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C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL 2. FUN«’ES E GR¡FICOS
2.1 DomÌnio & Imagem
- DÍ o domÌnio e esboce o gr·Öco de cada uma das funÁıes abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 13 x + 53 (e) g (x) 12 x (f) g (x) = jx 1 j
(g) h (x) = x, se^ x^ ^2 3 , se x > 2 (h) h (x) = 2 x, se^ x^ ^1 x + 1, se x > 1 (i) h (x) = x
(^2) 2 x + 1 x 1
(j) f (x) = jx + 2j + 1 (k) h (x) = j^22 xx^ + 1+ 1j (l) h (x) = jx + 2j
(m) f (x) = jx xj (n) g (x) = jx x^ ^11 j (o) g (x) = x
x + 1
- Considere a funÁ„o f : R! R, deÖnida por f (x) = jx 1 j + jx 2 j : Mostre que:
f (x) =
2 x + 3, se x 1 1 ; se 1 < x < 2 2 x 3 , se x 2 e esboce o gr·Öco de f.
- Determine o domÌnio das funÁıes indicadas abaixo. (a) f (x) = (^) x ^1 1 (b) y = (^) x 2 x 1 (c) s (t) = p t^2 1 (d) y = (^) x + 2x
(e) h (x) = p x + 2 (f) q (x) = (^) xx 2 + 1+ x (g) r (x) =
r (^) x 1 x + 1 (h)^ y^ =^
4
r (^) x x + 3 (i) g (x) = 3
p x^2 x (j) y =
p x (2 3 x) (k) f (x) =
r 2 x 1 1 3 x (l)^ y^ =^
6
r x 3 x + 2 (m) g (x) = (^) x (^22) + 1x (n) y =
px p (^3) x 1 (o) y = p 4 x^2 (p) y = p 5 2 x^2
(q) y = p x 1 + p 3 x (r) y =
p 1 px (s) y = px p 5 2 x (t) y =
p x px
- Utilizando o procedimento indicado no ExercÌcio 2, esboce o gr·Öco das funÁıes deÖnidas abaixo.
(a) f (x) = jxj 1 (b) g (x) = jjxj 1 j (d) h (x) = jx + 1j jxj (d) y = x^2 1 :
COMPLEMENTOS 2 FUN«’ES & GR¡FICOS 11
- Uma pequena ind˙stria fabrica termÙmetros e estima que o lucro semanal, em reais, pela fabricaÁ„o e venda de x unidades/semana È de R (x) = ( 0 :001) x^2 + 8x 5000. Qual o lucro da empresa em uma semana que foram fabricados 1.000 termÙmetros?
- Determine o domÌnio da funÁ„o f (x) =
s 4 (^3) 2 +^ ^2 xx :
- Considere a funÁ„o f deÖnida em [ 3 ; 2] por f (x) = x^3 2 x^2 + 3x 4. Determine dois n˙meros reais m e M tais que m f (x) M , seja qual for o valor de x no intervalo [ 3 ; 2] :
- Considere a funÁ„o f : R! R deÖnida por f (x) = x^2 + 4x + 5:
(a) VeriÖque que f (x) = (x + 2)^2 + 1: (b) Esboce o gr·Öco de f: (c) Calcule o menor valor de f (x) e para qual x esse valor È assumido.
- VeriÖque que p 1 + x^2 jxj = 1 jxj + p 1 + x^2 e, ent„o, conclua que a medida que x cresce, o valor da diferenÁa p 1 + x^2 jxj aproxima-se de zero.
- Seja y = f (x) a funÁ„o dada a partir da equaÁ„o x^2 + y^2 = 4, para y 0.
(a) Determine uma fÛrmula que deÖna explicitamente y como funÁ„o de x: (b) Determine o domÌnio de f: (c) Esboce o gr·Öco de f:
- Uma caixa retangular sem tampa, com volume de 2 m^3 , tem uma base quadrada. Expresse a ·rea S da superfÌcie da caixa como uma funÁ„o do comprimento x de um lado da base.
- ¿ medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Sabendo-se que a temperatura do solo È de 20^0 C e que a temperatura a 1 km de altura È de 10^0 C, expresse a temperatuta T , em (^0) C, como uma vari·vel dependente da altura h, medida em km, supondo que um modelo baseado em uma funÁ„o aÖm seja apropriado. Qual a temperatura a uma altura de 2 ; 5 km?
- Suponha que a Ögura 2.1 abaixo representa graÖcamente uma funÁ„o y = f (x) :
COMPLEMENTOS 2 FUN«’ES & GR¡FICOS 13
FUN«√O LIMITADA Uma funÁ„o f : D! R denomina-se limitada inferiormente quando existir uma constante m, tal que
m f (x) ; para todo x no domÌnio D: (2.1)
Uma tal constante m denomina-se cota inferior de f. Quando existir uma constante M , tal que
f (x) M; para todo x no domÌnio D; (2.2)
diremos que a funÁ„o f È limitada superiormente e cada constante M que satisfaz (2.2) leva o nome de cota superior de f. Diremos que f È limitada quando o for superior e inferiormente. Neste caso existir· uma constante C > 0 , tal que jf (x)j C; 8 x 2 D: (2.3) FUN«√O COMPOSTA Considere duas funÁıes f e g; tais que a imagem de f seja um subbcon- junto do domÌnio de g, isto È, Im (f ) Dom (g). Denominamos de composta de g e f , e anotamos g f , a funÁ„o cujo domÌnio coincide com Dom (f ) e deÖnida por (g f ) (x) = g (f (x)), com x 2 Dom (f ) :
CONSTRUINDO O GR¡FICO DE jf (x)j A partir do gr·Öco da funÁ‚o y = f (x), È simples
construir o gr·Öco da funÁ„o g (x) = jf (x)j : Para isto basta reáetir para cima a parte do gr·Öco de f que se encontra abaixo do eixo x: Esta regra pr·tica decorre da deÖniÁ„o de mÛdulo de um n˙mero real. De fato, temos
g (x) = f^ (x)^ ;^ se^ f^ (x)^ >^0 f (x) ; se f (x) < 0
Veja a ilustraÁ„o na Ögura abaixo.
ESCREVENDO PARA APRENDER
- Em cada caso, veriÖque se a funÁ„o È par ou Ìmpar.
(a) f (x) = x^3 (b) g (x) = x^2 (c) h (x) = 2x x^2 (d) k (x) = 1 x^4 (e) f (x) = jxj :
14 C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL MARIVALDO P. MATOS
- Dada uma funÁ„o f; deÖnida em R ou em um intervalo [ a; a], mostre que g (x) = f (x) + f ( x) È uma funÁ„o par e que h (x) = f (x) f ( x) È uma funÁ„o Ìmpar. Deduza a partir daÌ que qualquer funÁ„o f; deÖnida em um intervalo [ a; a] ; pode ser expressa como soma de uma funÁ„o par com uma funÁ„o Ìmpar.
- EstabeleÁa as seguintes regras sobre funÁıes pares e Ìmpares:
(a) Se f e g s„o funÁıes pares, ent„o f + g e f g s„o funÁıes pares. (b) Se f e g s„o funÁıes Ìmpares, ent„o f + g È Ìmpar e f g È par. (c) Se f È uma funÁ„o par e g È uma funÁ„o Ìmpar, ent„o f g È Ìmpar.
- As funÁıes f : A! B e g : A^0! B^0 s„o iguais quando A = A^0 ; B = B^0 e, alÈm disso, f (x) = g (x), 8 x 2 A: Em cada caso, decida se f e g s„o iguais ou n„o.
(a) f (x) = px p x 1 e g (x) =
p x^2 x: (b) f (x) = x^2 e g (x) = jxj^2 : (c) f (x) = x
x 1 e^ g^ (x) =^ x^ + 1: (d) f (x) = x e g (x) =
p x^2 :
- Uma funÁ„o do tipo f (x) = ax^2 + bx + c, com a 6 = 0, recebe o nome de FunÁ„o Quadr·tica. Determine a funÁ„o quadr·tica f que satisfaz f (0) = 5; f ( 1) = 10 e f (1) = 6:
- VeriÖque onde a funÁ„o f (x) = x^2 È crescente e onde ela È decrescente. Idem para a funÁ„o g (x) = jx 1 j + 2:
- Uma funÁ„o do tipo f (x) = ax + b recebe o nome de FunÁ„o AÖm^1 .Mostre que a funÁ„o aÖm f (x) = ax + b È crescente, se a > 0 , e decrescente, se a < 0 :
- Com relaÁ„o ao gr·Öco apresentado no ExercÌcio 13 da seÁ„o 1.1, identiÖque o conjunto no qual f È uma funÁ„o crescente.
- Nos casos a seguir, veriÖque que Im (f ) Dom (g) para, assim, determinar a funÁ„o composta h = g f:
(a) f (x) = x^2 e g (x) = px: (b) f (x) = x^2 + 3 e g (x) = x x^ + 1 2 : (c) f (x) = px e g (x) = p 2 x: (^1) Por que e denominaÁ„o "funÁ„o aÖm"?
16 C¡LCULO DE UMA VARI¡VEL MARIVALDO P. MATOS
A funÁ„o g; inversa de f; È caracterizada por: (f g) (y) = y e (g f ) (x) = x: … comum representar a funÁ„o inversa de f por f ^1 :
- VeriÖque que a funÁ„o f : R! R deÖnida por f (x) = 3x + 5 È bijetora e determine sua inversa.
- Considere a funÁ„o do exercÌcio precedente e determine a inversa da funÁ„o f f ^1 :
- DÍ domÌnio e contra-domÌnio adequados ‡ funÁ„o f (x) = x^2 , de modo que a mesma seja invertÌvel e determine a sua inversa.
- Considere a funÁ„o f (x) = k=x, onde k È uma constante. … necess·rio impor alguma restriÁ„o ‡ constante k para que f seja invertÌvel? Quem È f ^1?
- Considere f : [1= 2 ; + 1 )! [b; + 1 ) deÖnida por f (x) = x^2 x + 1: Qual o valor de b que torna f invertÌvel? Quem È f ^1? Esboce o gr·Öco de f ^1 :
RESPOSTAS & SUGEST’ES
:::::::::::::^ EXERCÕCIOS:::^ &^ :::::::::::::::::::^ COMPLEMENTOS::::^ 2.
- As funÁıes apresentadas em (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (j) e (l) tÍm para domÌnio o conjunto R dos numeros reais. Por outro lado, temos:
(i) R f 1 g e h (x) = x + 1; se x 6 = 1: (k) R f 1 = 2 g: (m) R f 0 g : (n) R f 1 g : (o) R f 1 g e g (x) = x 1 , se x 6 = 1 :
- Considere as possibilidades:
x 1 , onde tem-se jx 1 j + jx 2 j = ( x + 1) + ( x + 2) = 2 x + 3: 1 < x < 2 , onde tem-se jx 1 j + jx 2 j = x 1 + ( x + 2) = 1: x 2 , onde tem-se jx 1 j + jx 2 j = x 1 + x 2 = 2x 3 :
COMPLEMENTOS 2 FUN«’ES & GR¡FICOS 17
Veja o gr·Öco na Ögura abaixo.
- Nas descriÁıes abaixo, representamos anotamos R fag para indicar o conjunto fx 2 R : x 6 = ag :
(a) R f 1 g ou ( 1; 1) [ (1; + 1 ) ou fx 2 R : x 6 = 1g : (b) R f 1 ; 1 g = fx 2 R : x 6 = 1 e x 6 = 1g : (c) ( 1; 1] [ [1; + 1 ) = fx 2 R : x 1 ou x 1 g : (d) R f 2 g ou ( 1; 2) [ ( 2 ; + 1 ) : (e) [ 2 ; + 1 ) = fx 2 R : x 2 g : (f) R f 1 ; 0 g = fx 2 R : x 6 = 1 e x 6 = 0g : (g) ( 1; 1) [ [1; + 1 ): (h) ( 1; 3) [ [0; + 1 ): (i) R ou ( 1; + 1 ) : (j) [0; 2 =3] : (k) (1= 3 ; 1 =2]: (l) ( 1; 2) [ [3; + 1 ): (m) ( 1; + 1 ) = R: (n) [ 2 ; 2] : (o) ( 1; 1) [ ( 1 ; + 1 ) = fx 2 R : x 6 = 1 g : (p)
n x 2 R : p 5 = 2 x p 5 = 2
o = [ p 5 = 2 ; p 5 =2]: (q) [1; 3] : (r) [0; 1] : (s) [0; 5 =2] :
COMPLEMENTOS 2 FUN«’ES & GR¡FICOS 19
- Recorde-se que uma funÁ„o f deÖnida em um intervalo simÈtrico ser· par quando f (x) = f ( x) ; 8 x, e ser· Ìmpar quado f ( x) = f (x) ; 8 x:
(a) Ìmpar (b) par (c) nem par nem Ìmpar (d) par (e) par.
- Mostre que g (x) = g ( x) e h ( x) = h (x). Para concluir, observe que
f (x) = 12 [g (x) + h (x)] :
- Mais uma vez tenha em mente os conceitos de funÁ„o par e funÁ„o Ìmpar.
(a) Dado que f e g s„o funÁıes pares, ent„o f ( x) = f (x) e g ( x) = g (x) e, assim,
[f + g] ( x) = f ( x) + g ( x) = f (x) + g (x) = [f + g] (x) :
(b) Se f e g s„o Ìmpares, ent„o o produto f g È par. De fato,
[f g] ( x) = f ( x) g ( x) = [ f (x)] [ g (x)] = [f g] (x) :
(c) Se f È par e g È impar, ent„o o produto f g È Ìmpar. De fato,
[f g] ( x) = f ( x) g ( x) = f (x) [ g (x)] = [f g] (x) :
- As funÁıes f e g s„o iguais apenas no caso (b).
- f (x) = 3x^2 2 x + 5:
- Conceito.
- Se a > 0 e x 1 < x 2 , ent„o ax 1 + b < ax 2 + b e a fun„o aÖm È crescente.
- A funÁ„o f È crescente no intervalo [0; 3] :
(a) Im (f ) = Dom (g) = [0; + 1 ) e h (x) = jxj : (b) Im (f ) = [3; + 1 ) Dom (g) = R f 2 g e h (x) = x
x^2 + 1 : (c) Im (f ) = ( 1; 0) Dom (g) = ( 1; 2] e h (x) =
p 2 + px; x > 0 : (d) Im (f ) = Dom (g) = R f 1 g e h (x) = 2 x 1 ; x 6 = 1 :
(a) f (x) = x 1 x^2 : (b) f (x) = 1 + p 1 + x:
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- Se f È par, ent„o f ( x) = f (x) e, sendo assim,
h ( x) = g (f ( x)) = g (f (x)) = h (x) :
Logo, h (x) È uma funÁ„o par. Podemos concluir que h È uma funÁ„o Ìmpar, se f e g o forem.
(a) Limitada inferiormente. (b) Limitada. (c) Limitada. (d) Limitada Superiormente.
- Fazer
- Fazer
- Fazer
- Considere f (x) = 1=x; x > 0 , e g : ( 1 ; 1)! R a funÁ„o deÖnida por:
g (x) = 1 =x,^ se^ x^6 = 0 0 , se x = 0: Observe que g (x) assume valores arbitrariamente grandes, quando x È positivo e prÛximo de zero, e valores arbitrariamente pequenos, quando x È negativo e prÛximo de zero.
:::::::::::::^ EXERCÕCIOS:::^ &^ :::::::::::::::::::^ COMPLEMENTOS::::^ 2.
- f ^1 (x) = 13 (x 5) :
- f f ^1 : R! R, dada por
f f ^1
(x) = x:
- Considere para domÌnio e contra-domÌnio o intervalo [0; + 1 ). A inversa È f ^1 (x) = px:
- k 6 = 0 e f ^1 = f
- b = 3= 4. A inversa È a funÁ„o g : [3= 4 ; + 1 )! [1= 2 ; + 1 ), deÖnida por g (y) = 12 +
q y 34 :
