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Taxa de variação
Vimos na seção anterior que se s = s( )t é a função horária do movimento retilíneo de um corpo, a
velocidade média é dada por
t
s v (^) m ∆
= e a velocidade instantânea é a dada pela derivada
t
st t st lim t
s v t s´t lim t 0 t (^0) ∆
∆→ ∆→
. Da mesma forma, a aceleração média é t
v a (^) m ∆
= e a
aceleração instantânea é dada pela derivada ( ) ( )
t
vt t vt lim t
v a t v´t lim t 0 t (^0) ∆
∆→ ∆→
As razões v (^) m e am são exemplos de taxas médias de variação num intervalo e as razões
t
s v t s´t lim t (^0) ∆
∆→
e ( )^ ( )^
t
v a t v´t lim t (^0) ∆
∆→
são exemplos de taxas instantâneas de variação
num ponto, ou simplesmente taxas de variação num ponto.
Definição: De uma forma geral, se y = f( x)é uma função, a razão
x
y
é chamada de taxa média
de variação da função f no intervalo [ x, x+ ∆x] e a derivada
x
f x x f x lim x
y f ´x lim x 0 x (^0) ∆
∆→ ∆→
é chamada de taxa de variação da função f no ponto x.
“Toda taxa de variação pode ser interpretada como uma derivada”.
Interpretando a derivada desta forma, podemos resolver diversos problemas das ciências que
envolvem razões instantâneas de variação.
Exemplo 40. Suponha que um óleo derramado através da ruptura do tanque de um navio se espalhe
em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Com que velocidade a área do
derramamento está crescendo no instante em que o raio atingir 60m?
Solução:
A taxa com que o raio cresce é de 2m/h. Podemos interpretar e denotar esta taxa de variação como
2 m/ h dt
dr =.
Queremos calcular a taxa com que a área cresce em relação ao tempo. Podemos denotar esta taxa de
variação como
dt
dA
. A área do derramamento é circular, logo
2 A = πr.
Queremos calcular
dt
dA e temos dt
dr
. A regra da cadeia relaciona estas razões através de
dt
dr
dr
dA
dt
dA = ⋅. Assim, 2 r 2 4 r dt
dA = π ⋅ = π. Quando o raio atingir 60m a área do derramamento
estará crescendo a uma taxa de 4 ( 60 )m /h 240 m /h
2 2 π = π.
Diretrizes para resolver problemas de taxa de variação
- Desenhe uma figura para auxiliar a interpretação do problema;
- Identifique e denote as taxas que são conhecidas e a que será calculada;
- Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa será encontrada, com as quantidades
cujas taxas são conhecidas;
- Derive esta equação em relação ao tempo, ou use a regra da cadeia, ou a derivação implícita
para determinar a taxa desconhecida;
- Após determinada a taxa desconhecida, calcule-a em um ponto apropriado.
Exemplo 41. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e
altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m
3 /min, encontre
a taxa na qual o nível da água está elevando quando a água está a 3m de profundidade.
h r 4
h
r = ⇒ =. Assim,
3
2
h 12
h 2
h
V
π =
= π.
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
dt
dV
h
dt
dh
dt
dh 3 h dt 12
dV
dt
dh
dh
dV
dt
dV
2
2 ⋅ π
π = ⋅ ⇔ =.
Substituindo 2 m min
dt
dV (^3) = e h = 3m, temos
0 , 28 m min 9
dt
dh
2
π
π
Dado 2 m min dt
dV (^3) = , devemos encontrar dt
dh
quando h = 3m. As grandezas V e h estão
relacionadas pela equação r h 3
V
2 = π , que é o
volume do cone. Para obter o volume V como função
da altura h, podemos eliminar a variável r usando
semelhança de triângulos:
Análise gráfica das funções
Máximos e mínimos
Definição: Uma função y = f( )x tem um ponto de máximo relativo em x = x 0 , se existe um
intervalo aberto A, contendo x 0 , tal que f ( x 0 ) ≥ f( )x , para todo x ∈ A.
f ( x 0 )é chamado de valor máximo relativo.
Definição: Uma função y = f( )x tem um ponto de mínimo relativo em x = x 1 , se existe um
intervalo aberto B, contendo x 1 , tal que f ( x 1 ) ≤ f ( x), para todo x ∈ B.
f ( x 1 )é chamado de valor mínimo relativo.
Exemplo 42. A função ( )
4 2 f x = x − 4 x tem um ponto de máximo relativo em x = 0 e dois pontos
de mínimos relativos em x = ± 2. O valor máximo relativo é y = 0 e o valor mínimo relativo é
y = − 4.
A proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos de extremos relativos (máximos
relativos ou mínimos relativos) de uma função.
Proposição: Seja y = f( x)uma função definida num intervalo aberto I = ( a,b). Se f tem um
extremo relativo em k ∈ I e f ´( )x existe para todo x ∈ I, então f ´( k) = 0.
Podemos interpretar geometricamente esta proposição da seguinte forma:
A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = k é horizontal , visto que f ´( k) = 0.
Definição: Um ponto c ∈ D( f) tal que f ´( c) = 0 ou f ´( c) não existe é chamado de ponto
crítico de f.
Se houverem extremos relativos numa função, estes ocorrem em ponto críticos.
Exemplo 43. Algumas funções e seus pontos críticos.
a) b) c)
3
y = x y = x− 1 + 2 y ( x 1 ) 1
2 = − +
Observações:
- No exemplo a) f ´( 0 ) = 0 , mas x = 0 não é um ponto de extremo da função.
- No exemplo b) não existe f ´( ) 1 , mas x = 1 é um ponto de extremo (mínimo relativo) da
função.
- No exemplo c) f ´( 1 ) = 0 e x = 1 é um ponto de extremo (mínimo relativo) da função.
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a ,b]e derivável no intervalo ( a, b).
a) Se f ´( )x > 0 para todo x ∈ (a ,b), então f é crescente em [ a, b];
b) Se f ´( )x < 0 para todo x ∈ (a ,b), então f é decrescente em [a ,b].
Noção geométrica:
a) Se a função derivada é positiva para todo x ∈ ( a,b)então, geometricamente, a reta tangente tem
inclinação positiva para todo x ∈ ( a,b).
o
f ´ x =tgα > 0 ⇒ 0 <α< 90.
b) Se a função derivada é negativa para todo x ∈ (a ,b)então, geometricamente, a reta tangente tem
inclinação negativa para todo x ∈ (a ,b).
o o f ´x = tgα < 0 ⇒ 90 <α< 180.
Exemplo 44. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função ( )
4 2 f x = x − 4 x.
Solução: Vamos analisar o sinal da derivada desta função.
f ´ ( )x 4 x 8 x 4 x( x 2 )
3 2 = − = −.
Logo:
f é crescente para todo x ∈ [− 2 , 0 ] ∪[ 2 ,+∞], pois a derivada é positiva nestes intervalos.
f é decrescente para todo x ∈ [− ∞,− 2 ] ∪[ 0 , 2 ], pois a derivada é negativa nestes
intervalos.
Observe o gráfico da função ( )
4 2 f x = x − 4 x no exemplo 42.
Critérios para determinar os extremos de uma função
Teorema: (Critério da primeira derivada para determinação de extremos)
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [ a, b]que possui derivada em todo ponto do
intervalo ( a, b), exceto possivelmente num ponto k:
a) Se f ´( )x > 0 para todo x < k e f ´( )x < 0 para todo x > k, então f tem um máximo relativo em k;
b) Se f ´( )x < 0 para todo x < k e f ´( )x > 0 para todo x > k, então f tem um mínimo relativo em k;
Interpretação geométrica:
a) A função f é crescente para todo x < k , pois f ´( x) > 0 e é decrescente para todo x > k , pois
f ´ ( )x < 0. Desta forma, f assume um ponto de máximo relativo em x = k.
b) A função f é decrescente para todo x < k , pois f ´( x) < 0 e é crescente para todo x > k , pois
f ´ ( )x > 0. Desta forma, f assume um ponto de mínimo relativo em x = k.
Exemplo 45. Determine os extremos da função ( )
4 2 f x = x − 4 x.
Como vimos no exemplo anterior o sinal de f^ ´(^ x)é.
Então, de acordo com a proposição, x = ± 2 são ponto de mínimo relativo e x = 0 é ponto de
máximo relativo. Observe o gráfico da função ( )
4 2 f x = x − 4 x no exemplo 42.
Concavidade e ponto de inflexão
Sabemos que a parábola y ax bx c a 0
2 = + + , ≠ , tem concavidade voltada para cima quando a > 0
e concavidade voltada para baixo quando a < 0. Não existe mudança de concavidade nos gráficos
destas funções. Situação diferente acontece em y = sen( x)ou y = cos( x), onde verificamos essas
mudanças. Os pontos de mudança de concavidade são chamados de pontos de inflexão. Através da
derivada (segunda) podemos determinar os intervalos onde uma função tem concavidade voltada
para cima ou para baixo e os pontos de inflexão. Estes conceitos são úteis no esboço gráfico de uma
curva.
Definição: Dizemos que uma função f tem concavidade voltada para cima ( C.V.C ) num intervalo
( a ,b)se f ´é crescente neste intervalo. Em outras palavras, se o gráfico da função estiver acima de
qualquer reta tangente.
Figura 1
Definição: Dizemos que uma função f tem concavidade voltada para baixo ( C.V.B ) num intervalo
( a ,b)se f ´é decrescente neste intervalo. Em outras palavras, se o gráfico da função estiver abaixo
de qualquer reta tangente.
Figura 2
Através do estudo do sinal da segunda derivada podemos determinar os intervalos onde uma função
tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Vejamos a seguinte proposição.
Proposição: Seja f uma função contínua e derivável até a segunda ordem no intervalo ( a ,b):
a) Se f ´´( )x > 0 para todo x ∈ ( a,b), então f tem concavidade voltada para cima em ( a, b);
b) Se f ´´( )x < 0 para todo x ∈ (a ,b), então f tem concavidade voltada para baixo em ( a, b).
Prova:
a) Como f ´´( )x > 0 para todo x ∈ ( a,b), então f´ ( x)é crescente em ( a, b). Desta forma, o gráfico
de f tem o aspecto do gráfico da figura 1 anterior. De forma análoga prova-se o item b.
Definição: Um ponto P( k,f( )k)do gráfico de uma função contínua f é chamado de ponto de
inflexão ( P.I. ) se ocorre uma mudança de concavidade na passagem por P.
Figura 3 (^) Figura 4
Para verificar a existência de um ponto de inflexão P( k,f(k ))no gráfico de uma função f, basta
verificar a mudança de sinal da segunda derivada na passagem por k.
Observe simbolicamente como isto ocorre:
Na figura 3 temos Na figura 4 temos
Exemplo 48.
Determine os intervalos onde a função ( )
4 2 f x = x − 4 x tem concavidade voltada para cima, para
baixo e os pontos de inflexão.
Definição: A reta de equação x = k é uma assíntota vertical do gráfico de uma função y = f( x),
se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
i) ( ) =+∞
→+
lim f x x k
ii) ( ) =+∞
→−
lim f x x k
iii) ( ) =−∞
→
lim f x x k
iv) ( ) =−∞
→−
lim f x x k
Exemplo 49
a) A reta de equação x = 0 é assíntota vertical da função y = ln( x), pois ( ) =−∞
→+
limln x x 0
Observe o gráfico da função y = ln( )x :
b) A reta de equação x = 1 é assíntota vertical da função
2 x 1
l y
−
= , pois
x→ 1 2 x 1
lim.
Observe o gráfico da função
2 x 1
l y −
Definição: A reta de equação y = k é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função
y = f ( )x , se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
i) lim f( )x k
x
→+∞
ii) lim f( )x k
x
→−∞
Exemplo 50
a) A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal da função 2
2
1 x
x 1 y
= , pois 1 1 x
x 1 lim 2
2
x
x
→−∞
→+∞ ou
Observe o gráfico da função 2
2
1 x
x 1 y
b) A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal da função
x
senx y = , pois^
x
senx lim
x
x
→−∞
→+∞ ou
Graficamente podemos perceber que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude e o gráfico da
função
x
senx y = vai se aproximando da reta y = 0.
Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o gráfico da função.
o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento):
( )
2 2
2
x 1
x 1 f' x
−
=. Estudando o sinal da derivada...
A função é decrescente ∀x ∈ℜ−{− 1 , 1 }.
o passo (Pontos de máximos e mínimos relativos):
Como o sinal de f '( )x não muda (é sempre negativo), então não existem extremos relativos para f.
o passo (Concavidade e pontos de inflexão):
( )( ) ( )( )( )( )
( )
( )( )
( )
2 3
2
2 4
2 2 2 2
x 1
2 x x 3 ...
x 1
2 x x 1 x 1 2 x 1 2 x f'' x
−
Estudando o sinal da segunda derivada...
f tem C.V.C. ∀ x ∈( − 1 , 0 ) ∪( 1 ,+∞).
f tem C.V.B. ∀x ∈( −∞,− 1 ) ∪( 0 , 1 ).
Como x = − 1 e x = 1 não fazem parte do domínio da função f , então o único ponto de inflexão é
x = 0 pois f ''muda de sinal quando passa por ele.
o passo (Assíntotas horizontais e verticais):
Vertical:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
(^ )(^ )^ (^ )(^ )
− − →− →−
→− →−
− − → →
→ →
− −
− −
Areta é assíntota.
Areta é assíntota.
x 1
x 1 x 1
x lim x 1
x lim
x 1 x 1
x lim x 1
x lim
x 1
x 1 x 1
x lim x 1
x lim
x 1 x 1
x lim x 1
x lim
x 1
2 x 1
x 1
2 x 1
x 1
2 x 1
x 1
2 x 1
Horizontal: Areta é assíntota.
(L´Hospital)
(L´Hospital)
y 0
2 x
lim x 1
x lim
2 x
lim x 1
x lim
x^2 x
x^2 x
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
o passo (Esboço do gráfico):
Reunindo todos o elementos calculados, podemos agora traçar o gráfico:
Concavidade e ponto de inflexão.
- Determinar os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima (C.V.C.) e
concavidade voltada para baixo (C.V.B.). Determine também os pontos de inflexão (P.I.).
a) f (^ x )= x − x + x+
3 2 2 1. (^) d) f ( (^) x ) (^) = ( x^2 − )
2
b) f (^ x )= 3 x − 4 x + 6
4 3
. (^) e) f ( x) = x−
5
c) f (^ x )= 2 x − 6 x
6 4
. f) f (^ x ) xe
x =.
Assíntotas.
- Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo, se existirem.
a) f (^ x )= x − x +
3 2 3 2. d) f (^ x )
x
x x
2
2 2
b) f (^ x )
x
x
2
2.^
e) (^ )^
( ) f x
x
x
sen .
c) f (^ x )
x
x
. f) ( )
( ) f x
x
x
ln
3
Esboço gráfico.
- Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as
assíntotas horizontais e verticais, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e
mínimos relativos, os intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e onde o gráfico tem
concavidade para baixo, os pontos de inflexão e o esboço gráfico.
Obs: Para confirmar a sua resposta, construa os gráficos utilizando um software matemático.
a) f (^ x )= 10 + 12 x − 3 x − 2 x
2 3
. (^) d) f ( (^) x ) e
x
− 2 .
b) f ( )x = ( x+ 1 ) ( x− 1 ). e) f (^ x) = x .ln( x).
c) f ( x )= − x + x −
4 2
6 3. f) f ( x) e x
x =.
Problemas de otimização
Agora apresentaremos os problemas de otimização. Nestes problemas buscamos
soluções que são ótimas , do ponto de vista matemático. Por exemplo: uma empresa deseja produzir
potes cilíndricos de 300ml para armazenar certo tipo de produto. Sabe-se que estes potes devem ter
área total mínima para reduzir o custo de impressão dos rótulos. De todos os cilindros de volume
igual a 300ml, qual possui menor área total (raio da base e altura)? Devemos então buscar uma
solução que minimize a área total do cilindro, reduzindo assim o custo de impressão dos rótulos nos
potes. Variados problemas práticos, semelhantes a esse, em diversos ramos do conhecimento, são
resolvidos com o auxílio das derivadas.
Iniciaremos resolvendo este problema.
Exemplo 52. De todos os cilindros de volume igual a 300ml, qual possui menor área total (raio da
base e altura)?
Abrindo o cilindro nós temos
Sabe-se que o volume do cilindro é V r h
2 = π e a área total é A 2 r 2 rh
2 = π + π.
Queremos determinar os valores do raio (r) da base e a altura (h) de um cilindro de 300 ml de
volume (V) que possua mínima área total (A).
Já sabemos determinar o ponto de mínimo de uma função através dos dois critérios vistos, mas a
função área possui duas variáveis r e h. Poderemos resolver este problema isolando uma das
variáveis em V r h
2 = π (com V = 300 ) e substituí-la em A 2 r 2 rh
2 = π + π.
2
2
r
300 r h h π
= π ⇒ =.
Temos então que
r
2 r r
A 2 r 2 r
2 2
2 = π + π
= π + π. Conseguimos então tornar a função área como
função de uma única variável. Vamos determinar o ponto crítico desta função:
2 r
A´ = 4 πr−. Resolvendo agora a equação A´ = 0 :
3 , 6 cm 4
r 4
r r
0 4 r r
4 r^3
3 2 2
π
π
π − = ⇒ π = ⇒ =.
Como 0
4
A´´ 3 >
π
(verifique!), temos que 3 4
r π
= é ponto de mínimo da função A (pelo 2
o
critério para determinação de extremos). Substituindo 3
4
r π
= em 2 r
h π
= , obtemos h ≈ 7 , 2 cm.
