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EXERCÍCIOS
1) Determine o domínio das seguintes funções e faça os respectivos gráficos usando o winplot :
(a) f ( x )= x^2 − 2 x + 6 (b) 2
( )^3
x x f x^ x
(c) f ( x )= x^2 − 9 (d) f ( x )= ln( x − 2 ) (e) (^) f ( x ) = e x^2 −^4 (f) (^) f ( x ) = 32 x +^1 (g) f ( x )= sen ( π− 5 ) (h) f ( x )= arctg ( x^2 − 9 )
(i) f ( x )= arccos(( π / 2 ) x + 1 ) (j) ln( )
( )^31
8
2 (^3) −
= −^ +
ex
f x x x
2) Determine a funções compostas f o g e g o f e faça seus gráficos, em um mesmo sistema de eixos:
(a) f ( x )= x^2 + 2 x + 1 , g ( x )= 1 − x (b) f ( x ) = (^2) x^1 + 1 , g ( x )= x + 2
(c) f ( x )= 1 − x , g ( x )= 2 x + 4
(d) f ( x )= ex , g ( x )= (^) x (^4) + 3 x (^3) − x 2 x (^2) − 10 (e) f ( x )= tg ( x + π ), g ( x )= x − π (f) f ( x )=sec( x ), g ( x )= x^2
(g) gx x e
f x x x x = ( ) = +ln , ( )
3) Determine as funções h ( x ) e g ( x ) tais que f ( x ) = g ( h ( x )).
(a) f ( x )= ( x^2 + 3 x + 4 )^5 (b) f ( x )= ( 3 x + 1 )^2 + 2 ( 3 x^5 + 1 ) 3
(c) f ( x )= cot g^3 x
4) (a) Determine f ( x − 2 ) se f ( x )= x^2 − x + 4.
(b) Determine f ( x^2 + 1 )se f ( x )= x + 2 /( x − 1 ). (c) Determine f ( x + 1 )− f ( x )se f ( x )= x^2.
5) Faça o gráfico de f(x) = sen(x)/x. O que acontece com os valores da função para x próximo da origem?
6) Faça o gráfico de f(x) = sen(x) e g(x) = x no mesmo sistema de eixos coordenados. O que acontece com os valores da função para x próximos da origem?
7) Faça o gráfico de f(x) = [cos(x) -1]/x. O que acontece com os valores da função para x próximos da origem?
8) Faça o gráfico das seguintes funções, no mesmo sistema de eixos coordenados: (a) f ( x )= cos( x ), g ( x )=cos( x + π / 2 ), h ( x )=cos( x − π/ 2 ) (b) f ( x )= x^2 , g ( x )= 4 x^2 , h ( x )= 41 x^2 (c) f ( x )= ln x , g ( x )=ln( x + 2 ), h ( x )=ln x + 2
9) As curvas com equações (^2) a x
y x −
= são chamadas curvas ponta de bala. Faça o gráfico de
algumas destas curvas (para alguns valores de a ) para entender o porquê de seu nome.
10) Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função:
a. (^) f ( x )= 4 256 − x^2 b. ( ) = (^) x (^2) + 25 f x^ x c. f ( x )= cos( 100 x ) d. f ( x )= 3 sen ( 120 x ) e. f ( x )= 3 cos(^ x^2 ) f. f ( x )= 2 x − x^2 − 25
unidades serão vendidas por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda x , desenhe o gráfico relacionado e estime o preço ótimo de venda.
18) Suponha que você tenha R$ 20.000,00 e queira comprar um apartamento que custa R$ 50.000,00. Se você conseguir uma aplicação que renda 1,2% ao mês, quanto tempo você terá que esperar para comprá-lo?
19) Uma substância radioativa decai exponencialmente. Se 500 g da substância estavam presentes inicialmente e 400 g estão presentes 50 anos depois, quantos gramas estarão presentes após 200 anos? Quanto tempo será necessário para que se tenha 300 g da substância?
20) Um aluno que está estudando o crescimento de colônias de bactérias em certo meio de cultura obteve os seguintes dados: Número de minutos 0 20 Número de bactérias 6.000 9.
Use esses dados para chegar a uma função exponencial da forma Q ( t )= Q 0 ekt que expresse o
número de bactérias na colônia em função do tempo. Quanto tempo levará para que as bactérias se tripliquem?
21) O iodo radioativo 133 I tem uma meia-vida de 20,9 horas. Quando injetado na corrente sanguínea, o iodo tende a se acumular na glândula tireóide. a. Depois de 24h um técnico examina a glândula tireóide do paciente para verificar se está funcionando normalmente. Se a tireóide absorveu todo o iodo injetado, que porcentagem da massa inicial de iodo radioativo deve ser detectada? b. Um paciente volta à clínica 25h depois de receber uma injeção de 133 I. O técnico examina a glândula tireóide e detecta a presença de 41,3% da massa de iodo que foi injetada. Qual a porcentagem da massa inicial que permanece no resto do corpo do paciente ou que foi eliminada?
22) Em um experimento para testar a memória de curto prazo, L.R.Peterson e M.J.Peterson observaram que a probabilidade p ( t ) de que um indivíduo consiga se lembrar de uma lista de números e letras t segundos depois de examiná-la é dada por
p ( t )= 0 , 89 [ 0 , 01 + 0 , 99 ( 0 , 85 ) t ].
a. Qual a probabilidade de que o indivíduo se lembre da lista imediatamente após examiná-la (isto é, no instante t = 0)? b. Quanto tempo é necessário para que a probabilidade se reduza a 0,5? c. Faça o gráfico de p ( t ).
23) Na escala Richter, a violência de um terremoto de intensidade I é dada por R = ln I /ln 10. a. Determine a intensidade do terremoto de 1908 em São Francisco, que atingiu 8,3 na escala Richter. b. Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1908 em São Francisco que o terremoto de 1995 em Kobe, no Japão, que atingiu 7,1 na escala Richter?
24) Um modelo razoável para o número de horas do dia com luz solar na Filadélfia t dias após 1o^ de janeiro é dado pela função
= + ^ − 80
L ( t ) 12 2 , 8 sen^2 π^ t. Baseado neste modelo estime quantas horas de luz solar haverá no local no início da primavera, ou seja, no dia 21 de março. Faça um gráfico da função e, baseado nele, estime qual é o dia mais ensolarado da Filadélfia.
25) Após acionado o flash de uma câmara, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash , o qual armazena uma carga elétrica dada por
Q ( t )= Q 0 ( 1 − e − t / a ).
A capacidade máxima de carga é Q 0 , a é uma constante e t é medido em segundos. Determine a função inversa e explique seu significado. Quanto tempo levará para o capacitor carregar 90% da capacidade se a = 2?
