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Introdu¸c˜ao `a Cosmologia -
Forma¸c˜ao de Estruturas: Instabilidade Gravitacional
Alexandre Henriques
Junho de 2020
Exerc´ıcio 1
Considerando-se haver presente, em um universo com curvatura negativa, apenas alguma quanti-
dade dinamicamente irrelevante de mat´eria (i.e Ω m << 1 ; cf. Se¸c˜ao 5.2 do livro-texto). Determine
a forma funcional para a evolu¸c˜ao temporal das flutua¸c˜oes de densidade δ(t).
Deduzimos (e.g. Projeto SNIa) que o fator de escala do Universo vazio ´e a(t) = t/t 0. Neste
modelo, o parˆametro de Hubble se escreve como H(t) = 1/t. A forma funcional de δ(t) ´e encontrada
resolvendo-se a equa¸c˜ao diferencial
δ + 2
δ
t
m
δ
t
2
Usando o ansatz para a solu¸c˜ao como lei de potˆencia: δ(t) = kt
n , substitu´ımos na eq. (1) para
obter
kn(n − 1)t
n− 2
t
n− 1
t
m
kt
n
t
2
⇒ n
2
m
e as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao quadr´atica para n s˜ao
n = −
m
1 / 2
Usando a aproxima¸c˜ao, para x << 1, (1 + x)
m u 1 m x na express˜ao acima vem que
n
(1 + 3Ωm)
Logo, pelo princ´ıpio de superposi¸c˜ao para solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais, a solu¸c˜ao para δ(t) ´e
δ(t)
= k 1 t
3 2
Ωm
− 1 t
−
3 2
Ωm
Caso Ω m
= 0 (realmente muito insignificante) a express˜ao simplifica-se para
δ(t)
= k 1 +^ k 2 t
− 1
que seria a mesma solu¸c˜ao obtida caso tiv´essemos desprezado Ωm direto na eq. (1). Observe que
para t → ∞, δ → cte. Neste modelo de Universo, flutua¸c˜oes de densidade n˜ao podem crescer para
formar estruturas.
Exerc´ıcio 2
Estime por = total
γ
b a densidade de energia correspondente `algum fluido f´oton(γ)+b´arion(b).
a) Determine a velocidade do som (c s
γ+b neste fluido.
b) Comparando-se o resultado anterior com o que ´e poss´ıvel se obter a partir da equa¸c˜ao (11.29)
do livro-texto, resultado aquele que ´e v´alido apenas para f´otons, (c s
γ , estime um valor para a raz˜ao
(c s
γ+b /(c s
γ
a) Da equa¸c˜ao dos fluidos, a densidade de energia de cada componente ´e dada por
i = 0 a
−3(1+ωi)
de forma que (usando que ω γ = 1/3 e ω b
γ
b
γ, 0 a
− 4
− 3
Como a press˜ao total ´e a soma da contribui¸c˜ao das esp´ecies,
P = P
γ
+ P
b = ω γ
γ
b
γ
mas buscamos dP/d para calcular a velocidade do som. Usando a regra da cadeia, vem que
dP
d
dP
dγ
d γ
da
da
d
e computamos
dP
dγ
1
3
dγ
da
γ, 0 (−4)a
− 5
