Baixe Estatística de Movimento Browniano: Caminho Médio e Distribuição Binomial e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity!
4300259 – Termoestatística
Quinta Lista de Exercícios: Movimento Browniano
Q1) Considere que as moléculas de ar tenham massa molar M = 30 g/mol e diâmetro de
- 0 Å. Em um dia frio, podemos admitir que o ar seja um gás ideal em equilíbrio a 10 o^ C e 1 atm, enquanto em um dia quente, um gás em equlíbrio a 30 o^ C e 1 atm.
Seja Lf o livre caminho médio das moléculas de ar no dia frio, e LQ o livre caminho médio no dia quente. A relação correta, com base no modelo discutido na disciplina, é:
(a) LF = 3LQ (d) LF = √^13 LQ
(b) LF = 13 LQ (e) LF = 0. 94 LQ
(c) LF =
3 LQ (f) LF = 1. 07 LQ
Q2) Considere passeios aleatórios unidimensionais, nos quais a probabilidade de um passo para frente é p, enquanto a probabilidade de um passo para trás é q.
(i) Após um grande número de passos, N , o valor médio das posições, para p = q = 0. 5 será
(a) 〈xN 〉 = 0 (b) 〈xN 〉 > 0 (c) 〈xN 〉 < 0
(ii) Após um grande número de passos, N , o valor médio das posições, para p = 0. 7 e q = 0. 3 será
(d) 〈xN 〉 = 0 (e) 〈xN 〉 > 0 (f) 〈xN 〉 < 0
(iii) Após um grande número de passos, N , o valor médio das posições, para p = 0. 3 e q = 0. 7 será
(g) 〈xN 〉 = 0 (h) 〈xN 〉 > 0 (i) 〈xN 〉 < 0
(iv) Nos itens anteriores, 〈xN 〉 representa (j) Uma média sobre os N passos de um passeio aleatório. (l) Uma média sobre os N -ésimos passos de uma coleção de caminhos aleatórios.
Q3) Considere uma Distribuição Binominal para a qual as probabilidades dos passos para frente e para trás são, respectivamente, p = 0. 6 e q = 0. 4.
(i) Em N = 5 passos, o valor médio do número de passos para frente (n) será:
(a) 〈n〉 = 0 (d) 〈n〉 = 3 (b) 〈n〉 = 1 (e) 〈n〉 = 4 (c) 〈n〉 = 2 (f) 〈n〉 = 5
(ii) Em N = 5 passos, o valor médio do número de passos para trás (m) será:
(g) 〈m〉 = 0 (j) 〈m〉 = 3 (h) 〈m〉 = 1 (l) 〈m〉 = 4 (i) 〈m〉 = 2 (m) 〈m〉 = 5
P1) Nas condições propostas na Q1, estime:
(a) Os livres caminhos médios LF e LQ (b) Os livres tempos médios nos dias frio e quente, ∆tF e ∆tQ. (c) Os coeficientes de difusão nos dias frio e quente, DF e DQ.
P2) Em classe, foi demonstrado que, para um passeio aleatório unidimensional, 〈n〉 = N p, onde n é o número de passos para frente, p é a probabilidade de um passo para frente e N é o número de passos. Também é possível demonstrar que σ^2 n = 〈n^2 〉 − 〈n〉^2 = N pq, onde q é a probabilidade de um passo para trás.
(a) Utilizando os resultados descritos no enunciado, mostre que 〈xN 〉 = 0, quando p = 1/ 2. (Dica: lembre-se que a posição após N passos é xN = (n − m)l = (2n − N )l, onde l é o comprimento de um passo dos passeios aleatórios e m é o número de passos para trás. (b) Mostre também que σ^2 x = 〈x^2 N 〉 − 〈xN 〉^2 = N l^2.
P3) Considere passeios aleatórios unidimensionais, ao longo da direção Ox, com um número total de passos N = 6, e p = q = 1/ 2 , onde p e q representam as probabilidades de passos para frente e para trás, respectivamente.
(a) Construa um gráfico representando a função de distribuição binomial, PN (n), caracterís- tica dos passeios descritos acima, onde n é o número de passos a frente. (b) Construa outro gráfico para a distribuição binominal, mas dessa vez represente a proba- bilidade PN (xN ), onde xN = (n − m) l é a posição final, sendo m o número de passos para trás. Admita que o passo, em unidades arbitrárias, seja l = 1. (c) Considere um modelo para os elétrons de condução em um fio metálico, descrevendo seu movimento por passeios aleatórios, apenas na direção x por simplicidade. Esse modelo seria razoável, pois os elétrons de condução podem colidir contra os átomos do metal (praticamente fixos) ou contra outros elétrons. No entanto, caso um campo elétrico seja aplicado ao longo do fio metálico, a probabilidade de um passo adiante (convencionado no sentido da força elétrica) torna-se maior que a probabilidade de um passo atrás (sentido contrário ao da força elétrica). Refaça o diagrama do item (a) para o caso p = 0. 7 e q = 0. 3. Compare os dois diagramas e discuta suas diferenças.
