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Lista 5 - ´Algebra Linear: Subespa¸cos gerados, dependˆencia linear, base e
dimens˜ao
Profa. Camila Mariana Ruiz
Subespa¸cos gerados e conjuntos geradores:
Exerc´ıcio 1. Para cada um dos subconjuntos S ⊆ V , onde V ´e o espa¸co vetorial indicado, encontrar o subespa¸co gerado por S, isto ´e, [S].
(a) S =. {(1, 0), (2, −1)} , V =. R^2. (b) S =. {(1, 1 , 1), (2, 2 , 0)} , V =. R^3. (c) S =. {p 0 , p 1 , p 2 , p 3 } , V =. P 3 (R), onde p 0 (t) = 1. , p 1 (t) =. t p 2 (t) =. t^2 e p 3 (t) = 1 +. t^3 , t ∈ R.
(d) S =.
, V =. M 2 × 2 (R).
Exerc´ıcio 2. Seja C(R) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas em R com as opera¸c˜oes usuais. Mostrar que os conjuntos {f 1 , f 2 , f 3 } e {g 1 , g 2 , g 3 } geram o mesmo subespa¸co vetorial de C(R), onde
f 1 (t) = sen.^2 (t), f 2 (t) = cos.^2 (t), f 3 (t) = sen(. t) cos(t),
e g 1 (t)
= 1, g 2 (t)
= sen(2t), g 3 (t)
= cos(2t), t ∈ R.
Exerc´ıcio 3. Verificar se as seguintes matrizes A 1 , A 2 , A 3 , A 4 geram o espa¸co vetorial M 2 (R), onde:
A 1 =.
, A 2 =.
, A 3 =.
, A 4 =.
Exerc´ıcio 4. Mostre que os polinˆomios p 1 , p 2 , p 3 , p 4 geram P 3 (R) onde:
p 1 (x) = 1. , p 2 (x) = 1. − x, p 3 (x) = (1. − x)^2 , p 4 (x) = (1 − x)^3 , x ∈ R.
Exerc´ıcio 5. Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto gerador finito S do subespa¸co vetorial Ui do espa¸co vetorial V indicado.
(a) V = R^3 , U 1 = { (x, y, z) ∈ R^3 : x − 2 y = 0 }. Intreprete U 1 geometricamente. (b) V = R^3 , U 2 = { (x, y, z) ∈ R^3 : x + z = 0 e x − 2 y = 0 }. Intreprete U 2 geometricamente. (c) V = R^3 , U 3 = { (x, y, z) ∈ R^3 : x + 2y − 3 z = 0 }. Intreprete U 3 geometricamente. (d) V = R^3 , U 4 = U 1 ∩ U 2. Intreprete U 4 geometricamente. (e) V = R^3 , U 5 = U 2 + U 3. Intreprete U 5 geometricamente.
(f ) V = M 3 × 1 (R), U 6
= {X ∈ V ; AX = 0} , onde A =
Exerc´ıcio 6. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espa¸co vetorial V que geram U , W , U ∩ W e U + W.
(a) U = [(1. , 0 , 0), (1, 1 , 1)], W = [(0. , 1 , 0), (0, 0 , 1)], V =. R^3. (b) U =.
(x, y, z) ∈ R^3 ; x + y = 0
, W = [(1. , 3 , 0), (0, 4 , 6)], V =. R^3.
(c) U =.
A ∈ M 2 × 2 (R); At^ = A
, W =.
[(
)]
, V = M 2 × 2 (R).
(d) U = [p, q, r], W = [. s, u, v], V =. P 3 (R), onde p(t) =. t^3 + 4t^2 − t + 3, q(t) =. t^3 + 5t^2 + 5, r(t) = 3. t^3 e s(t) =. t^3 + 4t^2 , u(t) =. t − 1 , v(t) = 1. , t ∈ R. 1
Exerc´ıcio 7. Obtenha o subconjunto formado por vetores do espa¸co vetorial P 3 (R) que geram os seguintes subespa¸cos;
(a) U =. {p ∈ P 3 (R); p(1) = p(0) = 0} , (b) U 1 =. {p ∈ V =. P 3 (R); p ′(t) = 0, ∀t ∈ R}. (c) W =. {p ∈ P 3 (R); p′′(t) = 0, ∀t ∈ R} , (d) U ∩ W.
Exerc´ıcio 8. Seja V o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real (isto ´e, V =. F(R; R)). Mostre que f, g ∈ [u, v] ⊆ V onde f (x) = 1. , g(x) = cos 2. x, u(x) = sen.^2 x, v(x) = cos.^2 x, x ∈ R.
Exerc´ıcio 9. Verifique se P 2 (R) ´e gerado por S =. {p, q, r} onde
p(x)
= 1 + x, q(x)
= x + 2x^2 e r(x)
= 1 − x^2 , x ∈ R.
Dependˆencia linear:
Exerc´ıcio 10. Determinar m, n ∈ R de modo que o subconjunto {(m, 2 , n), (3, m + n, m − 1)} seja l.i. em R^3.
Exerc´ıcio 11. Mostre que o conjunto de vetores A = {q 1 , q 2 , q 3 , q 4 } de P 3 (R) ´e l.d. e que qualquer subconjunto de A, com trˆes elementos ´e l.i., onde
q 1 (x) = 1. , q 2 (x) =. x, q 3 (x) =. x^2 , q 4 (x) = 2 +. x + 2x^2 , x ∈ R.
Exerc´ıcio 12. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o subconjunto S do espa¸co vetorial V ´e l.i. ou l.d.:
(a) S
= {(1, 2), (− 3 , 1)} , V = R^2.
(b) S
= {p, q}, V
= P 2 (R), onde p(t)
= 1 + t − t^2 , q(t)
= 2 + 5t − 9 t^2 , t ∈ R.
(c) S
, V = M 2 × 2 (R).
(d) S
= {(1, 2 , 2 , −3), (− 1 , 4 , − 2 , 0)} , V
= R^4.
(e) S =.
, V =. M 3 × 3 (R).
(f ) S =. {f, g, h}, V =. C(R, R), onde f (x)
= 1, g(x)
= sen x, h(x)
= cos x, x ∈ R. (g) S =. {f, g, h}, V =. C(R, R), onde f (x) = 1. , g(x) = sen.^2 x, h(x) = cos.^2 x, x ∈ R.
Exerc´ıcio 13. Seja S = {u, v, w} um conjunto l.i. em V. Verifique se os conjuntos abaixo s˜ao l.i. ou l.d., justificando a resposta.
(a) S 1 = {u, u + v, u + v + w}. (b) S 2 = {u − v, v − w, w − u}. (c) S 3 = {u + v, u + v + w, w}. (d) S 4 = {u + v, u + w, v + w}.
Exerc´ıcio 14. Sejam u 1 = (1. , 3 , 5) e u 2 = (2. , 4 , −3) vetores de R^3. Determine os valores de k ∈ R para os quais o vetor (2, 7 , k) possa ser escrito como combina¸c˜ao linear dos vetores u 1 e u 2.
(a) W =. {X ∈ M 2 × 2 (R); AX = X} , onde A =.
, V =. M 2 × 2 (R).
(b) W
= {p ∈ P 2 (R); p′′(t) = 0, ∀t ∈ R} , V
= P 2 (R).
(c) W =. {X ∈ M 2 × 2 (R); AX = XA} , onde A =
, V =. M 2 × 2 (R).
Exerc´ıcio 24. Dados U, W subespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorial V determinar;
(i) uma base e a dimens˜ao do susbespa¸co vetorial U. (ii) uma base e a dimens˜ao do susbespa¸co vetorial W. (iii) uma base e a dimens˜ao do susbespa¸co vetorial U + W. (iv) uma base e a dimens˜ao do susbespa¸co vetorial U ∩ W,
nos seguintes casos;
(a) U =. {(x, y, z, w) : y − 2 z + w = 0}, W =. {(x, y, z, w) : x = w, y = 2z}, V =. R^4. (b) U =. {p(t) ∈ V ; p ′(t) = 0} , W =. {p(t) ∈ V ; p(0) = p(1)} , V =. P 2 (R).
