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Distribuições de Probabilidade
Distribuição Normal
PROBABILIDADES
BERTOLO
PRELIMINARES
Quando aplicamos a Estatística na resolução de situações-problema,
verificamos que muitas delas apresentam as mesmas características; o
que nos permite estabelecer um modelo estatístico teórico para a
determinação da resolução destas situações-problema.
Este modelo estatístico teórico, também conhecido por distribuição de
probabilidades , apresenta algumas características principais, entre
estas:
I. Os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir;
II. A função de probabilidade associada à variável aleatória ;
III. A média (ou valor esperado) da variável aleatória ;
IV. A variância e o desvio-padrão da variável aleatória.
Neste contexto, vamos estudar algumas das principais distribuições de
probabilidades discretas entre elas, a distribuição binomial e a
distribuição de Poisson. E, entre as distribuições de probabilidades
contínuas, a distribuição normal.
Distribuição Normal (contínua)
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros e
2
É considerada a mais importante e freqüente distribuição utilizada na Estatística e,
em quase todos os processos industriais o comportamento da variável, em estudo, é
semelhante ao apresentado pela distribuição normal, ou seja, num processo
qualquer, com média (lê-se mi ) e desvio padrão (lê-se sigma ), observamos
que:
I. A maioria dos valores se concentra ao redor da média.
II. 50% dos valores estão acima da média, e 50% abaixo da média.
III. Os valores distribuem-se simetricamente à esquerda e à direita em relação à
média.
IV. É praticamente nula a probabilidade de um valor afastar-se muito da média.
Logo, pelas propriedades do valor esperado E X e da variância
2
, segue que:
X
E X E E X E X
X
Var X Var Var X Var X
É uma distribuição de v.a.
Contínua e considerada a
mais importante e frequente
distribuição utilizada em
estatística.
Quase todos os processos
industriais têm com-
portamento ditado pela
Normal.
Bertolo – Estatística Aplicada à Contabilidade
Distribuição Normal cont....
Atenção! Observe que a transformação realizada não “afeta” a normalidade e,
assim a variável terá distribuição normal com média 0 e variância 1, isto é,
Z N 0,1e, será denotada de normal padrão ou n ormal reduzida.
P a X b P a X b
a X b P
(^)
a b P Z
^ (^)
Desta forma, quaisquer que sejam os valores de e , utilizamos a n ormal
padrão para obter probabilidades com distribuição normal. Os valores para a
probabilidade P 0 Z z , z 0 são tabelados e apresentados na Tabela de
distribuição normal , (disponível ao final deste capítulo).
Note que a simetria também implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo )
de zero é 0,5. E como probabilidade é sempre um valor entre 0 e 1; a Tabela de
distribuição normal contém apenas a parte decimal.
Considerando X N 2,9temos,
P a X b P a X b
a X b P
^ ^
No exemplo, 2
a b P Z
^
^
Supondo, X 2,5
X
P X P
P 0 Z 1 0,
^ ^ ^
Todas as variáveis normais, como por exemplo, a altura das pessoas, o peso de um produto,
etc. são resolvidas reduzindo-as à chamada variável normal reduzida z definida por :
x z
Exemplo 2
A altura dos alunos do IMES-Fafica é normalmente distribuída com a média de 170cm, e desvio
padrão 6cm. Determine a probabilidade de um aluno, aleatoriamente selecionado, ter altura:
a) entre 170 e 176 cm;
b) entre 164 e 176 cm;
c) entre 176 e 182 cm;
d) acima de 182 cm.
Então, P(0 z 1) = 2P(0 z 1) = 2. 0,3413 = 0,6826 ou 68,26% ..
0,8 0,2881 0,
0,9 0,3159 0,
1,0 0,3413 0,
Bertolo – Estatística Aplicada à Contabilidade
Exemplo 2 – No Excel
A altura dos alunos do IMES-Fafica é normalmente distribuída com a média de 170cm, e desvio
padrão 6cm. Determine a probabilidade de um aluno, aleatoriamente selecionado, ter altura:
a) entre 170 e 176 cm;
b) entre 164 e 176 cm;
c) entre 176 e 182 cm;
d) acima de 182 cm.
a. Numa célula qualquer digitamos: =DIST.NORMP.N(1;1)-0,5 , pois o cumulativo do
Excel inicia-se em - e a tabela em 0. Então, 0,8413 – 0,5 = 0,3413 ou 34,13%.
Exemplo 2 – No Excel
A altura dos alunos do IMES-Fafica é normalmente distribuída com a média de 170cm, e desvio
padrão 6cm. Determine a probabilidade de um aluno, aleatoriamente selecionado, ter altura:
a) entre 170 e 176 cm;
b) entre 164 e 176 cm;
c) entre 176 e 182 cm;
d) acima de 182 cm.
Então, P(0 z 1) = 2P(0 z 1) = 2. 0,3413 = 0,6826 ou 68,26% ..
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Exemplo 2 – No Excel
A altura dos alunos do IMES-Fafica é normalmente distribuída com a média de 170cm, e desvio
padrão 6cm. Determine a probabilidade de um aluno, aleatoriamente selecionado, ter altura:
a) entre 170 e 176 cm;
b) entre 164 e 176 cm;
c) entre 176 e 182 cm;
d) acima de 182 cm.
d. Numa célula qualquer digitamos: DIST.NORMP.N(2;1)-0,5, pois o cumulativo do
Excel inicia-se em - e a tabela em 0. Então, 0,97725 – 0,5 = 0,477253 ou 47,73%
dos alunos tem suas alturas compreendidas entre 170 e 182 cm. Acima de 182 cm
está a porcentagem de alunos que falta para completar 50%, isto é, 2,27% dos
alunos.
A variável z correspondente à 182 é dada por:
ଵ଼ଶ ି ଵ
O item c, agora fica:
0,5 – 0,0227 – 0,3413 = 0,136 ou 13,6%
Exercício
31/10/2012 Bertolo – Estatística Aplicada à Contabilidade 13
Exercício
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição
Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o
exame antes de 100 minutos?
Exercício
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos
vestibulandos terminem no prazo estipulado?
Bertolo – Estatística Aplicada à Contabilidade
Desafio I Normal
1. A durabilidade de um certo componente eletrônico é normalmente distribuída com
média de 500 dias e desvio padrão de 50 dias. Qual a probabilidade de um
componente qualquer durar:
a) entre 425 e 575 dias;
b) mais de 575 dias;
c) menos de 575 dias;
d) qual o número de dias necessários para se repor, no máximo, 10% dos
componentes?
= 500 e
b)
P x P z
P z 1,50 0,50 P 0 z 1,50
0,5 0,4332 0,0668 ou 6,68%.
c)
P x 575 P z 1,50 0,50 P 0 Z 1,50
0,50 0,4332 0,9332 ou 93,32%.
1,3 0,
1,4 0,
1,5 0,
1,6 0,
Tarefa para casa!!!!
1. As notas de uma avaliação são normalmente distribuídas, com média
70 e desvio padrão 8. Determine a porcentagem dos alunos que têm
nota:
a) entre 70 e 74;
b) acima de 74;
c) abaixo de 62;
d) entre 62 e 78.
μ = 70 e σ = 8
a)
70 74 0 0,50 0,1915 ou 19,15%. 8 8
P x P z P z
b) P(x > 74) = P(z > 0,50) = 0,50 – P(0 < z < 0,50) = 0,50 – 0,1915 = 0,3085 ou 30,85%.
c) P(x < 62) =
P z P z P z
^ ^ ^ ^ ^
0,5 P 0 z 1 0,5 0,3413 0,1587.
d)
62 70 78 70 62 78 1 1 8 8
P x P z P z
2 P 0 z 1 2.0,3413 0,6826.
0,3 0,
0,4 0,
0,5 0,
0,6 0,
0,8 0,2881 0,
0,9 0,3159 0,
1,0 0,3413 0,
Bertolo – Estatística Aplicada à Contabilidade
Tarefa para casa!!!!
2. Certas lâmpadas têm durabilidade, normalmente distribuídas, com
média de 5.000 horas e desvio padrão de 100 horas. Determine a
probabilidade de uma lâmpada qualquer durar:
a) entre 4.900 e 5.150 horas;
b) acima de 5.100 horas;
c) abaixo de 4.800 horas;
d) abaixo de 5.150 horas.
μ = 5000 e σ = 100
a)
4900 5000 5150 5000 4900 5150 1 1, 100 100
P x P z P z
P 1 z 0 P 0 z 1,50 P 0 z 1 P 0 z 1,50
b)
5100 5000 5100 100
P x P z
(^) (^)
P z 1 0,5 P 0 z 1 0,5 0,3413 0,1587.
c)
4800 5000 4800 2 2 100
P x P z P z P z
(^) (^)
0,5 P 0 z 2 0,50 0,4772 0,0228.
d)
5150 5000 5150 1 ,50 0,50 0,4332 0, 100
P x P z P z
(^) (^)
1,3 0,
1,4 0,
1,5 0,
1,6 0,
Tarefa para casa!!!!
3. Certo produto tem peso normalmente distribuído com média 20 e
desvio padrão 1. Qual a probabilidade de um produto aleatoriamente
selecionado pesar:
a) entre 19 e 21;
b) mais de 20;
c) mais de 21;
d) menos de 21.
μ = 20 e σ = 1
a)
19 20 21 20 19 21 1 1 2 0 1 2.0,3413 0, 1 1
P x P z P z P z
^ (^) (^)
b) P x 20 P z 0 0,50ou 50% (acima da média temos 50% de probabilidade).
c)
21 20 21 1 0,50 0 1 0,50 0,3413 0, 1
P x P z P z P z
(^) (^)
d) P x 21 1 P x 21 1 0,1587 08413 (P(x>21) foi calculado no item anterior).
Bertolo – Estatística Aplicada à Contabilidade
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,
Tarefa para casa!!!!
4. Em indivíduos sadios o consumo renal de oxigênio tem distribuição
normal de média 12 cm
por minuto, e desvio padrão 1,5 cm
por
minuto. Determinar a proporção de indivíduos sadios com consumo
renal:
a) Entre 9,4 e 13,2 cm
por minuto;
b) Acima de 10 cm
por minuto.
Distribuição Normal com μ = 12 e σ = 1,
a)
P x P z
P 1 ,73 z 0,80 0,4582 0,2881 0,7463.
P x P z P z
b)
Tabela de Distribuição Normal Padronizada
Distribuição Normal: N(0,1) P(0 < Z < Z 0
- z0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,
- 0 0,000000 0,003989 0,007978 0,011966 0,015953 0,019939 0,023922 0,027903 0,031881 0,
- 0,1 0,039828 0,043795 0,047758 0,051717 0,055670 0,059618 0,063559 0,067495 0,071424 0,
- 0,2 0,079260 0,083166 0,087064 0,090954 0,094835 0,098706 0,102568 0,106420 0,110261 0,
- 0,3 0,117911 0,121720 0,125516 0,129300 0,133072 0,136831 0,140576 0,144309 0,148027 0,
- 0,4 0,155422 0,159097 0,162757 0,166402 0,170031 0,173645 0,177242 0,180822 0,184386 0,
- 0,5 0,191462 0,194974 0,198468 0,201944 0,205401 0,208840 0,212260 0,215661 0,219043 0,
- 0,6 0,225747 0,229069 0,232371 0,235653 0,238914 0,242154 0,245373 0,248571 0,251748 0,
- 0,7 0,258036 0,261148 0,264238 0,267305 0,270350 0,273373 0,276373 0,279350 0,282305 0,
- 0,8 0,288145 0,291030 0,293892 0,296731 0,299546 0,302337 0,305105 0,307850 0,310570 0,
- 0,9 0,315940 0,318589 0,321214 0,323814 0,326391 0,328944 0,331472 0,333977 0,336457 0, - 1 0,341345 0,343752 0,346136 0,348495 0,350830 0,353141 0,355428 0,357690 0,359929 0,
- 1,1 0,364334 0,366500 0,368643 0,370762 0,372857 0,374928 0,376976 0,379000 0,381000 0,
- 1,2 0,384930 0,386861 0,388768 0,390651 0,392512 0,394350 0,396165 0,397958 0,399727 0,
- 1,3 0,403200 0,404902 0,406582 0,408241 0,409877 0,411492 0,413085 0,414657 0,416207 0,
- 1,4 0,419243 0,420730 0,422196 0,423641 0,425066 0,426471 0,427855 0,429219 0,430563 0,
- 1,5 0,433193 0,434478 0,435745 0,436992 0,438220 0,439429 0,440620 0,441792 0,442947 0,
- 1,6 0,445201 0,446301 0,447384 0,448449 0,449497 0,450529 0,451543 0,452540 0,453521 0,
- 1,7 0,455435 0,456367 0,457284 0,458185 0,459070 0,459941 0,460796 0,461636 0,462462 0,
- 1,8 0,464070 0,464852 0,465620 0,466375 0,467116 0,467843 0,468557 0,469258 0,469946 0,
- 1,9 0,471283 0,471933 0,472571 0,473197 0,473810 0,474412 0,475002 0,475581 0,476148 0, - 2 0,477250 0,477784 0,478308 0,478822 0,479325 0,479818 0,480301 0,480774 0,481237 0,
- 2,1 0,482136 0,482571 0,482997 0,483414 0,483823 0,484222 0,484614 0,484997 0,485371 0,
- 2,2 0,486097 0,486447 0,486791 0,487126 0,487455 0,487776 0,488089 0,488396 0,488696 0,
- 2,3 0,489276 0,489556 0,489830 0,490097 0,490358 0,490613 0,490863 0,491106 0,491344 0,
- 2,4 0,491802 0,492024 0,492240 0,492451 0,492656 0,492857 0,493053 0,493244 0,493431 0,
- 2,5 0,493790 0,493963 0,494132 0,494297 0,494457 0,494614 0,494766 0,494915 0,495060 0,
- 2,6 0,495339 0,495473 0,495604 0,495731 0,495855 0,495975 0,496093 0,496207 0,496319 0,
- 2,7 0,496533 0,496636 0,496736 0,496833 0,496928 0,497020 0,497110 0,497197 0,497282 0,
- 2,8 0,497445 0,497523 0,497599 0,497673 0,497744 0,497814 0,497882 0,497948 0,498012 0,
- 2,9 0,498134 0,498193 0,498250 0,498305 0,498359 0,498411 0,498462 0,498511 0,498559 0, - 3 0,498650 0,498694 0,498736 0,498777 0,498817 0,498856 0,498893 0,498930 0,498965 0,
- 3,1 0,499032 0,499065 0,499096 0,499126 0,499155 0,499184 0,499211 0,499238 0,499264 0,
- 3,2 0,499313 0,499336 0,499359 0,499381 0,499402 0,499423 0,499443 0,499462 0,499481 0,
- 3,3 0,499517 0,499534 0,499550 0,499566 0,499581 0,499596 0,499610 0,499624 0,499638 0,
- 3,4 0,499663 0,499675 0,499687 0,499698 0,499709 0,499720 0,499730 0,499740 0,499749 0,
- 3,5 0,499767 0,499776 0,499784 0,499792 0,499800 0,499807 0,499815 0,499822 0,499828 0,
- 3,6 0,499841 0,499847 0,499853 0,499858 0,499864 0,499869 0,499874 0,499879 0,499883 0,
- 3,7 0,499892 0,499896 0,499900 0,499904 0,499908 0,499912 0,499915 0,499918 0,499922 0,
- 3,8 0,499928 0,499931 0,499933 0,499936 0,499938 0,499941 0,499943 0,499946 0,499948 0,
- 3,9 0,499952 0,499954 0,499956 0,499958 0,499959 0,499961 0,499963 0,499964 0,499966 0, - 4 0,499968 0,499970 0,499971 0,499972 0,499973 0,499974 0,499975 0,499976 0,499977 0,
