Baixe Limites e derivadas 2007 Parte2 e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Regras de derivação
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculo das derivadas das funções sem recorrer
a definição.
1. Derivada de uma função constante.
Se f ( )x = c, c é uma constante real, então f ( x) 0
' =.
lim 0 0 x
c c lim x
f x x f x f x lim x 0 x 0 x 0
' = = ∆
∆→ ∆→ ∆→
2. Derivada da função potência.
Se n é um inteiro positivo e ( )
n
f x = x , então ( )
' n 1 f x nx
− =.
Prova: ( )
x
x x x lim x
f x x f x f x lim
n n
x 0 x 0
'
∆→ ∆→
Usando o Binômio de Newton para expandir ( )
n x + ∆x , obtemos
f ( )x =
'
− − −
∆ → x
x x ... nx x x x 2!
nn 1 x nx x
lim
n n 1 n 2 2 n^1 n n
x 0
− − − −
∆ → x
x x ... nx x x 2!
nn 1 x nx
lim
n 1 n 2 n^2 n^1
x 0
n 1 n 2 n^2 n^1 n 1
x 0
x x ... nx x x nx 2!
nn 1 lim nx
− − − − −
∆→
Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo:
a) f ( )x = x b) ( )
2
f x = x c) ( )
5 f x =x
a) f ( )x x f'( )x 1 x 1
1 11 = ⇒ = =
−
. Logo f '( x) = 1.
b) f ( )x x f'( )x 2 x 2 x
2 21 = ⇒ = =
−
. Logo f '( x) = 2 x.
c) ( ) ( )
5 51 4 f x = x ⇒ f' x = 5 x = 5 x
−
. Logo ( )
4 f ' x = 5 x.
Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido.
Atividades (grupo 18).
1. Mostre, usando a regra e a definição , que a derivada da função ( )
1 f x x
−
= é ( )
2 f ' x x
− = −.
2. Mostre, usando a regra e a definição , que a derivada da função f ( x) = x é ( )
2 x
f ' x =.
3. Derivada do produto de uma constante por uma função.
Se f ( )x é uma função derivável e c é uma constante real, então a função g ( )x = cf( )x tem
derivada dada por g' ( )x = cf'( )x.
Prova: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]
∆ → ∆→ ∆→ x
c f x x f x lim x
cf x x cf x lim x
g x x gx g´ x lim x 0 x 0 x 0
cf´( )x
x
f x x f x c lim x 0
∆→
Exemplo 23. Se ( )
3 f x = 5 x então ( ) ( )
2 2 f ' x = 53 x = 15 x.
4. Derivada de uma soma de funções.
Se f ( )x e g ( )x são função deriváveis, então a função h( x) = f( )x +g( )x tem derivada dada por
h' ( )x = f'( )x +g'( )x.
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.
Exemplo 24. Se f ( )x 4 x 3 x x 5
3 2
= + − + então f '( x) 12 x 6 x 1
2 = + −.
5. Derivada de um produto de funções.
Se f ( )x e g( ) x são função deriváveis, então a função h( x) = f( )x ⋅g( )x tem derivada dada por
h' ( )x = f'( )x ⋅g( )x +f( )x ⋅g'( )x.
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.
Exemplo 25.
Se f ( )x ( x x)( 2 x)
3 = − − então f '( )x ( 3 x 1 )( 2 x) ( x x)( 0 1 ) 4 x 6 x 2 x 2
2 3 3 2 = − − + − − =− +− + −.
6. Derivada de um quociente de funções.
Se f ( )x e g ( )x são função deriváveis, então a função ( )
g( )x
f x h x = tem derivada dada por
[ ( )]
2 g x
f' x gx f x g' x h' x
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo.
Exemplo 26. Se ( )
2 x
5 x 8 f x
2 −
= então ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 x
5 x 8 ... 4 x
10 x 2 x 5 x 8 2 f ' x
b) y = 5 x+ 3
u 5 x 3
y u
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 5 x 3
2 u
y´ x y´u u´x y´x
= ⋅ ⇒ = ⋅ =. Logo ( )
2 5 x 3
y´ x
c)
5
1 3 x
x y (^)
1 3 x
x u
y u
5
Então ( ) ( ) ( ) ( )
2
4
1 3 x
1 1 3 x x 3 y´x y´u u´ x y´x 5 u
6
4
2
4
1 3 x
5 x
1 3 x
1 1 3 x x 3
1 3 x
x 5
−
Logo ( )
6
4
1 3 x
5 x y´ x −
Proposição: Se f ( )x é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então
[ f ( )x] n[ f( )x] .f´( )x
dx
d (^) n n− 1
Prova: Fazendo
n
y = u , onde u = f( )x e aplicando a regra da cadeia, temos
y´ ( )x y´( )u u´( )x y´( )x nu f´( )x y´( )x n[ f( )x] f´( )x
n 1 n^1 = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
− − .
A proposição continua válida se n for um número racional não nulo.
Exemplo 28. Calcule a derivada da função
3 3 y = 4 ⋅ 1 +x−x.
Podemos escrever ( )
313 y = 41 +x−x e calcular a derivada usando a proposição acima:
( ) ( ) ( )
3 23 2 1 x x 1 3 x 3
y´ x = 4 ⋅ + − ⋅ −
− .
Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27.
Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais
complicados...
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo:
a) ( )
36 y = 2 −x. b) ( )
4 3 y x 2
− = −. c)^ y^ =^2 x−^3.
d)
( 1 5 x)
1 3 x y
2
=. e)
3
4
1 x
2 x y
−
= f) x 1
1 4 x y
3
Derivada da função inversa
Se uma função y = f( )x admite uma função inversa x f ( y)
− 1 = , então a função inversa tem
derivada dada por
( ) ( )
f´( )x
f ´ y
1
−
, f ´( x) ≠ 0.
Sabemos que f of( )x x
1
−
. Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( f )´ ( f( )x) f´( )x 1
1 ⋅ =
− , daí
( ) ( )
f´( )x
f ´ y
1
−
, desde que f ´( )x ≠ 0.
Exemplo 29. Seja ( )
3 y = f x = 5 x. Calcule a derivada ( f )´ ( 40 )
− 1 invertendo a função e usando a
regra da derivada da inversa.
⇒ Invertendo a função:
13
3
3 1
y
y y f x 5 x x f y
−
. Assim ( ) ( ) 5
y
f ´ y
23 1 ⋅
− −
Logo ( ) (^ )^ ( )^
f ´ 40 23
23
23 1 ⋅ = = =
−
− − .
⇒ Usando a regra da derivada da inversa:
Se y^ =^40 e ( )^
3 y = f x = 5 x , então 8 2 5
x 3 3
= = =. Como (^ )^
2 f ´x = 15 x , obtemos
( ) ( )
( ) ( )
f´ 2
f ´ 40 f´ x
f ´ y 2
1 1 = ⇒ = = =
− − .
2. Derivada da função logarítmica.
Proposição: Se f ( )x = loga ( ) (x, a> 0 e a≠ 1 ), então ( )
xln( )a
f ´x =.
Prova: A função logarítmica y = f( x) =loga( )x é a inversa da função exponencial
1 y x = f y =a
−
. Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar
f ´ ( )x. Assim:
( ) ( ) ( ) xln( )a
a lna
f ´ y
f ´x 1 y
−
Caso particular: Se f ( )x = ln( )x , então ( )
( ) x
xlne
f ´ x = =.
Exemplo 31. Determine a deriva da função
ln( )x
e y
4 x+ 1
=.
Usando a regra da derivada do quociente 2 g
f´g fg´ ´ g
f −
e a regra da cadeia na função
exponencial, obtemos:
( )[ ( )] ( )
[ ( )]
2
4 x 1 4 x 1
lnx
x
e 4 lnx e
y´
Atividades (grupo 23).
- Calcule a derivada das funções abaixo:
a) f ( )x = 4 log 2 ( 5 x). b) f ( )x = ln( 2 x+ 1 ). c) f ( x) e ln( x)
3 x
= ⋅. d)^ ( )^
2 x e
ln 3 x f x −
3. Derivada das funções trigonométricas.
Proposição:
a) y^ =^ sen( )x ⇒ y´^ =^ cos( )x.
b) y = cos( )x ⇒ y´ = −sen( )x.
c) y = tg( )x ⇒ y´ sec ( )x
2 =.
d) y = cotg( )x ⇒ y´ cosec ( )x
2 = −.
e) y = sec( )x ⇒ y´ = sec( )xtg^ ( )x.
f) y = cosec( )x ⇒ y´ = −cosec( )x cotg( )x.
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam
como exercício.
a) y = sen( )x. Aplicando a definição...
∆ → ∆→ x
senxcos x sen x cosx senx lim x
senx x senx y´ lim x 0 x 0
( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( )[ ( ) ]
∆ → ∆→ ∆→ x
senx cos x 1 lim x
sen xcosx lim x
sen x cosx senx cos x 1 lim x 0 x 0 x 0
cos( ) ( )x 1 sen( ) ( )x 0 cos( )x
x
cos x 1 senx lim x
sen x cos x lim x 0 x 0
∆→ ∆→
Lembre-se que
x
sen x lim x 0
∆→
é o limite trigonométrico fundamental e
x
cos x 1 lim x 0
∆→
foi resolvido no exemplo 17 (c) da pág. 20.
c) y =tg( )x
Como ( )^
cos( )x
senx
tg x = e já sabemos a derivada função sen(^ x), podemos aplicar a derivada do
quociente:
( ) ( ) ( )[ ( )]
sec ( )x
cos x
cos x
cos x sen x
cos x
cosxcosx senx senx y´
2 2 2
2 2
2
Lembre-se que cos ( )x sen ( )x 1
2 2
- = é a relação trigonométrica fundamental.
e) y =sec( )x
Como ( )
cos( )x
sec x = e sabendo-se que a derivada da função cos( x) é − sen( )x , podemos aplicar
a derivada do quociente:
( ) ( ) ( )[ ( )]
sec( )xtg ( )x
cosx
senx
cosx
cos x
1 senx
cos x
0 cosx 1 senx y´ 2 2
Exemplo 32. Calcule a derivada das funções compostas abaixo:
a) ( )
2
y = sen 3 x. b) y cos ( )x
3
=. c)^ (^ )^
5 x y = tg x ⋅e. d)
sec( )x
tg x 1 y
Soluções:
a) ( )
2 y =sen 3 x
Usando a regra da cadeia, obtemos:
2 2
y´x y´u u´ x cosu 6 x 6 xcos 3 x u 3 x
y senu = ⋅ = ⋅ =
4. Derivada das funções trigonométricas inversas
Proposição:
a) y = arcsen( )x ⇒ 2
1 x
y´
b) y = arccos( )x ⇒ 2
1 x
y´
c) y = arctg( )x ⇒ 2
1 x
y´
d) y = arccotg( )x ⇒ 2
1 x
y´
e) y = arcsec( )x ⇒
, x 1
x x 1
y´ 2
f) y = arccosec( )x ⇒
, x 1
x x 1
y´ 2
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam
como exercício.
a) Seja f :[− 1 , 1 ] →[− π 2 ,π 2 ]definida por y = f( x) =arcsen( )x. Esta função tem como inversa
a função x f ( y) sen( y)
1 = =
−
. Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para
determinar f ´( )x. Assim:
( ) (^ )^2 ( ) 2
1 1 x
1 sen y
cosy
f y
f´x
−
−
Observe que y ∈ [− π 2 ,π 2 ]. Neste caso o sinal da função cos ( y) é positivo. Usando a relação
trigonométrica fundamental cos ( y) sen ( y) 1
2 2
+ = , obtemos cos( y) 1 sen ( y)
2 = −.
c) Seja f :ℜ →( −π 2 ,π 2 ) definida por y = f( x) =arctg( )x. Esta função tem como inversa a
função x f ( y) tg( y)
1 = =
−
. Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para
determinar f ´( )x. Assim:
1 2 2 2 1 x
1 tg y
sec y
f y
f ´x
−
Lembre-se que sec ( y) 1 tg ( y)
2 2 = +.
e) Seja y = arcsec( )x. Podemos reescrever esta expressão como , x 1
x
y arccos >
=. Usando o
item (b) da proposiçãoe a regra da cadeia, obtemos:
x x 1
x x 1
x
x
x 1 x
x
x 1 x
x
x 1 x
x
x
y´ 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 −
Obs.: lembre-se que 2
´
x
x
Exemplo 33. Calcule a derivada das funções abaixo:
a) y = arcsen( 2 x− 1 ). b)^
2
2
1 x
1 x y arctg.
Solução:
a) y = arcsen( 2 x− 1 ). Usando a regra da cadeia, obtemos:
2 2 1 2 x 1
1 u
y´x y´u u´x u 2 x 1
y arcsenu
b)
2
2
1 x
1 x y arctg. Novamente a regra da cadeia...
( )( ) ( )( )
( )
22
2 2
2
2
2
1 x
2 x 1 x 1 x 2 x
1 u
y´x y´u u´ x
1 x
1 x u
y arctgu
( ) (^)
2 2 2
2
2 1 x
4 x
1 x
1 x 1
simplifique esta expressão e mostre que é igual a 4 1 x
2 x
Logo ( )
4 1 x
2 x y´ x
Atividades (grupo 25).
Determine a derivada das funções:
a) y arccos( x 1 )
2 = −. b) ( )
x y = 3 x⋅arctge.
Derivadas sucessivas
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma
função y = f( )x for derivável, isto é, existe f ´( x), podemos pensar na derivada de f ´( )x e assim
sucessivamente.
Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f( x)de acordo com a tabela
abaixo:
Como lê-se: Notação:
a derivada ou derivada de 1
a
ordem ( )^
dx
dy f´x ou
a derivada ou derivada de 2
a
ordem ( )
2
2
dx
d y f´´x ou
a derivada ou derivada de 3
a
ordem ( )
3
3
dx
d y f´´´x ou
a derivada ou derivada de 4
a ordem
( )
4
4 4
dx
d y f x ou
n
a derivada ou derivada de n
a ordem
( )
n
n n
dx
d y f x ou
Justificativa para as notações:
- f ´´( )x = [ f´( )x]´, f ´´´( )x = [ f´´( )x]´, a partir da quarta derivada usamos o cardinal.
dx
dy
dx
d
dx
d y
2
2
,
2
2
3
3
dx
d y
dx
d
dx
d y , e assim sucessivamente.
Exemplo 34.
a) Se f ( )x x 2 x 1
4 = + − , então:
f ´ ( )x 4 x 2
3 = +
2 f ´´ x = 12 x
f ´´´ ( )x = 24 x
( )
f ( )x 24
4
( )
f ( )x 0
5
( )
f ( )x 0
n = , para todo n ≥ 5.
b) Se ( )
2 x f x = e , então:
2 x f ´x = 2 e
2 x f ´´ x = 4 e
2 x f ´´´ x = 8 e
( )
4 2 x f x = 16 e
( )
n n 2 x f x = 2 e.
c) Se f ( )x = sen( )x , então:
f ´ ( )x =cos( )x
f ´´^ ( )x^ =−sen( )x
f ´´´ ( )x =−cos( )x
( )
f ( )x sen( )x
4
( )
senx, n 4 , 8 , 12 ,...
cosx, n 3 , 7 , 11 ,...
senx, n 2 , 6 , 10 ,...
cosx, n 1 , 5 , 9 ,...
f x
n
Atividades (grupo 26).
- Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
a) y 3 x 2 x 9 n 4
4 = − − , =.
b) y ax bx cx+d, n 3
3 2 = + + =.
c) n 3
1 x
y = −
d) y = sen( − 5 x), n= 5.
e) y ln( 1 x ) n 3
2 = − , =.
- Marque a alternativa correta. O valor de (^) ( )
( 97 )
f 0 , sendo f ( x) e sen( 3 x)
3 x = + é:
a)
97 2 ⋅ 3 b)
194 3 c)
97 6 d)
194 6 e)
97 3 ⋅ 2
Às vezes o processo para explicitar a variável y é bastante longo e trabalhoso, como é o caso da
expressão
x y 3 xy 0
3 3
e até mesmo impossível por qualquer método elementar, como neste caso
sen ( xy) − y= 0.
O método da derivação implícita permitirá encontrar a derivada y´ sem a necessidade de explicitar
a função como y = f( )x.
Definição: Uma expressão na forma F ( x,y) = 0 define implicitamente uma função y = f( x)se o
gráfico de y = f( )x coincide com alguma parte do gráfico de F ( x,y) = 0.
Exemplo 35. Exemplos de funções definidas implicitamente:
a) 2 y x y 1 x 0
2
b) x y 1 0
2 2
c) x y 3 xy 0
3 3
d) sen ( xy) − y= 0.
Vamos agora mostrar como obter a derivada y´ , nos casos do exemplo 35, sem explicitar y.
Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expressão F ( x,y) = 0 que envolvem y.
a) 2 y x y 1 x 0
2
- − =. Esta expressão define y como uma função de x implicitamente, logo:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
x 2
1 2 xy y´
y´x 2 1 2 xy
2 y´ 2 xy x y´ 1 0
dx
dy 2 xy x dx
dy 2
1 x 0 dx
d x y dx
d 2 y dx
d
dx
d 2 y x y 1 x dx
d
2
2
2
2
2
2
Observe que usamos a derivada de um produto em (x y) dx
d (^2) .
Derivamos ambos os membros em relação a x.
Derivada de uma soma de funções.
Apenas mudamos os símbolos: y´( )x y´
dx
dy = =.
Poderíamos obter a derivada y´ derivando diretamente
x 2
x 1 y 2
=. Vejamos:
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
x 2
2 2 x x
x 2
x 2 2 x 2 x
x 2
1 x 2 x 1 2 x y´
= , logo
( )
2 2
2
x 2
2 2 x x y´
Você pode estar se perguntando:
Obtivemos
( )
2 2
2
x 2
2 2 x x y´
= , mas anteriormente calculamos x 2
1 2 xy y´ 2
=. Estas expressões são
distintas?
Obviamente não, pois se fizermos
x 2
x 1 y 2
= na expressão x 2
1 2 xy y´ 2
= , vamos obter
( )
2 2
2
x 2
2 2 x x y´
( )
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
x 2
2 2 x x
x 2
x 2
x 2 2 x 2 x
x 2
x 2
2 x 2 x 1
x 2
x 2
x 1 1 2 x
y´
Atenção: Não é necessário verificar se as derivadas calculadas nas formas explícita e implícita
coincidem, mesmo porque em alguns casos não é possível mesmo isolar a variável y.
Caso queiramos calcular o valor da derivada y´ num ponto, por exemplo x (^) o = 2 , basta
encontrarmos o valor da imagem yo , substituindo x (^) o na expressão 2 y x y 1 x 0
2
calculamos y´ com estes dois valores, pois
x 2
1 2 xy y´ 2
= depende de duas variáveis. Vejamos:
2 y x yo 1 xo 0 2 yo 4 yo 1 2 0 yo
2 o +^ o + − = ⇒ + + − = ⇒ =.
x 2
1 2 x y y´ 2 2 o
o o
Observe que encontramos este mesmo valor usando
( )
2 2
2
x 2
2 2 x x y´
= no ponto x (^) o = 2 :
( ) 18
y´ 2 2
2
= =
Mas lembre-se: nem sempre é possível isolar a variável y para calcular y´.
Atividades (grupo 27).
- Determine a derivada y' das curvas dadas implicitamente por:
a) x y 4
2 2
2 3
+ = − c) x y xsen( )y 0
2 2
d) e x y 3
xy = + − e)^0 x y
x y y
3
− f) tg ( y) =xy− 1
- Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos
pontos indicados.
a) ( )
2
ln y = x+y no ponto P( − 1 , 1 ).
b)
3 y x = y. 2 , no ponto em que a normal é vertical.
c) 6 x 13 y 19
2 2
- = (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 26 x− 12 y− 7 = 0.
- Seja C a circunferência dada implicitamente por x y 1
2 2
- = e t a reta tangente à C no ponto de
abscissa x (^) o = 2 2 , como mostra a figura abaixo. Calcule o valor da área sombreada.
- Determine a área do triângulo AOB na figura abaixo sabendo-se que r é a reta tangente a curva C,
dada implicitamente por e 2 cos( x 1 ) 3 x
xy 2
+ − = , no ponto A( 1 , 0 ).
Derivada de uma função na forma paramétrica
Função na forma paramétrica
Sejam
y y t
x xt
funções de uma mesma variável t, t ∈ [ a,b].
A cada valor de t no intervalo [a ,b]corresponde um único par P( x(t ), y( )t)no plano cartesiano. Se
as funções x = x( )t e y = y( )t forem contínuas, quando t variar de a até b, o ponto P descreverá
uma curva no plano.
As equações
y y t
x xt são chamadas de equações paramétricas da curva e t é chamado de
parâmetro.
Se a função x = x( )t admite uma inversa t = t( x), podemos escrever y = y(t ( )x), eliminando o
parâmetro t. Neste caso, temos y como uma função de x, isto é, y = y( x).
Mesmo quando a função x = x( )t não admite inversa, em alguns casos, podemos obter uma forma
implícita da curva, eliminando o parâmetro t de forma conveniente.
Dizemos que as equações
y y t
x xt definem a forma paramétrica de uma curva plana.
Exemplo 36.
a) As equações ∈ℜ
,t y 2 t
x t 1 , definem a reta de equação y = 2 x− 2. Para verificar isto basta
isolar o parâmetro t na equação x = t+ 1 e substituir em y = 2 t.
b) As equações ∈ℜ
,t y t 1
x 1 t
2
, definem a parábola de equação y x 2 x
2 = −. Para verificar
isto basta isolar o parâmetro t na equação x = 1 −t e substituir em y t 1
2 = −.
c) As equações
∈[ π]
,t 0 , 2 y 2 sent
x 2 cost , definem a circunferência de equação x y 4
2 2
Pois as equações x = 2 cos( )t e y = 2 sen(t )satisfazem x y 4
2 2
