UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIˆ
ANGULO MINEIRO
7aLista de ´
Algebra Linear
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Verifique se as aplica¸c˜oes abaixo s˜ao produtos internos sobre V, em que V´e o espa¸co vetorial
indicado com as opera¸c˜oes usuais:
(a) Seja V=R2, considere a aplica¸c˜ao: < u, v >=x1y1
a2+x2y2
b2com a, b ∈R, para u= (x1, y1)
ev= (x2, y2) vetores gen´ericos de R2.
(b) Seja V=C∞(R;R), considere a aplica¸c˜ao: < f, g >=Zπ
−π
f(t)g(t)dt, para f, g ∈C∞(R;R).
2) No espa¸co vetorial real (Pn(R),+,·) considere < f, g >=a0b0+a1b1+. . . +anbn, onde
f, g ∈ Pn(R), s˜ao dados por f(t) = a0+a1t+. . . +antneg(t) = b0+b1t+. . . +bntn,t∈R.
Verifique se a aplica¸c˜ao <·,·>´e um produto interno no espa¸co vetorial real (Pn(R),+,·).
3) No espa¸co vetorial real (P3(R),+,·) consideremos o produto interno hf(t), g (t)i=Z1
0
f(t)g(t)dt,
em que f, g ∈ P3(R). Calcule hf(t), g (t)i,kf(t)k,kg(t)kekf(t) + g(t)kpara os seguinte casos:
(a) f(t) = t3−t−1 e g(t) = t2+ 1.
(b) f(t) = 2 e g(t) = t3+t+ 1.
4) Considere (V, +,·) um espa¸co vetorial real munido de um produto interno <·,·>. Encontrar a
distˆancia entre ueve o cosseno do ˆangulo entre eles nos seguintes casos:
(a) V.
=R4,<·,·>produto interno usual em R4, em que u= (1,1,1,1) e v= (−1,0,1,−1) .
(b) V.
=P2(R), < u, v >=Z1
0
u(t)v(t)dt, em que u(t) = 1 + t−t2ev(t)=3t2,t∈R.
5) Seja Vum espa¸co vetorial euclidiano. Provar que a aplica¸c˜ao
(u, v)→u∗v= 2hu, vi
tamb´em ´e um produto interno sobre V.
6) Sejam uevvetores de um espa¸co euclidiano tais que kuk= 1, kvk= 1 e ku−vk= 2. Determinar
hu, vi.
7) Mostrar que num espa¸co euclidiano vale a identidade: 1
4ku+vk2−1
4ku−vk2=hu, vi.
8) Considere no R2o produto interno dado por hu, vi=x1y1+ 2x2y2−x1y2−x2y1para todo par
de vetores u= (x1, x2) e v= (y1, y2) em R2.
(a) Determinar mde forma que os vetores (1 + m, 2) e (3, m −1) sejam ortogonais.
(b) Determinar todos os vetores do R2ortogonais a (2,1).
(c) Determinar todos os vetores (m, m −1) de norma igual a 1.
9) Determinar todos os vetores de R3de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente a
(2,1,2) e (−1,3,4).
10) Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes sub-espa¸cos do R4utilizando o
processo de Gram-Schmidt.
(a) W= [(1,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,3,4)]
(b) W= [(2,0,0,0),(1,3,3,0),(3,−3,−3,0)]
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