de Matemática importantes para o desenvolvimento da teoria e atividades autoinstrutivas. Estudaremos proporcionalidade (regra de três), percenta- gem, progressões, séries, sequências e uso de calculadoras simples. Os tópicos apresentados estão divididos de modo a contemplar o “bê-á-bá” das Finanças e da Educação Financeira com foco nos conhecimentos mate- máticos pertinentes e interdisciplinares. Em finanças pessoais, o profissional técnico em Secretariado terá clareza da aplicabilidade dos conhecimentos matemáticos à saúde financeira do dinheiro, das aplicações em curto, médio e longo prazo e de ações determinantes da empresa que faz parte. O livro encontra-se dividido de modo didático, seguindo um critério de aprendizado rico de conhecimentos, porém de fácil assimilação. Observando uma evolução de conceitos e técnicas apresentadas gradativamente à ma- neira que se realizam as atividades autoinstrutivas e supervisionadas lançan- do mão aos recursos de acompanhamento pedagógico, entre eles o telefone (0800) e fóruns via web (tutoria). A intenção é valorizar cada ponto como se fosse um módulo condensado e relevante, visando levar você para um mun- do de reflexão, reeducação financeira e aprendizado contínuo. Sentimentos que serão estimulados em cada aula com a presença (mesmo que virtual) do professor conferencista e professor web. Desejamos muito sucesso e aprendizado! Sincero abraço! Equipe de EaD - IFPR.
Aula 1 - O contexto das finanças na história da matemática 135 e-Tec Brasil
Aula 1 - O contexto das finanças na história da matemática 1.1 Dinheiro e Temporalidade Figura 1.1 - Dinheiro e Temporalidade Fonte: http://www.sxc.hu Quando tratamos de dinheiro e temporalidade, alguns elementos básicos devem ser levados em consideração, tais como: Inflação → Os preços não são os mesmos sempre; Risco → Investimentos envolvem risco que geram perda ou ganho de dinheiro; Incerteza → Não há como saber que tipo de investimento é mais rentável sem estudo prévio; Utilidade → Se não é útil, deve ser adquirido? Oportunidade → Sem dinheiro as oportunidades dizem adeus. No decorrer desta aula você irá aprender sobre o que são finanças e educação financeira, saberá também a razão de utilizar Matemática nesses procedimentos.
Figura 1.2 - Pré História Figura 1.3 - Reinado Figura 1.4 - Banqueiros Fonte: http://professor-rogerio.blogspot.com Fonte: http://fprina.wordpress.com Fonte: http://allmirante.blogspot.com A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema eco- nômico. A palavra FINANÇAS remete especificamente àquelas relações da matemática com o dinheiro tal e qual o concebemos nas diversas fases da História da humanidade. Muitas situações estão presentes no cotidiano das pessoas e tem ligação imediata com o dinheiro, seja o fato de ter um pouco de dinheiro, nada de dinheiro ou muito dinheiro. Em todas as situações ter educação financeira torna-se fator determinante da ascensão profissional e saúde financeira pes- soal e empresarial. Os financiamentos são os mais diversos e criativos. Essa “mania” é muito antiga, remete as relações de troca entre mercadorias que com o passar das eras e diferentes civilizações evoluíram naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo - “tempo é dinheiro”. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam intuitivamente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente de- vido ao valor temporal do dinheiro. Figura 1.5 - Tempo Fonte: http://www.sxc.hu Você sabia que existem várias passagens na Bíblia que tratam de finanças: Finanças: 1 Cr. 29:12-14; 1Tm. 6:9-10). Em suma, todo cristão, como filho de Deus, recebe coisas, inclusive o dinheiro, que deve ser utilizado de maneira correta, sensata e temente a Deus para a glória do nome dele. Temos que ser equilibrados, ganhando com práticas honestas e fugindo das práticas ilícitas. É lícito desfrutarmos dos benefícios que o dinheiro traz, mas não apegarmos à cobiça a qualquer custo para conseguir dinheiro. Podemos usar o dinheiro para dízimos, ofertas, no lar, no trabalho e em lazer. As pessoas devem evitar contrair dívidas fora do alcance, comprar sempre que possível à vista, fugir dos fiadores, pagar os impostos, e como patrão pagar justos salários. Além disso, deve haver economia doméstica, com liberdade moral e responsável, evitando conflitos, pois afinal o dinheiro é de uso do casal. Fonte: www.discipuladosemfrontei- ras.com/contato.php acessado em 03/2009.
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Figura 1.7 - Hindu Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br E os juros? Sempre existiram? Na época dos Sumérios, os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados. Os agricultores realizavam transações comerciais onde adquiriam sementes para efetivarem suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigências atuais, no caso dos agri- cultores, claro que o pagamento era feito na próxima colheita. A relação tempo/juros foi se ajustando de acordo com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de empréstimos, o tempo é preestabelecido pe- las partes negociantes. Vale observar que os juros sempre sofreram com as intempéries. Naquela época, muito mais relacionadas com o clima, época de plantio e colheita. Atualmente, além disso, os juros sofrem alterações de base por conta das políticas monetárias, do banco central, ou seja, dependem da vontade polí- tica/econômica do Ministro da Fazenda e das decisões do COPOM (Comitê de Política Monetária do Banco Central) e de políticas econômicas nacionais e internacionais, de diferentes gestões, período de crises financeiras, alta e baixa da taxa de desemprego, da instalação de indústrias e de índices de desenvolvimento humano (IDH).
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Aula 1 - O contexto das finanças na história da matemática 139 e-Tec Brasil
Figura 1.8 - Índices Fonte: http://www.sxc.hu Atualmente se utiliza o financiamento para as mais diversas situações do universo capitalista, porque o “ter” é a engrenagem da máquina financeira mundial. A compra da casa própria, carro, moto, realizações pessoais (em- préstimos), compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações finan- ceiras, investimentos em bolsa de valores, entre outras situações financeiras que dependem do quanto se ganha e de quanto está disposto a arriscar em financiamentos a curto, médio e longo prazo. Em resumo, todas as movi- mentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros e envolvem o tempo para quitar a dívida. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do em- préstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros, ou seja, o bem adquirido tem valor agregado maior do que se fosse comprado à vista (em parcela única). Uma questão pertinente: compras parceladas ou guardar o dinheiro para comprar à vista? Esse é o grande objetivo da formação para a Educação Financeira, nossa meta para este curso. Resumo Aprendemos nessa aula o que são finanças e um pouco sobre a nova lei que regulamenta a inserção da Educação Financeira nos currículos escolares, além de qual a razão de utilizar conceitos de Matemática nos procedimentos financeiros.
Aula 2 - Relações algébricas: razões e proporções 141 e-Tec Brasil
Aula 2 - Relações algébricas: razões e proporções A noção de relação algébrica em matemática financeira é importante para re- presentar de modo geral as relações que estabeleceremos entre o dinheiro, os juros e o tempo. De modo geral atribuímos letras (variáveis) para representar o dinheiro gasto, o financiamento, investimento, tempo de aplicação, juros mensais, entre outros. Sendo assim é muito provável que para cada autor que consultar encontrará diferentes letras para representar as variáveis citadas. Uma relação bastante útil em matemática financeira é a proporcionalidade, frequentemente conhecida como “regra de três”. Sua utilidade vai desde o cálculo de porcentagens até a transformação de unidades de tempo e valor monetário. Primeiramente vamos nos ater a noção de razão e proporção em Matemática. 2.1 Razões e proporções 2.1.1 Razão Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, por exemplo, quando se escreve a > b (lê-se “a” maior do que “b”) ou a < b ou ainda (lê-se “a” menor do que “b”) e a = b (lê-se “a” igual ao “b”), estamos comparando as grandezas a e b. Essa comparação pode ser feita através de uma razão entre as duas grandezas, isto é o quociente entre essas grandezas. Em resumo, uma razão é a representação da divisão entre dois valores “a” e “b”. Exemplo: I. A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3. Se pretendemos comparar a e b determino a razão a : b ou a/b, Mas se dissermos que a razão entre elas é 2, estamos afirmando que “a” é duas vezes maior que “b”, ou seja, o dobro. Na aula de hoje, revisaremos proporcionalidade (regra de três) e uso da calculadora simples. Nosso objetivo é propiciar maior entendimento e exploração de conceitos matemáticos fundamentais a dedução de relações algébricas (fórmulas) úteis aos cálculos de Matemática Financeira.
2.1.2 Aplicações Entre as aplicações práticas de razões especiais, as mais comuns, são: a) Velocidade média A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida e um tempo gasto neste percurso. Exemplo: Figura 2.1 - Estrada Fonte: http://www.sxc.hu II. Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 horas. A velocidade média do carro nesse percurso será calculada a partir da razão: O que significa que, em 1 hora o carro percorreu 60 km.
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O cálculo da densidade demográfica também chamada de população relativa de uma região, também é considerado uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a relação entre o número de habitantes e a área em uma região. Exemplo: IV. Um município ocupa a área de 100.000 km^2 E, de acordo com o censo realizado, tem população aproximada de 5.000 habitantes. A densidade demográfica desse município é obtida assim: Isto significa que para cada 1 quilômetro quadrado, esse município tem 20 habitantes. Para o nosso caso mais específico de finanças um exemplo de razão é relacionar a noção de razão com a transformação de frações em números decimais (com vírgula), vejamos alguns exemplos: A razão 20 : 2, ou é igual à 10. A razão de 20 para 2 é 10, ou seja vinte é dez vezes maior que dois. A razão 12:3 ou 12/3 é igual a quatro, ou seja doze é quatro vezes maior que três. A razão : é igual a 1. A razão de 4/6 para 4/6 é 1 (um inteiro ou 100%). A razão facilita o entendimento de alguns problemas, até mesmo financeiros,
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Aula 2 - Relações algébricas: razões e proporções 145 e-Tec Brasil
do dia a dia. É o que veremos a seguir. Exemplo prático: Figura 2.3 - Preço Fonte: http://2.bp.blogspot.com A informação de que um produto que queremos comprar aumentou em R$ 25,00, como sabermos se foi um aumento significativo? Como sabermos se vale a pena comprar naquele momento ou esperar por uma promoção? De modo analítico podemos comparar o valor do aumento com o valor do produto, para analisar a razão do aumento, isto é, o quanto aumentou em relação ao valor inicial. Se o produto valia R$1.000,00, devemos achar a razão de 25 para 1.000. Esta razão é igual à 0,025, ou 5%. Sabemos que o produto aumentou em 2,5%. Porém se o produto valia R$100,00 teremos a razão de 25 para 100, isto é, o produto aumentou em 25%. Com este modo de analisar os valores podemos tomar a decisão, financeira, de comprar ou não o produto. Vale ressaltar que, neste caso, não estamos levando em consideração outros fatores que ajudariam na decisão, como os juros, riscos e o chamado custo de oportunidade do capital. Estes fatores serão considerados mais adiante na disciplina.
Aula 3 - Revendo o conceito de potencialização 147 e-Tec Brasil
Aula 3 - Revendo o conceito de potencialização 3.1 Potenciação A ideia de potenciação pode ser explicada, quando usamos a seguinte situação no lançamento de dados: Figura 3.1 - Dados Fonte: http://www.sxc.hu/browse.phtml?f=download&id= Quando lançamos dois dados consecutivos, podemos obter os seguintes resultados: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Assim, temos 36 resultados possíveis nesses lançamentos. Nesta aula, você retomará o significado de algumas propriedades da potenciação e porcentagem, ou seja, conhecerá a importância da palavra “por cento” e também as aplicações nas questões financeiras.
Entretanto, podemos chegar a essa conclusão utilizando outro raciocínio, que seria a multiplicação das possibilidades de resultado para cada um dos dados: 1º dado 2º dado 6 possibilidades 6 possibilidades 6 x 6 = 6^2 = 36 Faça da mesma maneira lançando três dados consecutivos: 1º dado 2º dado 3º dado 6 possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades 6 x 6 x 6 = 63 = 216 Generalizando, com n lançamentos consecutivos: 1º dado 2º dado 3º dado (...) no dado 6 possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades 6 possibilidades 6 x 6 x 6 x (...) = 6n Logo percebemos que esta situação representa uma potência, ou seja, um caso particular da multiplicação. Desta maneira podemos definir potência como um produto de fatores iguais. an^ = a .a. a. a. (...) a Onde: “a” é a base “n” é o expoente, o resultado é a potência. Por exemplo: (-2)^2 = (-2).(-2) = 4 (-3)^3 = (-3). (-3). (-3) = - 44 = 4.4.4.4 = 256 55 = 5.5.5.5.5 = 3125
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