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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAU´I
CAMPUS CL OVIS MOURA´
CURSO: LICENCIATURA PLENA EM MATEM ATICA´
DISCIPLINA: ALGEBRA SUPERIOR I´
CARGA HOR ARIA: 90 h´ PROF.: ALEXANDRE LIMA DATA: 10/10/2023 PER´IODO: 2023.
3 ª LISTA DE EXERC´ICIOS
An´eis, Ideais e Homomorfismos
- Mostre que Zp = { 0 , 1 , · · · , p − 1 } ´e corpo ⇔ p ´e primo.
- Mostre que Zp = { 0 , 1 , · · · , p − 1 } n˜ao possui divisores de zero se, e somente se, p ´e um n´umero primo.
- Seja M at 2 (R) o conjunto de todas as matrizes reais 2 × 2. M at 2 (R), +, · ´e um anel onde + e · s˜ao as opera¸c˜oes usuais de soma e produto de matrizes, respectivamente. Mostre que o anel M at 2 (R), +, · possui divisores de zero e ´e um anel n˜ao comutativo.
- Mostre que a equa¸c˜ao X^2 = −1 possui infinitas solu¸c˜oes no anel dos quaternios Quat, +, ·.
- Dado n um n´umero inteiro positivo e a ∈ Zn com a 6 = 0. Prove que: (a) Se M DC{a, n} = 1, ent˜ao a ´e invers´ıvel. (b) Se M DC{a, n} 6 = 1, ent˜ao a ´e um divisor de zero.
- Mostrar que se a ´e invers´ıvel em um anel A, ent˜ao a n˜ao ´e um divisor de zero. Conclua que se A ´e um corpo, ent˜ao A ´e um dom´ınio de integridade.
- Calcule os divisores de zero nos seguintes an´eis:
Z 6 , Z 8 , Z 18 e Z 60
- Seja f : Z → Z uma fun¸c˜ao tal que f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Z e f (x · y) = f (x) · f (y), ∀x, y ∈ Z. Prove que ou f = IZ ´e a fun¸c˜ao identidade de Z ou f ≡ 0 ´e a fun¸c˜ao constante zero.
- Seja f : Q → Q uma fun¸c˜ao tal que f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Q e f (x · y) = f (x) · f (y), ∀x, y ∈ Q. Prove que ou f = IQ ´e a fun¸c˜ao identidade de Q ou f ≡ 0 ´e a fun¸c˜ao constante zero.
- Seja f : R → R uma fun¸c˜ao tal que f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R e f (x · y) = f (x) · f (y), ∀x, y ∈ R. Prove que ou f = IR ´e a fun¸c˜ao identidade de R ou f ≡ 0 ´e a fun¸c˜ao constante zero.
- Prove que se A, +, · ´e um anel qualquer ent˜ao s˜ao v´alidas as seguintes propriedades quaisquer que sejam x, y, z ∈ A: (a) 0 · x = x · 0 = 0 (b) −(x · y) = (−x) · y = x · (−y) (c) (−x) · (−y) = x · y (d) x · (y − z) = x · y − x · z (e) (y − z) · x = y · x − z · x mais ainda se ∃ 1 ∈ A ent˜ao, (f) (−1) · x = −x (g) (−1) · (−1) = 1 (h) (−1) · (−x) = x
- Seja A, +, · um anel qualquer. Vamos definir potˆencia de um elemento x ∈ A do seguinte modo:
x^1 = x, xn^ = xn−^1 · x para n ≥ 2
Prove as seguintes propriedades ∀m, n ∈ N − { 0 }. (a) xm+n^ = xm^ · xn (b) (x · y)m^ = xm^ · ym^ se x · y = y · x (c) (xm)n^ = xm·n
Prove que A = Z[i], +, · ´e um dom´ınio de integridade e calcule todos os elementos de A que s˜ao invers´ıveis relativamente ao produto em A = Z[i]. Observa¸c˜ao 1. Z[i] ´e chamado de anel dos inteiros de Gauss.
- Seja A um anel, B um conjunto e f : B → A uma fun¸c˜ao bijetiva de B sobre A, +, ·. Se para cada x, y ∈ B definimos
x ⊕ y = f −^1 (f (x) + f (y)) e x y = f −^1 (f (x) · f (y)).
Ent˜ao prove que: (a) B, ⊕, ´e um anel. (b) f (x ⊕ y) = f (x) + f (y) e f (x y) = f (x) · f (y) ∀x, y ∈ B
- Prove que se definirmos no conjunto F(R) de todas as fun¸c˜oes f : R → R a soma usual de fun¸c˜ao: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x, y ∈ R, e o produto como (f · g)(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) ∀x, y ∈ R, ent˜ao F(R), +, · n˜ao ´e um anel.
- Prove ou contra-exemplifique a seguinte afirma¸c˜ao: Todo subanel de um anel com unidade possui unidade.
- Prove ou contra-exemplifique a seguinte afirma¸c˜ao: Seja B ≤ A com unidade 1′^ ∈ B. Se 1 ∈ A ´e a unidade de A ent˜ao 1 = 1′.
- Seja {Bi}i∈N uma sequˆencia de suban´eis de um anel A. Prove que, B =
i∈N
Bi ´e tamb´em um subanel de A.
- Seja {Bi}i∈N uma sequˆencia de suban´eis de um anel A. Prove que, se B 0 ⊂ B 1 ⊂ · · · Bn ⊂ · · · ent˜ao B =
i∈N
Bi ´e tamb´em um subanel de A.
- Z 3 = { 0 , 1 , 2 } ´e subanel de Z 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }?
- Seja A um anel e a ∈ A. Prove que , B = {x ∈ A : x · a = a · x} ´e um subanel de A.
- Seja A um anel. Prove que,
Z(A) = {x ∈ A : x · y = y · x ∀y ∈ A}
´e um subanel (comutativo) de A (Z(A) ´e chamado o centro de A).
- Seja A um anel e a ∈ A. Prove que , B = {x ∈ A : x · a = 0} ´e um subanel de A.
- Seja {Ki}i∈N uma sequˆencia de subcorpos de um corpo K. Prove que, B =
i∈N
Ki ´e um subcorpo de K.
- Seja {Ki}i∈N uma sequˆencia de subcorpos de um corpo K. Prove que, se K 0 ⊂ K 1 ⊂ · · · Kn ⊂ · · · ent˜ao B =
i∈N
Ki ´e um subcorpo de K.
- Seja K um corpo e seja P a interse¸c˜ao de todos os subcorpos de K. Prove que, P ´e o menor subcorpo de K Observa¸c˜ao 2. P ´e chamado de corpo primo de K.
- Calcule todos os suban´eis de Z 12
- Um dom´ınio de integridade D ´e dito de caracter´ıstica 0 se m = 0 sempre que ma = 0 com a ∈ D, a 6 = 0 e m ∈ N. D diz-se de caracter´ıstica finita se existe a ∈ D, a 6 = 0 tal que ma = 0 para algum inteiro m 6 = 0. Nesse caso definimos a caracter´ıstica de D como sendo o menor inteiro positivo m tal que ma = 0 para algum a ∈ D, a 6 = 0. Prove que, (a) se a caracter´ıstica de D ´e p ent˜ao p · x = 0 ∀x ∈ D. (b) a caracter´ıstica de D ou ´e zero ou um n´umero primo.
- Seja A, +, · um anel com unidade 1 ∈ A. Vamos definir duas novas opera¸c˜oes no conjunto A, usando as opera¸c˜oes + e · de A.
a ⊕ b = a + b + 1 ∀a, b ∈ A a b = a · b + a + b ∀a, b ∈ A
Prove que : (a) A, ⊕, ´e um anel (b) Qual ´e o elemento zero de A, ⊕,. (c) A, ⊕, possui unidade? Qual?
(a) P ´e um ideal de A ⇔ A/P ´e um dom´ınio de integridade. (b) Os ´unicos ideais primos de Z s˜ao { 0 } e os ideais principais p · Z onde p ´e um n´umero primo. (c) Se P ´e um ideal maximal de A ent˜ao P ´e um ideal primo de A.
- Seja A = C([0, 1]) o anel das fun¸c˜oes cont´ınuas f : [0, 1] → R com as opera¸c˜oes usuais + e · de fun¸c˜oes. Prove que, se M ´e um ideal maximal de A ent˜ao existe a ∈ [0, 1] tal que
M = {f ∈ A : f (a) = 0}
- Calcule End(Z[i]) e Aut(Q[i]).
- Prove que os an´eis 2Z e 3Z n˜ao s˜ao isomorfos.
- Prove que os corpos R e C n˜ao s˜ao isomorfos.
- Prove que os corpos Q[√2] e Q[√3] n˜ao s˜ao isomorfos.
- Sejam A e A′^ an´eis. Defina + e · no conjunto A × A′^ = {(a, a′) : a ∈ A, a′^ ∈ A′} de modo que A × A′^ seja um anel com essas opera¸c˜oes.
- Seja f : A → A′^ um Homomorfismo e J′^ um ideal de A′. Prove que, f −^1 (J′) = {a ∈ A : f (a) ∈ J′} ´e um ideal de A.
- Seja F : C([0, 1]) → R definida por F (f ) = f (^12 ) ∀f ∈ C([0, 1]).
(a) Prove que F ´e um homomorfismo. (b) Calcule Im(F ) e ker(F ).
- Seja K um corpo e seja P a interse¸c˜ao de todos os subcorpos de K. Prove que P ´e o menor subcorpo de K(chamamos P de corpo primo de K).
- Seja K um corpo e seja P o corpo primo de K. Prove que :
(a) se a caracter´ıstica de K ´e zero ent˜ao P ' Q. (b) se a caracter´ıstica de K ´e p ent˜ao P ' Zp. (c) Prove que se K ⊃ Zp e Zq com p, q primos ent˜ao p = q.
- Seja A um anel com unidade 1 ∈ A e suponhamos que ∃e 6 = 0 em A tal que e^2 = e(e diz-se um elemento idempotente de A). Se A 1 = A · e = {a · e : a ∈ A} e se A 2 = A · (1 − e) = {a − a · e : a ∈ A}, ent˜ao prove que : (a) A 1 e A 2 s˜ao suban´eis de A tais que A 1 ∩ A 2 = { 0 }. (b) A = A 1 ⊕ A 2 (isto ´e ∀a ∈ A ∃ unicos elementos´ a 1 ∈ A 1 e a 2 ∈ A 2 tais que a = a 1 + a 2 )
