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UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
I N T R O D U Ç Ã O À Á L G E B R A L I N E A R
1 a^ L I S T A D E E X E R C Í C I O S – P E R Í O D O 2007.
O s e x e r c í c i o s 0 1 → 2 8 t r a z e m u m e s p a ç o v e t o r i a l V e u m s e u s u b c o n j u n to W.
S e mp r e q u e W f o r u m s u b e s p a ç o d e V , u s e a d e f in iç ã o d e s u b e s p a ç o p a r a p r o v a r e s te f a to. Cas o
c o n tr á r io , e la b o r e u m e x e mp lo q u e j u s tif iq u e s u a c o n c lu s ã o.
0 1. V =R^2 e W o c o n j u n to d e to d o s o s p o n to s d o p r ime ir o q u a d r a n te.
0 2. V =R^2 e W = { ( x , y )/ xy = 0 }.
0 3. V =R^2 e W = { ( x , y )/ y = mx , m ∈R }.
0 4. V =R^2 e W = { ( x , y )/ x = 0 o u y = 0 }.
0 5. V =R^2 e { ( , )/ 1 }
2 2 W = x y x + y ≤.
0 6. V =R^2 e W = { ( x , y )/ x = 3 y }.
0 7. V =R^3 e W = { ( x , y , z )/ x = y = z }.
0 8. V =R^3 e W = {( x , y , z )/ x ≤ y ≤ z }.
0 9. V =R^3 e W = {( x , y , z )/ zé in teiro }.
1 0. V =R^4 e W = { ( x , y , z , t )/ z = x + 2 y e t = x − 3 y }.
1 1. V =R n^ e W = { v ∈ V / Av = O , A u m a m a triz m × n e O a m a triz n u la m × 1 }.
( O b s e r v e q u e W , n e s t e c a s o c h a ma d o d e núcleo o u e s p a ç o n u lo d a matriz A , é o c o n j u n to d e to d a s a s s o lu ç õ e s d e u m s is te ma lin e a r h o mo g ê n e o ).
1 2. V =R n^ e W = { v ∈ V / Av = b , Au m a m a triz m × n e b u m a m a triz m × 1 }.
1 3. (^) V = M 2 × 2 e { (^) / = , + = 0 }
= a c b d c d
a b W.
1 4. (^) V = M 2 × 2 e { / a d b c } c d
a b W (^) + ≤ +
1 5. (^) V = M 2 × 2 e W = { A / AT = TA , T u m a m a triz fixa d a e m V }.
1 6. V = M 2 × 2 e W o c o n j u n to d a s matr iz e s s imétr ic a s.
1 7. V = M 2 × 2 e W o c o n j u n to d a s matr iz e s a n ti- s imétr ic a s.
1 8. V = M 2 × 3 e / } 0 0 0
{ b a c
a b c W (^) = +
1 9. V = Mn × n e W^ o c o n j u n to d a s matr iz e s d ia g o n a is.
2 0. V = Mn × n e W = { A ∈ V / d e t A = d e t ( A + I ), I a m a triz id e n tid a d e n × n }.
2 1. V =P 2 ( x ) e W = { p ( x )∈P 2 ( x )/ p ( x )= ax , a ∈
2 R }.
2 2. V =P 2 ( x ) e { ( ) / }
2 W = p x = ax + bx + c a + b = c.
2 3. V =P 2 ( x ) e W = { p ( x )∈P 2 ( x )/ p ( x ) é d iv is ív e l p o r u m p o lin ô mio f ix o q ( x )≠ 0 }.
2 4. V =P 2 ( x ) e W ={ p ( x )/ p ( 0 )= 2 p ( 1 )}
2 5. V =P 2 ( x ) e W = { p ( x )/ p ( x )+ p ′( x )= 0 }
2 6. V =P 2 ( x ) e W = { p ( x )/ g r a u [ ( ) ] 1 } { ( )}
2 p x + x ≤ ∪ o x , o ( x ) o p o lin ô mio n u lo.
2 7. V =P 3 ( x ) e W = P 2 ( x ).
2 8. V =P 4 ( x ) e W o c o n j u n to f o r ma d o p e lo s p o lin ô mio s d e V q u e p o s s u e m g r a u p a r.
2 9. S e c o n s id e r a r mo s o c o n j u n to R c o mo u m e s p a ç o v e to r ia l, q u a is s ã o s e u s s u b e s p a ç o s?
3 0. V a mo s d e n o ta r p o r F ( Ω ) a c o l e ç ã o d e t o d a s a s f u n ç õ e s r e a i s d e u ma v a r i á v e l r e a l q u e
p o s s u e m o c o n j u n to Ω co mo d o mín io. Se f e g pertencem a F ( Ω ) e λ é u m e s c a lar real,
d e f in imo s ( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x ), ( λ f )( x )= λ f ( x ) e , a s s im, p o d e mo s v e r if ic a r
q u e F ( Ω ) é u m e s p a ç o v e to r ia l. Co n s id e r a n d o - s e o c a s o e s p e c ia l e m q u e Ω =( −∞,+∞),
q u a is d o s c o n j u n to s a b a ix o s ã o s u b e s p a ç o s d e F ( Ω )?
a ) T o d a s a s f u n ç õ e s c o n s tan te s. (^) b ) T o d a s a s f u n ç õ e s f , tais q u e f ( 0 )= 1.
c ) T o d a s a s f u n ç õ e s d if e r e n c iáv eis. d ) T o d a s a s f u n ç õ e s p a r e s.
e ) T o d a s a s f u n ç õ e s ímp a r e s. (^) f ) T o d a s a s f u n ç õ e s f , tais q u e f ( x )= f ( 1 − x ).
3 1. C l a s s i f i q u e c a d a u ma d a s a f i r ma ç õ e s a b a i x o c o mo v e r d a d e i r a o u f a l s a.
a ) U m s u b c o n j u n to W d e u m e s p a ç o v e to r ia l V é u m s u b e s p a ç o , s e o v e to r n u lo d e V p e r t e n c e r a W.
b ) U m e s p a ç o v e t o r i a l t a mb é m é u m s u b e s p a ç o.
c ) U m v e t o r é q u a l q u e r e l e me nto d e u m e s p a ç o v e to r ia l.
d ) R^2 é u m s u b e s p a ç o d e R^3.
e ) U m s u b e s p a ç o t a mb é m é u m e s p a ç o v e t o r i a l.
3 2. E m r e l a ç ã o a o s i s t e ma d e e q u a ç õ e s a o l a d o , p e d e - s e :
a ) V e r i f i c a r q u e a = 3 , b = 2 e c = - 1 é u ma s o l u ç ã o.
b ) S e m f a z e r u ma n o v a v e r i f i c a ç ã o , e x p l i c a r p o r q u e
a = 3 0 , b = 2 0 e c = - 1 0 é o u tr a s o lu ç ã o.
3 3. S e j a m W 1 (^) , W 2 e W (^) 3 o s s e g u in te s s u b e s p a ç o s d e R^3 :
W 1 (^) = {( x , y , z )/ x = z }, W 2 ={( x , y , z )/ x = y = 0 }e W 3 (^) = {( x , y , z )/ x + y + z = 0 }.
É v e r d a d e q u e W 1 (^) + W 2 = W 1 + W 3 = W 2 + W 3 =R^3?
E m a lg u m d o s c a s o s a s o ma é d ir e ta?
3 4. Se W 1 (^) = {( x , y )/ x = y }, e n c o n tr e u m s u b e s p a ç o W (^) 2 d e R^2 , tal q u e R^2 = W 1 (^) ⊕ W 2.
3 5. Em V = M 2 × 2 , c o n s id e r e o s s u b e s p a ç o s
1 {^ ∈ 2 2 / = =^0 }
= M × c d c d
a b W e 2 { (^) ∈ 2 × 2 /
= M
c d
a b W d = a + b }.
a ) W 1 (^) + W 2 = M 2 × 2? b ) W 1 (^) ⊕ W 2 = M 2 × 2?
3 6. S u p o n h a u m e s p a ç o v e to r ia l V e s c r ito c o mo s o ma d ir e ta d e d o is s u b e s p a ç o s W 1 e W 2. M o s t r e
q u e ∀ v ∈ V ,e x iste u m ú n ic o v e to r v 1 (^) ∈ W 1 e u m ú n ic o v 2 (^) ∈ W 2 , tais q u e v = v 1 + v 2.
3 7. C o n s i d e r e W ={ ( 0 , 0 , 0 , 0 ),(− 1 , 4 , 2 , 2 ),( 3 ,− 1 , 0 , 2 ),(− 1 , 1 , 4 , 3 ),( 0 , 1 , 1 , 0 )} e
U =[ ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 1 ,− 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , 1 )].
a ) E s s e s c o n j u n to s s ã o s u b e s p a ç o s d e V =R^4?
b ) Q u a l é o c o n j u n to U ∩ W?
c ) U ∩ W é u m s u b e s p a ç o d e V =R^4?
3 8. A mes ma q u e s tã o a n ter io r , c o n s id e r a n d o - s e a g o r a V = M 2 × 2 ,
W e (^)
U.
5 5. S e j a m W 1 e W (^) 2 o s s u b e s p a ç o s d e M (^) 2 x 2 d e f in id o s p o r
1 { / b a } c d
a b W (^) =−
= e 2 { / c a } c d
a b W (^) =−
D e ter min e u ma b a s e e d ê a d imen s ã o d e W 1 , d e W (^) 2 , d e W 1 (^) + W 2 e d e W 1 (^) ∩ W 2.
É v e r d a d e q u e M (^) 2 x 2 = W 1 ⊕ W 2?
5 6. C o n s i d e r e { (^) / + = 0 }
= a d c d
a b W c o mo s u b e s p a ç o d e V = M 2 × 2.
a ) D e t e r mi n e u ma b a s e p a r a W , c o mp letan d o - a , e m s e g u id a , a té u ma b a s e d e V.
b ) D e ter min e u m s u b e s p a ç o U d e V , tal q u e V = W ⊕ U.
( p r o c u r e u s a r a s o l u ç ã o d ad a ao item an terio r)
5 7. A in d a e m V = M 2 × 2 , e n c o n tr e u ma b a s e e d ê a d imen s ã o d o s s e g u in te s s u b e s p a ç o s :
a ) { (^) / = , + = 0 }
= a c b d c d
a b W (^) b ) (^)
W
c ) W o c o n j u n to d a s matr iz e s s imétr ic a s. d ) W o c o n j u n to d a s matr iz e s d ia g o n a is.
5 8. N o e s p a ç o v e t o r i a l P 3 ( x ), s e j a m U = { p ( x )/ p ( 0 )+ p ′( 0 )= 0 } e W o c o n j u n to d o s
p o lin ô mio s q u e p o s s u e m u ma tan g e n te h o r izo n ta l n o p o n to x = 0.
D e ter min e u ma b a s e e d ê a d imen s ã o d e U , W , U ∩ W e U + W.
5 9. S u p o n h a q u e R^2 = U ⊕ W , o n d e α ={ u } é b a s e d e U e β ={ v } é b a s e d e W. P r o v e q u e
γ = α ∪ β é b a s e d e R^2. Gen eralize este resu ltad o.
6 0. Se W 1 e W (^) 2 s ã o s u b e s p a ç o s b id imen s io n a is d e R^3 , p o d e o c o r r e r W 1 (^) ∩ W 2 ={( 0 , 0 , 0 )}?
6 1. Se W 1 e W (^) 2 s ã o s u b e s p a ç o s d e R^3 , tais q u e dim W 1 (^) = 1 ,dim W 2 = 2 e W 1 n ã o e s tá c o n tid o e m
W (^) 2 , c o n c lu a q u e R 3 = W 1 (^) ⊕ W 2.
6 2. S e j a m W 1 e W (^) 2 s u b e s p a ç o s d e u m e s p a ç o v e to r ia l V , c o m dim W 1 (^) = 4 , dim W 2 (^) = 5 e
dim V = 7. D e ter min e o s p o s s ív e is v a lo r e s p a r a dim ( W 1 (^) ∩ W 2 ).
6 3. S u p o n h a q u e U e W s e j a m s u b e s p a ç o s d e u m e s p a ç o v e to r ia l V , o n d e dim U = 2 , dim W = 3
e dim V = 4. S a b e n d o - s e q u e θ ={ u , v } é u m c o n j u n to d e g e r a d o r e s p a r a U ∩ W , p o d e - s e
g a r a n tir q u e θ é u ma b a s e p a r a U ∩ W?
6 4. D ê u m e x e mp lo d e u m s u b e s p a ç o u n id imen s io n a l e m R^3 e d e u m b id imen s io n a l e m R^4.
6 5. V e r if iq u e q u e β ={ ( 2 , 1 ,( 1 ,− 1 )}é u ma b a s e d e R^2 e calcule [ ( 4 ,− 1 )] β e [ ( x , y )] β.
6 6. V e r if iq u e q u e { ( 1 ) ,( 1 ) , 1 , 1 }
3 2
α = − x − x − x é u ma b a s e d e P 3 ( x ) e calcule as
c o o r d e n a d a s d o v e to r ( ) 2 3
2 p x = − x − x + n e s s a b a s e.
6 7. D e ter min e a matr iz d e mu d a n ç a d a b a s e α ={( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 )} p a r a a b a s e
c a n ô n ic a d e R^3 e v i c e - v e r s a.
6 8. Se α ={ u 1 , u 2 , u 3 }e β ={ v 1 , v 2 , v 3 } s ã o b a s e s d e R^3 c u j o s v e t o r e s r e l a c i o n a m- s e p e l a s
e q u a ç õ e s v 1 (^) = u 1 + u 3 , v 2 = 2 u 1 + u 2 + u 3 e v (^) 3 = u 1 + 2 u 2 + u 3 , d etermin e as matrizes
α [ I ]β
e
β [ I ]α.
6 9. Co n s id e r a n d o o s d a d o s d o e x e r c íc io a n ter io r , d e ter min e[ v ] β s a b e n d o q u e
[ v ] α.
7 0. S e a matr iz d e mu d a n ç a d e u ma b a s e α d e R^2 p a r a a b a s e β^ ={(^1 ,^1 ,(^0 ,^2 )}é
d etermin e a b ase α.
7 1. S e j a m α ={ ( 1 , 0 ),( 0 , 1 )},β ={(− 1 , 1 ),( 1 , 1 )}e γ ={( 2 , 0 ),( 0 , 2 )}b a s e s d e R^2.
Se (^)
[ v ] β , d etermin e [ v ] α e [ v ] γ.
7 2. Q u a l é o v e t o r v d e q u e t r a t a a q u e s t ã o a n t e r i o r?
7 3. Se α é u ma b a s e q u a lq u e r d e u m e s p a ç o v e to r ia l, q u a l é a matr iz
α [ I ]α?
7 4. S e j a W o s u b e s p a ç o d e V = M 2 × 2 , co n stitu íd o d as matrizes d a fo rma
a b
0 c
a ) α ={
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 1
, , } e β ={
1 0
0 0
1 1
0 0
1 1
0 1
, , (^) } s ã o b a s e s d e W?
b ) Se su a resp o sta ao item an terio r fo i p o sitiv a, d etermin e
α [ I ]β e
β [ I ]α.
75. Em V = P 2 ( x ), c o n s i d e r e a s b a s e s { , , 1 }
2
α = x x e { ( 1 ) , 1 , 1 }
2
β = x + x +. U s a n d o a
matr iz d e mu d a n ç a d e b a s e a d e q u a d a , d e ter min e[ 2 ( 1 )] β
2 − x + x −.
( S u g e s t ã o : O b s e r v e q u e
n n x = ( ( x + 1 )− 1 ) ).
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