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Introdu¸c˜ao `a Cosmologia - Infla¸c˜ao C´osmica
Alexandre Henriques
Junho de 2020
Exerc´ıcio 1
Pode-se definir por infla¸c˜ao (fase inflacion´aria) qualquer per´ıodo na hist´oria do Uni- verso tal
em que ¨a > 0. Mostre que, nestes per´ıodos, o raio de Hubble com´ovel, H = c/aH, se contrai com o
tempo.
A distˆancia pr´opria relaciona-se com a distˆancia com´ovel atrav´es de
dp(t) = a(t)r
mas em um Universo plano e dominado por radia¸c˜ao, a eq. (5.59) fornece
dHOR = c H Ent˜ao, se
dp = dHOR ⇒ r = c aH Observe que a equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao fornece ¨a > 0 e a equa¸c˜ao de Friedmann fornece ˙a > 0.
Al´em disso, lembrando que H = ˙a/a,
d dt
aH
d a˙−^1 dt = − a˙−^2 ¨a < 0
Decorre ent˜ao que
r˙ = dr dt = c d dt
aH
ou seja, a distˆancia com´ovel se contrai com o tempo. Isto implica que, durante a infla¸c˜ao, o plano
com´ovel (r, θ, φ) se contrai (estas s˜ao as coordenadas que representam o sistema que encontra-se em
repouso em rela¸c˜ao `a expans˜ao). Ao inv´es de observar o espa¸co-tempo se expandindo, um observador
no plano com´ovel veria o horizonte da part´ıcula diminuindo.
1
Exerc´ıcio 2
As equa¸c˜oes que governam a “por¸c˜ao” homogˆenea do Universo inflacion´ario podem ser descritas
sob a forma:
φ^ ¨ + 3H φ˙ + V ′^ = 0 e 3 M (^) P l^2 H^2 =^1 2 φ˙^2 + V (1)
em que V ′^ = dV /dφ e MP l ´e a massa de Planck. Utilizando a aproxima¸c˜ao de “slow roll” (
φ¨ = 0 e φ˙^2 = 0):
a) Mostre que, para um potencial do tipo V = 12 m^2 φ^2 , a solu¸c˜ao inflacion´aria pode ser dada por
φ(t) = φI −
mMP lt
em que φI = φ(tI ) representa o valor do campo no in´ıcio da infla¸c˜ao.
b) Mostre que neste mesmo caso
a(t) = aI exp
[
φ^2 I − φ^2 4 M (^) P l^2
]
c) Convenciona-se por final da fase inflacion´aria o momento tal em que o parˆametro
V =
M (^) P l^2 2
V ′
V
seja igual a 1. Determine o valor para φ quando do fim da infla¸c˜ao (φF ).
d) Encontre uma express˜ao para o n´umero de e-folds N = ln(aF /aI ). e) Considerando-se V (φI ) = M (^) P l^4 , estime o n´umero total de e-folds quando da fase inflacion´aria,
em fun¸c˜ao das massas m e MP l.
a) Para o potencial V = m (^2) φ 2 2 , a eq. (1) se torna 1 2 φ˙^2 +^1 2 m^2 φ^2 = 3M (^) P l^2 H^2 (2)
Na aproxima¸c˜ao “slow roll” φ¨ = 0, ent˜ao
e obtemos o fator de escala como
a(t) = aI exp
[
φ^2 I − φ^2 4 M (^) P l^2
]
c) Se V = 1, ent˜ao
( V ′ V
MP l Mas no item a) calculamos que
V ′^ =
dV dφ = m^2 φ ⇒
V ′
V
φ Decorre que
V ′
V
tF
φF
MP l ⇒ φF =
2 MP l
d) Retornando `a express˜ao obtida no item b), o n´umero de e-folds ´e N = ln
(a(t) aI
e do item c)
φF =
2 MP l. Ent˜ao,
N =
φ^2 I − 2 M (^) P l^2 4 M (^) P l^2
φ^2 I 4 M (^) P l^2
e) Considerando V (φI ) ∼ M (^) P l^4 , ent˜ao
m^2 φ^2 I ∼ M (^) P l^4 ⇒ φ^2 I ∼ 2 M (^) P l^4 m^2 Ent˜ao, usando isto na express˜ao para o n´umero de e-folds do item d),
N =
M (^) P l^2 m^2
