Lista de exercícios Algebra linear - Reforço para Prova

Faculdades Anhanguera

Curso Engenharia Elétrica

Disciplina: Álgebra Linear

Prof.: M.Sc. Toninho

Atividades

1. Mostre que (1, 1) e (1, -1) formam uma base de ℝ2.

2. Mostre que os vetores 𝑢

= (1, 1, 1), 𝑣 = (1, 2, 1) e 𝑤

= (2, 1, 2) são LD.

3. Mostre que os vetores 𝑢

= (1, 1), 𝑣 = (-1, 1) formam uma base de ℝ2.

4. Verifique se os elementos de B = {1 + x, 1 – x, 1 – x2} formam um base de P2. (Resposta: base)

5. Mostre que os polinômios 1, x - 1 e x2 – 3x + 1 formam uma base de P2. Exprima o polinômio 2x2 - 5x + 6

como combinação linear dos elementos dessa base. (Resposta: base)

6. No espaço P3 dos polinômios de grau ≤ 3, verifique se os polinômios abaixo são LI ou LD:

p(x) = x3 - 3x2 + 5x + 1,

q(x) = x3 - x2 + 6x + 2 e

r(x) = x3 - 7x2 + 4x. (Resposta: LI)

7. Seja o conjunto B = {(2, 1, 3), (1, 0 ,0), (0, 1, 4)}.

a) Verifique se B é uma base do ℝ3. (Resposta: base)

b) Determinar o vetor coordenada de 𝑢

= (3, 3, 10) em relação a B. (Resposta: 𝑢

𝐵 = (2, -1, 1))

c) Determinar o vetor 𝑢

∈ ℝ3, cujo vetor coordenada em relação a B é 𝑢

𝐵 = (1, 2, 3). (Resposta: 𝑢

= (4, 4, 15))

8. Mostre que os vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de ℝ3. Encontre as coordenadas de (1,

2, 0) ∈ ℝ3 com relação à base B formada pelos vetores acima. (Resposta: (1, 1, -2))

9. Mostre que os polinômios 1, x, x2 – x formam uma base, B, de P2. Encontre as coordenadas de 1 + x + x2 com

relação à base de B. (Resposta: base, 𝑣 𝐵 = (1, 2, 1))

10. Determinar as coordenadas do vetor 𝑢

= (-1, 8, 5) ∈ ℝ3. Em relação a cada uma das bases de ℝ3 abaixo:

a) base canônica (Resposta: 𝑢

𝐵 = (-1, 8, 5))

b) {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} (Resposta: 𝑢

𝐵 = (-3, 9, -1))

c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)} (Resposta: 𝑢

𝐵 = (-9/11, 36/11, -2/11))

11. Determinar as coordenadas de p(t) ∈ P3, dado por p(t) = 10 + t2 + 2t3, t ∈ ℝ, em relação às seguintes bases

de P3:

a) base canônica (Resposta: p(t)B = (10, 0, 1, 2))

b) {1, 1 + t, 1 + t + t2, 1 + t + t2 + t3} (Resposta: p(t)B = (10, -1, -1, 2))

c) {4 + t, 2, 2 - t2, t + t3} (Resposta: p(t)B = (-2, 10, -1, 2))

12. Encontre uma transformação linear T: ℝ2→ ℝ2 tal que T(1, 2) = (3, -1) e T(0, 1) = (1, 2).

(Resposta: T(x,y) = (x + y, -3x + 2y))

13. Dadas as transformações a seguir, verificar quais delas são lineares

a) T: ℝ2→ ℝ3, T(x,y) = (x – y, 2x + y, 0) (Resposta: linear)

b) T: ℝ2→ ℝ2, T(x,y) = (x + 2, y + 3) (Resposta: não linear)

c) T: ℝ2→ ℝ, T(x,y) = |x| (Resposta: não linear)

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Atividades

Mostre que (1, 1) e (1, -1) formam uma base de ℝ^2.
Mostre que os vetores 𝑢 = (1, 1, 1), 𝑣 = (1, 2, 1) e 𝑤 = (2, 1, 2) são LD.
Mostre que os vetores 𝑢 = (1, 1), 𝑣 = (-1, 1) formam uma base de ℝ^2.
Verifique se os elementos de B = {1 + x , 1 – x , 1 – x^2 } formam um base de P 2. (Resposta: base)
Mostre que os polinômios 1, x - 1 e x^2 – 3 x + 1 formam uma base de P 2. Exprima o polinômio 2 x^2 - 5 x + 6 como combinação linear dos elementos dessa base. (Resposta: base)
No espaço P 3 dos polinômios de grau ≤ 3, verifique se os polinômios abaixo são LI ou LD: p ( x ) = x^3 - 3 x^2 + 5 x + 1, q ( x ) = x^3 - x^2 + 6 x + 2 e r ( x ) = x^3 - 7 x^2 + 4 x. (Resposta: LI)
Seja o conjunto B = {(2, 1, 3), (1, 0 ,0), (0, 1, 4)}. a) Verifique se B é uma base do ℝ^3. (Resposta: base) b) Determinar o vetor coordenada de 𝑢 = (3, 3, 10) em relação a B. (Resposta: 𝑢𝐵 = (2, -1, 1)) c) Determinar o vetor 𝑢 ∈ ℝ^3 , cujo vetor coordenada em relação a B é 𝑢𝐵 = (1, 2, 3). (Resposta: 𝑢 = (4, 4, 15))
Mostre que os vetores (1, 1, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1) formam uma base de ℝ^3. Encontre as coordenadas de (1, 2, 0) ∈ ℝ^3 com relação à base B formada pelos vetores acima. (Resposta: (1, 1, -2))
Mostre que os polinômios 1, x , x^2 – x formam uma base, B , de P 2. Encontre as coordenadas de 1 + x + x^2 com relação à base de B. (Resposta: base, 𝑣𝐵 = (1, 2, 1))
Determinar as coordenadas do vetor 𝑢 = (-1, 8, 5) ∈ ℝ^3. Em relação a cada uma das bases de ℝ^3 abaixo: a) base canônica (Resposta: 𝑢𝐵 = (-1, 8, 5)) b) {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} (Resposta: 𝑢𝐵 = (-3, 9, -1)) c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)} (Resposta: 𝑢𝐵 = (-9/11, 36/11, -2/11))
Determinar as coordenadas de p ( t ) ∈ P 3 , dado por p ( t ) = 10 + t^2 + 2 t^3 , t ∈ ℝ, em relação às seguintes bases de P 3 : a) base canônica (Resposta: p ( t )B = (10, 0, 1, 2)) b) {1, 1 + t , 1 + t + t^2 , 1 + t + t^2 + t^3 } (Resposta: p ( t )B = (10, -1, -1, 2)) c) {4 + t , 2, 2 - t^2 , t + t^3 } (Resposta: p ( t )B = (-2, 10, -1, 2))
Encontre uma transformação linear T : ℝ^2 → ℝ^2 tal que T (1, 2) = (3, -1) e T (0, 1) = (1, 2). (Resposta: T ( x , y ) = ( x + y , -3 x + 2 y ))
Dadas as transformações a seguir, verificar quais delas são lineares a) T : ℝ^2 → ℝ^3 , T ( x , y ) = ( x – y , 2 x + y , 0) (Resposta: linear) b) T : ℝ^2 → ℝ^2 , T ( x , y ) = ( x + 2, y + 3) (Resposta: não linear) c) T : ℝ^2 → ℝ, T ( x , y ) = | x | (Resposta: não linear)

d) T : ℝ^2 → ℝ^3 , T ( x , y ) = (2 x + y , - x + y , x + 2 y ) (Resposta: linear) e) T : ℝ^3 → ℝ^2 , T ( x , y , z ) = (3 x – 2 y , x^2 + 2 y ) (Resposta: linear) f) T : ℝ^3 → ℝ^3 , T ( x , y , z ) = ( x + 2 y +1, 2 x + - y , x^2 + y^2 ) (Resposta: não linear) g) T : ℝ → ℝ^3 , T ( x ) = ( x^2 +2, x + 1, - x + 2 x^2 ) (Resposta: não linear)

Considere o operador linear T : ℝ^2 → ℝ^2 definido por T ( x , y ) = (2 x – 2 y , 2 x + y ) a) Determinar o vetor 𝑢 ∈ ℝ^2 , tal que T (𝑢) = (6, 3). (Resposta: 𝑢 = (2, -1)) b) Determinar o vetor 𝑣 ∈ ℝ^2 , tal que T (𝑣 ) = (2,2). (Resposta: 𝑣 = (1, 0)) c) Determinar o vetor 𝑤 ∈ ℝ^2 , tal que T (𝑤) = 𝑤. (Resposta: 𝑎 = (0, 0))
Dada a transformação linear, T : ℝ^3 → ℝ^3 , T ( x , y , z ) = ( x + 3 y + 2 z , 2 x - y + 3 z , x + y + z ) a) determinar o vetor 𝑢 ∈ ℝ^3 , tal que T (𝑢) = (3, 1, 1). (Resposta: 𝑢 = (0, 1, 0)) b) determinar o vetor 𝑣 ∈ ℝ^3 , tal que T (𝑣 ) = (-7, 5, -3). (Resposta: 𝑣 = (-2, -3, 2)) c) determinar o vetor 𝑤 ∈ ℝ^2 , tal que T (𝑤) = 𝑤. (Resposta: 𝑤 = y (-1, 1, -3/2))
Considere a transformação linear, T : ℝ^2 → ℝ^3 definido por T ( x , y ) = (3 x + y , 2 x - y , 2 x + 2 y ) a) Determinar o vetor 𝑎 ∈ ℝ^2 , tal que T (𝑎) = (2, 3, 0). (Resposta: 𝑎 = (1, -1))

b) Determinar o vetor 𝑏 ∈ ℝ^2 , tal que T (𝑏) = (-7, -3, -6). (Resposta: 𝑏 = (-2, -1))

Sabendo que T : ℝ^2 → ℝ^3 é uma transformação linear e que T (1, 0) = (1, 2, 3) e T (0, 1) = (-1, 0, 1) determinar T ( x , y ). (Resposta: T ( x , y ) = ( x – y , 2 x , 3 x + y ))
Sabendo que T : ℝ^3 → ℝ^2 é uma transformação linear e que T (2, -1, 1) = (3, -1), T (0, 3, 0) = (1, 2) e T (1, 1, 1) = (1, 0), determinar T ( x , y , z ). (Resposta: T ( x , y , z ) = (-2 x + y - 4 z , 5 x + 2 y -7 z ))
Considere o operador linear T : ℝ^2 → ℝ^2 , tal que T (1, -1) = (-1, 3) e T (2, -1) = (2, -2). Determine T ( x , y ). (Resposta: T ( x , y ) = (3 x + 4 y , -5 x - 8 y ))
Seja f : ℝ^2 → ℝ um funcional linear. Sabendo que f (1, 1) = 3 e f (2, 3) = 1, calcular f (1, 0) e f (0, 1). (Resposta: f (1, 0) = 8, f (0, 1) = -5)

Bom Trabalho!

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