Sobre a construção dos Naturais (a) Enuncie os axiomas de Peano; (b) Enuncie o Segundo Princípio de indução; (c) Defina a adição e multiplicação nos naturais.
Se a, b são números naturais e a + b = 1, prove que a = 1 ou b = 1.
Mostre que n + 0 = 0 + n = n para todo n ∈ N.
Prove por Indução: a) 1^2 + 22 + 32 + ... + n^2 = n(n^ +^1 )( 6 2 n^ +^1 ), (n > 1 ) b) 1^3 + 23 + ...n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n)^2 , (n > 1 ) c) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n · (n + 1 ) = n(n^ +^13 )( n^ +^2 ), (n > 1 ) d) ∑^ n k= 1

k(k + 1 ) =^1 −^

n(n + 1 ) ,^ (n^ >^0 ) e) a > 1 ⇒ an^ − 1 = (a − 1 )(an−^1 + an−^2 + ... + a + 1 ), (n > 1 ) f) 2n > n^2 , (n > 2 ) g) a > 2 ⇒ 2 an^6 an+^1 , (n > 1 ) h) a > 1 ⇒ an+^1 6 a^2 n, (n 6 1 ) i) a > 2 ⇒ 1 + a + a^2 + a^3 + ... + an^ < an+^1 j) n^3 < n!, (n > 6 )

Prove por indução sobre n que: (am)n^ = amn para quaisquer a, m, n ∈ N, a 6 = 0.
Prove os itens abaixo a) Se a + c < b + c, então a < b. b) Se a 6 b, então c < b − a ⇔ c + a < b. c) Se a < b, então an^ < bn, para todo n > 1.
Se b + c 6 a, mostre que a − (b + c) = (a − b) − c.
Um número natural n é dito quadrado perfeito se existe m ∈ N tal que n = m^2. Prove que o produto de quatro números naturais consecutivos, acrescido de 1 é um quadrado perfeito.

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Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 9.
Prove que: a) a soma de dois números pares é par e a soma de dois números ímpares também é par. b) o produto de dois números naturais é ímpar se, e somente se, ambos são ímpares.
Mostre que a + b + a^2 + b^2 é par para quaisquer a, b ∈ N.
Mostre que todo número natural n > 2 pode ser escrito da forma n = 2 k^ · m, onde k > 0 e m é ímpar.
Escreva o número 182 respectivamente nas bases 2, 8 e 12.
Determine b em cada um dos seguintes casos: a) ( 104 )b = 8285 b) 12551 = ( 30407 )b
Prove que a) Em todo sistema de numeração de base b > 2, o número ( 121 )b é um quadrado perfeito. b) Em todo sistema de numeração b > 3, o número ( 1331 )b é um cubo perfeito.
Prove que o mdc(n, 2n + 1 ) = 1, para todo n ∈ N.
Se a, b ∈ N, prove que mdc(a, ab + 1 ) = mdc(b, ab + 1 ) = 1.
Prove que mdc(a + bc, b) = mdc(a, b), para quaisquer a, b, c ∈ N.
Se a e b são números naturais primos entre si, prove que mdc(a + b, a^2 + 2 ab + b^2 ) = 1.
Se mdc(a, c) = 1, prove que mdc(a, bc) = mdc(a, b), para todo b ∈ N.
Se m = mmc(a, b), mostre que mdc(a + b, m) = mdc(a, b), sempre que a, b > 0.
Prove que 5 é primo.
a) Mostre que todo número primo ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3. b) Mostre que todo número primo ímpar é da forma 6k + 1 ou 6k + 5.
Se a soma de dois números naturais não nulos é um número primo, prove que esses números são primos entre si
Determine os primos menores que 50.
Mostre que o conjunto dos números primos é infinito.
Dado n ∈ N considere os itens a) Mostre que o número (n + 1 )! + k não é primo para qualquer 2 6 k 6 n + 1. b) Conclua que nos naturais sempre existe uma sequência de n números consecutivos que não são primos.

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