Movimento Browniano, Notas de estudo de Física

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Instituto de Física

FNC- 314 - Laboratório de Estrutura da Matéria II

MOVIMENTO BROWNIANO

FÍSICA EXPERIMENTAL - VI

(Lab. de Estrutura da Matéria)

MOVIMENTO BROWNIANO

ÍNDICE

• Estudo do Movimento Browniano.............................. 2 I. Introdução....................................................... 2 II. Experiência.................................................... 2 III. Referências Bibliográficas.................................. 3
• Apêndice A............................................. 4 Determinação de pelo método de mínimos quadrados.. 4 Processos para minimizar χ^2 ................................... 5 Processo para avaliar o erro.................................... 5 Caso geral de uma função com vários parâmetros.......... 7
• Apêndice B Correção para o valor da viscosidade do ar.................. 9 Gráfico para estimativa do raio da gota...................... 10

• Levando em conta o processo que produz esse movimento, faça uma estimativa do tamanho da gota escolhida.
• Reportando-se a experiência de Millikan, qual a grandeza mensurável que pode fornecer o raio da gotinha? (veja apêndice B para estimativa inicial do raio da gota). Procure uma gotinha de modo que seu raio possa ser determinado com erro da ordem de 5%.
• Observe o movimento da gota na direção escolhida e faça uma coleção de medidas de sua posição, tendo em vista obter <x^2 > (x o deslocamento em cada intervalo de tempo) com um erro menor que 10%. Faça pelo menos 200 medidas de deslo- camento, usando intervalos de tempo de 10s.
• Construa histogramas de deslocamento para intervalos de 10s, 20s e 30s. Obtenha σ 2 para os três histogramas, usando os métodos descritos no apêndice A.
• O numero de Avogadro NA deve ser calculado usando σ^2 ou <x^2 >? Justifique sua resposta.
• Calcule o número de Avogadro NA e analise a necessidade de correção para o coeficiente de viscosidade. Ver apêndice B para obter a viscosidade.
• Calcule o erro associado à determinação de NA e discuta a influência dos fatores significativos.
• Faca uma introdução ao trabalho baseada na bibliografia citada e no desenvol- vimento da parte experimental realizada. Procure justificar o método utilizado e o calculo do numero de Avogadro.

II. Referências Bibliográficas

1. A. Einstein - Brownian Motion
2. Tippler - Foundations of Modern Physics
3. Reif - Fundamentals of Statistical and Thermal Physics
4. Max Born - Fisica Atomica
5. Harnell e Livingood - Experimental Atomic Physics
6. Millikan - Electrons + and -
7. Evans - The Atomic Nucleus
8. Bevington - Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences.
9. Squires - Pratical Physics
10. Lavenda, B.H. - Brownian Motion - Sci. Amer. p. 56 (fev. 1985)
11. Schumacher, R.T. - Am. J. Phys. 54, 137 (1986)
12. Feder, J. - Fractals - Plenum Press N.Y. (1988)
13. Mandelbrot, B.B. - The Fractal Geometry of Nature, Freeman (1982)
14. Voss, R.F. - in: The Science of Fractal Images, ed. Heinz Otto - Peitgen, Springer Verlag (1988)

APÊNDICE A

Determinação de <x

2

> pelo método dos mínimos quadrados.

Os métodos descritos abaixo não se restringem à experiência de movimento Browniano, mas podem ser aplicados em geral, para ajuste de uma função arbitrária de n parâmetros. Como foi visto acima, o número de Avogadro, cuja obtenção é um dos objetivos desta experiência, pode ser expresso como:

N

RTt

a x

A =^

2

Vamos tratar da avaliação de <x^2 >: <x^2 > ou o desvio quadrático médio, pode ser calculado diretamente da flutuação dos deslocamentos. De fato, lembrando a definição de variância: σ (^) f x i x N x x 2 2 2 2 = − = 〈 〉 − 〈 〉 ∑(^ )^ (2) e lembrando que a média é nula (não há direção preferencial para o movi-mento),

temos 〈^ x^^2 〉^ =^ σ^2 f , calculado diretamente dos dados.

Esta é uma primeira estimativa e deve ser encarada como tal. Deve-se tratar o problema de um modo mais complexo, mas que pode ser generalizado para avaliação de parâmetros de uma curva qualquer. Os deslocamentos de distribuem de acordo com

uma gaussiana de média zero e variância 〈 x^2 〉 = σ 2 f. A gaussiana normalizada é dada

pela expressão: P x e x ( ) = 1 − 2 2 2 2 πσ σ (3) O histograma dos deslocamentos tem ∆ como passo utilizado no eixo x dos deslocamentos, yi é o número de vezes que um deslocamento xi é observado e N é o número total de medidas ( N = (^) ∑ yi ). Supondo uma distribuição gaussiana para os deslocamentos e sabendo que a área sob o histograma experimental é N∆, o histograma experimental deve ser comparado com a gaussiana f(x) dada por: f x N i e xi ( ) = ∆ − 2 2 2 2 πσ σ (4) O melhor ajuste dará σ, ou seja <x^2 >. O melhor valor de σ pode ser estimado pelo método dos mínimos quadrados, que consiste em minimizar a expressão: χ 2 1 2 =  −      = ∑ y f x y i i i i N ( ) (5)

Processo 2: (este processo, mais numérico, é mais frequentemente utilizado em programas de computador) A ref. [9] trata do ajuste por mínimos quadrados de funções lineares ou não

nos parâmetros. Demonstra-se que o erro εi de um parâmetro aj é ε 2 j^ = α− jj^1 onde α − jj^1

é o elemento diagonal da matriz inversa usada na expressão:

jk i i j i k

f x

a

f x

a

= (^) ∑

2

(Veja também a apostila do primeiro bimestre de Lab. Estrutura da Matéria I) No nosso caso, só ha um parâmetro, σ. Portanto: α ∂ ∂σ 11 2

∑ (^) y 

f x

i

( i )

ε α ∂ ∂σ α 2 11 1 2 1 1 = =       − ∑ y f x i ( (^) i ) A derivada

f

é trivial. Este processo que dá valores exatos para uma função linear nos parâmetros, fornece bons valores se calculado na situação em que χ^2 é mínimo em todos os parâmetros. Processo 3 : (estimativa utilizada em situações complicadas) Quando o cálculo do erro se torna demasiadamente complexo, é comum em física experimental, se usar a seguinte regra (ref. [9]):

• achado o valor mínimo (σo) com χ^2 =χ^2 o, procura-se o valor de σ tal que χ^2 σ=χ^2 o+1. Em geral há dois valores, um inferior e um superior. Estes delimitam uma faixa de incerteza e pode-se estimar εσ como a metade deste intervalo. Do mesmo modo que foi possível avaliar <x^2 >f a partir dos dados, existe a possibilidadede avaliar o erro de <x 2

f. De fato, quando se faz uma medida repetidas vezes, espera-se que os valores se distribuam segundo uma gaussiana, com largura igual ao erro. É possível achar um “erro” do erro dado por: ε σ

σ =^

2 N − 2

(ref. [10], pg. 18) onde σ é o erro da medida. Veja a semelhança com a experiência realizada. Tentar medir a posição da gota que sofre movimento Browniano leva a uma indeterminação grande da posição. Mas o interesse não está na posição, mas na flutuação da posição, ou seja no erro da posição , que seria dado por <x^2 >. então o erro de <x^2 >f nada mais é que o erro do erro e pode-se escrever:

ε (^) σ f x N f = 〈 〉 − 2 2 2

É claro que, do mesmo modo que σ 2 f^ = 〈 x^2 〉 f , ε σ f é uma primeira aproxi-

mação que deve ser encarada como tal, como ponto de partida e ordem de grandeza.

Caso geral de uma função de vários parâmetros

Desde o início, foi imposto, como justificativa que a distribuição tinha média zero e área N. No entanto, pode acontecer que por alguma razão haja uma direção preferencial: vento, capacitor não nivelado etc. Além disso, a curva pode ter uma deformação e sua área não ser N mas um outro valor próximo (embora seja difícil aceitar que a área não seja o número de dados tomados!). Mas para efeito de exemplo, vamos considerar que os três parâmetros não sejam determinados (embora seja necessário ter valores iniciais estimados). A ref. [9], cap. 11, trata de vários modos de determinar estes parâmetros. O processo mais simples é o da grade , descrito a seguir. A função que queremos ajustar é:

f x

N

i e

xi

( )

− −

2 2 2 πσ μ σ

com valores iniciais σ = 〈 x^2 〉, N o número de dados e μ=.

• fixa-se dois parâmetros (por exemplo σ e N)
• varia-se o parâmetro livre (no caso a posição μ) até achar o mínimo χ^2.
• fixa-se este parâmetro no valor correspondente ao mínimo χ^2 , μo e mantendo um dos outros fixos (p. ex. N), varia-se s até achar o novo χ^2 mínimo.
• fixa-se σ em σo (no mínimo) e varia-se o terceiro parâmetro (N) até encon- trar o menor χ^2.
• volta-se ao início, recomeçando-se com o novo (e melhor) conjunto de parâmetros. O processo é repetido até que os parâmetros não variem significativamente de uma iteração para outra, assim como o valor de χ^2 mínimo. Tem-se então, o melhor valor para os três parâmetros simultaneamente. Este método pode ser estendido a n parâmetros mas torna-se tedioso e de convergência lenta. Para avaliar o erro pode-se usar o processo 2, montando-se a matriz α no mínimo χ^2 e invertendo-a. Ou então, o processo 3, para cada parâmetro, mantendo os outros fixos em seus pontos de mínimo. Caso os dados apresentem uma média significativamente não nula (em relação à largura da distribuição), deve-se minimizar o χ^2 em σ e μ simultaneamente como descrito logo acima. No caso de (^) μ= ser desprezível em relação a (^) σ, o processo de um parâmetro, σ, pode ser usado. No caso de μ ≠0, o que se usa na equação (1) para calcular NA, σ^2 ou <x^2 >? Justifique.

II - Estimativa do raio da gota

1010 20 30 40 50 60 70 8090100100 200 300 400 500 600700800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Raio da gota (cm. 10

) t c (s-1) Representação do raio da gota em função do tempo de queda. O tempo representado na abcissa corresponde a um espaço percorrido de 1mm.