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IF Sudeste de Minas Gerais Campus Juiz de Fora Lista de Exerc´ıcios - C´alculo I - N´umeros Reais e Fun¸c˜oes Prof. Artur Rossini
- Resolver as equa¸c˜oes modulares:
a) | 3 y − 1 | = | 2 y + 6| (S: y = −1 ou y = 7 )
b) | 2 x + 3| = 3x − 1 (S: x = 4)
c) |x| 2 − 2 |x| − 3 = 0 (S: x = ±3)
d) |t + 1| + | 2 t − 1 | = 3 (S: t = ±1)
- Resolver as inequa¸c˜oes modulares:
a) | 2 − 4 a| ≤ 6 (S: − 1 ≤ a ≤ 2)
b)
x + 2
x − 2
∣ <^ 3 (S:^ x <^ 1 ou^ x >^ 4)
c) | 10 − x 2 | < 6 (S: (− 4 , −2) ∪ (2, 4))
d)
t^2 − 4 t
6 − 2 t
∣ >^ 0 (S:^ R^ − {^0 ,^3 ,^4 })
- Sejam A = {x ∈ R; | x − 2 | < 4 } e B = {x ∈ R; | x − 7 | < 2 }. Determine A ∩ B. (S: (5,6))
- Sendo a, b, c n˜ao nulos, determine o conjunto dos valores assumidos pela express˜ao a
|a|
b
|b|
c
|c|
abc
|abc|
quando a, b, c variam. (S: {− 4 , 0 , 4 })
- Simplifique os radicais, sendo a > 0 e 0 < x < 5.
a)
4
256 x^9 (S: 4x
x)
b)
a^12 x^13 (S: a^2 x^2
x)
c) 5
a^5 +
4 a^3 − a
a^3 − a
a (S: (4a 2
a)
d)
x^3 − 10 x^2 + 25x (S: (5 − x)
x)
- Racionalizar
a)
(S:
b)
(S: 5 − 2
c)
a +
b √ a −
b
(S:
a + b − 2
ab
a − b
d)
x − 1 3
x − 1
(S:
3
x^2 + 3
x + 1)
- Fatorar
a) x 4 − x 2 (S: x 2 (x − 1)(x + 1))
b) 2t^3 + 9t^2 − 5 t (S: t(2t − 1)(t + 5))
c) (a+1)x 2 −(2+3a)x+2a (S: ((a+1)x−a)(x−2))
d) m 2 n 2 x 4 − (m 2
- n 2 )x 2
- 1 (S: (mx − 1)(mx + 1)(nx + 1)(nx − 1))
- Determine p para que a soma dos inversos das ra´ızes da equa¸c˜ao x^2 − 6 x + p = 0 seja 3
- (S:^ p^ = 4)
- Seja log 2 3 = m. Calcule, em fun¸c˜ao de m,
a) log 3 8 (S: 3/m)
b) log 2 144 (S: 4 + 2m)
c) log 6 12 (S: (2 + m)/(1 + m))
d) log 1 2
1 9 (S: 2m)
- Resolva as seguintes quest˜oes:
a) Se logb a 2 = 8, calcule logb a 3
. (S: 12)
b) Se logb a = 9, calcule logb
a^2 (S: 6)
c) Calcule log 3 4 · log 2 3. (S: 2)
d) log 2 3 · log 3 4 · log 4 5 · log 5 x = 3. (S: x = 8)
- Sabendo que tg α e tg β s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao ax^2 + bx + c = 0, a 6 = 0, determine o valor de
tg(α + β) em fun¸c˜ao de a, b e c (com a 6 = c). (S: b c−a )
- Sabendo que sen x = 2 cos x e 0 < x < π/2, calcule sen 2x e cos 2x. (S: sen 2x =
e cos 2x = −
- Sabendo que cos α = 4 5 e sen^ β^ =^
5 13 , com^ α^ e^ β^ no primeiro quadrante, calcule sen(α^ +^ β) e cos(α − β). (S: sen(α + β) = 56 65 e cos(α^ −^ β) =^
63 65 .)
- A equa¸c˜ao do segundo grau 32x^2 + bx + 9 = 0 tem como ra´ızes o seno e o cosseno do mesmo
ˆangulo α.
a) Calcule sen 2α (S: sen 2α = 9 16 ) b) Determine o valor de b (S: b = ±40)
- Verifique que:
a) a soma e o produto de duas fun¸c˜oes pares ´e par;
b) a soma de duas fun¸c˜oes ´ımpares ´e ´ımpar;
c) o produto de duas fun¸c˜oes ´ımpares ´e par;
d) o produto de uma fun¸c˜ao par e uma ´ımpar ´e ´ımpar;
e) Se g ´e uma fun¸c˜ao par, ent˜ao f ◦ g ´e par, qualquer que seja f.
f) a ´unica fun¸c˜ao que ´e simultaneamente par e ´ımpar ´e a fun¸c˜ao nula.
- Sejam f : A → B e g : B → C duas fun¸c˜oes. Mostre que:
a) Se f e g s˜ao injetoras, ent˜ao a composta g ◦ f : A → C tamb´em ´e injetora;
b) Se f e g s˜ao sobrejetoras, ent˜ao a composta g ◦ f : A → C tamb´em ´e sobrejetora;
c) Se f e g s˜ao invert´ıveis, ent˜ao a composta g ◦ f : A → C tamb´em ´e invert´ıvel. Verifique que a inversa (g ◦ f )−^1 ´e a fun¸c˜ao f −^1 ◦ g−^1 : C → A.
- Considere a fun¸c˜ao f : R → {− 1 , 1 } dada por f (x) =
− 1 se x ∈ Q 1 se x /∈ Q.
Calcule o valor da
express˜ao E =
f (3) − f (−5) + f (
−f (
(S: E = 1)
- Seja f : R → R dada por f (t) = 4t − 3.
a) Verifique que f ´e injetora e sobrejetora.
b) Determine a fun¸c˜ao inversa de f.
- Sejam f (x) = 2 − 3 x e g(x) = 3x + k. Determine k para que f (g(x)) = g(f (x)). (S: k = −1)
- Seja f : R → R uma fun¸c˜ao tal que f (ab) = f (a) · f (b) ∀ a, b ∈ R. Se existe k com f (k) 6 = 0,
mostre que f (1) = 1.
- Seja f : R → R uma fun¸c˜ao tal que f (ab) = f (a) · f (b) ∀ a, b ∈ R. Se f (4) = 2 e f (9) = 3, calcule
f (36), f (81), f (1), f (2), f (6).
- Considere f : R → R dada por f (x) = 0 ∀ x ∈ R (fun¸c˜ao nula). a fun¸c˜ao f satisfaz a igualdade
f (ab) = f (a) · f (b) ∀ a, b ∈ R e f (1) = 0. Por que esta fun¸c˜ao n˜ao contradiz o exerc´ıcio 20?
- Na fun¸c˜ao f (x) = x 2 , calcule f (2x), f (x 2 ), f (1/x), f (x + h),
f (x+h)−f (x) h.
- Sejam A = {a, b, c} e B = { 1 , 2 , 3 }. Quantas s˜ao as poss´ıveis fun¸c˜oes f : A → B? Quantas
bije¸c˜oes s˜ao poss´ıveis? Em geral, se A e B possuem m elementos, quantas bije¸c˜oes de A em B existem?
- Seja f : (0, +∞) → R uma fun¸c˜ao tal que f (ab) = f (a) + f (b) ∀ a, b ∈ (0, +∞). Mostre que
f (1) = 0.
