ICMC - USP S˜ao Carlos
Prof. R. Nonato
Exerc´ıcios do Curso ´
Algebra I - Listas 3
1) Considerando o grupo S4, das permuta¸c˜oes de quatro elementos {1,2,3,4}. Fa¸ca a
tabela do subgrupo D4:= {µ1 2 3 4
1 2 3 4 ¶;µ1 2 3 4
2 3 4 1 ¶;µ1 2 3 4
3 4 1 2 ¶;µ1234
4123¶;
µ1234
4321¶;µ1 2 3 4
2 1 4 3 ¶;µ1234
1432¶;µ1 2 3 4
3 2 1 4 ¶}.Al´em disso, verifique
se (D4,◦) ´e um grupo abeliano.
1.1: Exemplo sugerido por um colega na classe. Seja G={φ, {φ}}, em que φ´e o conjunto
vazio, com a opera¸c˜ao de uni˜ao ∪. Verifique que (G, ∪) ´e um mon´oide. Al´em disso, os
elementos de Gsatisfaz g.g =g,∀g∈G.´
EGum grupo? Justifique sua resposta.
2) Verifique que o conjunto G={e, a, b, c}, com a rela¸c˜ao a.e =e.a =a,b.e =e.b =b,
c.e =e.c =c,a2=e,b2=e,c2=e´e um grupo. Fa¸ca a tabela e verifique se o grupo ´e
abeliano. Este grupo ´e chamado o grupo de Klein
3) Seja (G, ·) um grupo. Defina, Z(G) := {x∈G:x.g =g.x;∀g∈G},chamado o
centro do grupo G. Mostre que:
a): Z(G)< G;
b): Z(G) = Gse, e somente se, G´e abeliano.
4) Seja (G, ·) um grupo com HeKsubgrupos de G, mostre que H∩K < G.
a): De uma forma mais geral, mostre que se {Hα}´e uma fam´ılia de subgrupos de G,
ent˜ao ∩αHα´e um subgrupo de G.
5) Seja Gum grupo. Defina G0:= h{xyx−1y−1:x, y ∈G}i. Mostre que:
a): G0< G,G0´e chamado o subgrupo dos comutadores de G;
b): G´e abeliano se, e somente se, G0={e}.
6) Utilizando a tabela, quando poss´ıvel, encontre o centro e o subgrupo dos comutadores
dos grupos (Z,+), S3eD4.
7) Seja Gum grupo, e α∈G. Mostre que a ordem de α´e dois, se e somente se, α=α−1.
8) Sejam (G, ·)e(H, ∗) grupos e f: (G, ·)→(H, ∗) um homomorfismo. Mostre que:
a): Ker(f) := {x∈G:f(x) = eH}´e um subgrupo de G.Este subgrupo ´e chamado
o n´ucleo de f.
b): Im(f) := f(G) = {h∈H:∃g∈G/f (g) = h}´e um subgrupo de H.Este
subgrupo ´e chamado a imagem de f;
c): Se (H, ∗)→(K , ¦) ´e um homomorfismo, ent˜ao g◦f: (G, ·)→(K, ¦) ´e um
homomorfismo.
9) Seja f: (G, ·)→(H, ∗) um homomorfismo. Ent˜ao, f´e bijetivo se, e somente se, f´e
um isomorfismo.
10) Mostre que todos os grupos de ordem menor ou igual a quatro ´e abeliano.
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