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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - 2019
Exerc´ıcios 10 — mudan¸cas de coordenadas, subespa¸cos vetoriais
1) Determine a matriz Mβ,β (T) do operador linear T(x, y ) = (−x+ 2y, 3x) em cada uma das bases β
abaixo.
(a) β= [v1= (1,1), v2= (1,−1)];
(b) β= [v1= (1,0), v2= (−1,2)];
(c) β= [v1= (−1,1), v2= (2,3)].
2) Determine a matriz Mβ ,β (T) do operador linear T(x, y , z) = (−x+ 2y, 3x, z) em cada uma das bases β
abaixo.
(a) β= [v1= (1,1,0), v2= (1,−1,0), v3= (0,0,1)];
(b) β= [v1= (−1,1,0), v2= (2,3,0), v3= (0,0,1)].
3) Determine a matriz Mβ→β0que transforma coordenadas na base βem coordenadas na base β0e a matriz
Mβ0→βque transforma coordenadas na base β0em coordenadas na base β.
(a) βa base canˆonica de R2β0= [v1= (1,1), v2= (1,−1)];
(b) β= [v1= (1,0), v2= (−1,2)] β0= [v1= (1,1), v2= (1,−1)];
(c) β= [v1= (−1,1), v2= (2,3)]. β0= [v1= (1,1), v2= (1,−1)];
(d) β0a base canˆonica de R3β0= [v1= (1,1,0), v2= (1,−1,0), v3= (0,0,1)];
(e) β= [v1= (−1,1,0), v2= (2,3,0), v3= (0,0,1)] β= [v1= (1,1,0), v2= (1,−1,0), v3= (0,0,1)].
4) Quais dos seguintes conjuntos de vetores u= (x,y , z) s˜ao subespa¸cos vetoriais de R3?
(a) todos os utais que x≥0;
(b) todos os utais que x+ 3y=z;
(c) todos os utais que y=x2;
(d) todos os utais que xz = 0;
(e) todos os utais que x+z=y−z.
5) O vetor u= (3,−1,7) est´a no subespa¸co vetorial de R3gerado por (2,−1,3) e (−1,1,1)?
O vetor w= (3,−1,0,−1) est´a no subespa¸co vetorial de R4gerado por (2,−1,3,2), (−1,1,1,−3) e
(1,1,9,−5)?
6) Encontre uma base para cada um dos seguintes subespa¸cos vetoriais Vde R3e indique a sua di-
mens˜ao:
(a) V=h(1,1,0),(0,1,1)i;
(b) V=h(1,2,8),(2,4,16)i;
(c) V=h(1,1,2),(0,1,1),(1.1.4)i;
(d) V={(a+b, b +c, 2a+b−c) ; a, b, c ∈R};
(e) V={(x, y, z)∈R3;x+y+z= 0};
(f) V={(x, y , z)∈R3;x+y−2z= 0 e x=z};
7) Determine o n´ucleo e a imagem de cada uma das transforma¸c˜oes lineares seguintes:
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